Phương pháp tích phân từng phần
A. Tóm tắt lý thuyết
Công thức tích phân từng phần:

           
u x d v x u x v x v x d u x 
   
    
;

           
b b
b
a
a a
u x d v x u x v x v x d u x    
   
 
.
Vài tình huống gợi ý việc sử dụng công thức tích phân từng phần:
 Tích phân
   
v x d u x 
 

dễ tính hơn tích phân
   
u x d v x 
 

;

P x
là một hàm đa thức,
a
là hằng số khác
0
. Ba tích phân nói trên có cách tính tương tự,
sau đây ta nêu cách tính
1
I .
 
 
   
 
   
1
1 1 1
'
ax ax ax ax ax
I P x d e P x e e d P x P x e e P x dx
a a a
 
     
 
 
  
.
Việc tính
1
I
được quy về tính tích phân

k
I xdF x

, trong đó
 
F x là một nguyên hàm
của
 
P x . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
   
 
 
 
1
ln ln ' ln ln
k k k k
F x
I xF x F x x dx xF x k xdx
x

   
 
.
2

Ta luôn có thể chọn
 
F x sao cho
 
F x có nhân tử là x , do đó biểu thức

ax
I e bxdx

. Hai tích phân nói trên có
phương pháp tính tương tự. Dưới đây, ta chỉ xét
1
I .
 
 
1
1 1 1
sin sin sin sin cos
ax ax ax ax ax
I bxd e bxe e d bx bxe b e bxdx
a a a
   
    
   
  

1
sin cos
ax ax
b
bxe e bxdx
a a
 


 


2
1
2 2
1
sin cos
ax ax
b b
bxe bxe I
a a a
  
.
Từ đó, ta tính được
1
I
.
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau:
1) [ĐHD06]
 
1
2
0
2
x
I x e dx 

.
2)
 


 
1
2 2 2 2 2
0
1 1 1 1 3 5
2 2 1
2 2 2 2 4 4
x
e e e e e
 
 
           
 
 
 
 
.
2) Ta có

       
 
ln3 ln3 ln3
ln3
2 2 2 2
1
1 1 1
2 2 2 3 ln 3 2ln3 2 1
x x x x
K

  

;
2)
 
2
2
0
2 1 osJ x c xdx

 

.
Giải
1) Ta có
     
4 4
4
2 2 2
0
0 0
1 1
4 3 cos2 4 3 cos2 cos2 4 3
2 2
I x x d x x x x xd x x
 

 
 
          

 
 
 


4
0
3 1 1 3 1 1 1
2 cos2 2
2 2 4 2 2 2 4 2 8 4
x

  
 
 
 
         
 
 
 
 
 
.
b. Vì :
2
1 os2x
os
2
c
c x

 
 
 
 
 
 
         
 
 
 
 
 
 

=
2 2
1
0 os2x 1
2
8 4 2 8 4
0
c

   
 
 
     
 
 
 

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
a.
 
3 2
1
2
0
2 3 1
x
x x x
dx
e
  

b.
2
1
3
0
x
x e dx

.
c.
 
2
2
2
0
2

e e
            . Thay vào (*)
-
 
 
1
2
3 2
2 2 2
0
1
2 3 4 3 6
2 3 1 2 2 2 1
0
x x
x x
x x x dx J
e e e
 
 
        
 
 

. Tương tự : Ta tính J .
- Đặt :
 
 
2
1 1 1 1

0
6 4
x
x
K dx
e



.
+/ Đặt :
2 2 2 2
2 2
2
6 4 6 ;
x x
dx
u x du dx dv v
e e
       
+/ Do đó :
   
1
2 2 2 2 2 2
0
1 1
2 6 6 1 6 1
4 2 8 6 8 6 1 2 3
0 0
x x x

0 0
.
x x
x e dx x e xdx
 
. Đặt :
2
2 ; 0 0, 1 1
( )
t
dt xdx x t x t
t x
f x dx te dt
      

 




Do đó :
   
1 1
0 0
1
1 1 1
. . .
0
2 2 2
t t t t

x
x
         



- Vậy :
 
 
2 2
2 2
2
2
0 0
2 2
1
0 0
2
2
x x
x x x
x e x e
I dx xe dx e xe e
x
x
        


 




- Suy ra :
 
4 4 4
2
2 2
2 2 2
4 4 1
t
t t
e
I te dt dt e dt J K L
t

 
     
  
.
- Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được .
* Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau
- Đối với tích phân có dạng :
ax
( )
e
I dx
P x




c.
4
2
0
os
x
dx
c x


d.
2
2
0
osxdxx c



Giải
6

a.
 
4
2
0
4 3 sin 2x x xdx

 


1 1
2 4 os2xdx 2 4 sin2 sin 2 2 4 2sin 2
4
2 2
0
J x c x d x x x xdx
  

 
 
      
 
 
 
  

1 5
4 os2x
4
2 4 8 2
0
c

 
 
 
 
    
 
 

  
 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
2 2 22
0
1 1 1 1 1 8
.sin 2 sin 2 0 os2x
2 2
2 8 2 2 8 2 2 16
0 0
x x xdx c

 
  
 
 
 

 

      
  

d.
2
2
0
osxdxx c


.
- Đặt :
2
2 , osxdx v=sinxu x du xdx dv c    
.
Do đó :
 
2 2
2 2 2
2
0 0 0
.sinx 2 .sinxdx . osx . osx osxdx
2 2
4 4
0 0
I x x x d c x c c
  
 
 
 


. ( KD-2007) b.
 
2
2
3
ln x x dx

. ( KD-2004 )
7

c.
3
1
ln
e
xdx

d.
2
1
ln
e
x xdx

. ( Tham khảo 2005 )
Giải
a.
3 2
1

     
 
.
- Tính
3
1
ln
e
J x xdx

.
+/ Đặt :
3 4
1 1
1
ln ,
4
dx
u x du dv x dx v x
x
     


+/ Do đó :
4 4
4 3 4
1
1 1 1 3 1
ln
1 1

2
2
2 1
ln ,
x
u x x du dx dv dx v x
x x

      

.
- Do đó :
 
 
 
3 3
2
2 2
3
2 1
2 2 1
.ln 3ln6 2ln 2
2
1 1
x x
x
I x x x dx dx
x x x

 

3 2
ln 3ln ,
dx
u x du x dv dx v x
x
     
- Do đó :
 
3 2
1
ln 3 ln 3 1
1
e
e
I x x xdx e J   

.Tính :
2
1
ln
e
J xdx


+/ Đặt :
2
1 1 1 1
2ln
ln ,
x



- Đặt :
2 3
1
ln ,
3
dx
u x du dv x dx v x
x
     


- Do đó :
3 3
3 2 3
1
1 1 1 2 1
ln
1 1
3 3 3 9 9
e
e e
e e
I x x x dx x

    


* Chú ý :

1
ln 1x
dx
x


. ( CĐ cơ khí luyện kim-2006 )
Giải
a.
     
 
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 ln 3 ln
1
1 1 1
x x
dx dx dx
x x x

 
  
  
.
- Với :
 
3
2
1

x x x x x x
x
 
          
 
   
 

  

Thay vào (1) :
27 27
ln 3 ln
3
16 16
4 4 4
I

  

b.
2
3
1
ln x
dx
x

.
- Đặt :

c.
   
 
2 2 2
2
1 1 1
ln 1 ln 1
1 ln3 1 1
ln 2
1 2 1
x x
dx dx dx
x x x x x x
 
 
      
 
 
 
  
.
2
ln3 ln3 ln2 3ln3
ln2 ln ln 2 ln3
1
2 1 2 2
x
x

 

b.
 
3
2
0
ln 5x x dx

. CĐTCKT-2006 ) c.
 
3
4
ln t anx
sin 2
dx
x



. (CĐTCHải quan -2006 )
Giải
a.
           
1 1 1
2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
1 1
ln 1 ln 1 1 1 ln 1 1
0
2 2


.
- Đặt :
 
2
2
2 ; 0 5, 3 14
5
1
( ) ln 5 ln
2
dt xdx x t x t
t x
f x dx x x dx tdt
      


  

  



- Do đó :
 
14
5
14
1 1 14ln14 5ln5 11
ln ln

 
.
Cách khác :
- Đặt :
 
2
2 2
dx
dt= 1
cos 1
tanx
1; 3
4 3
dt
t dx dx
x t
t
x t x t
 

   



 


     





 

+/
 
 
3 3
2 2 2
1 1
ln 1 1 13
ln . ln ln ln 3 0 ln 3
2 2 8
1
t
J dt t d t t
t
     
 

+/ Thay vào (1) ta có :
2
1
ln 3
16
I 

* Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần .
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
a.

1
2
1
( sin )
x x
e x e x dx



. ( ĐHTN-2000)
Giải
a.
2
2
0
os3xdx
x
e c


. Đặt : u=
2 2
1
2 , os3xdx v= sin3
3
x x
e du e dv c x   
- Do đó :
 
2

u e du e dx dv xdx v c      
- Do vậy :
 
2
2x 2
0
1 2 1 2 2 1
os3x.e os3xdx 2
2
3 3 3 3 3 3
0
x
J c e c I J I


       


- Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình . Giải hệ ta có I=
3 2
13
e

 

b.
2
3
0
sin5




       


11

- Ta lại đặt :
3 3
1
3 ; os5 sin5x
5
x x
u e du e dx dv c xdx v     

- Do đó :
 
3
3
2
2
3 3
2
0
1 3 3 3 1
sin5x sin 5xdx . 2
2
5 5 5 5 5 5
0

   
 
 
   

 
 
2 2 2
0
1 1 1
os2xdx 1 1
0
4 4 2
x x
e e c e J



    


- Tính J=
2
0
os2xdx
x
e c


. Đặt :

   
 
2 2 2 2
0
1 1 1
os2 os2 1 1 3
0
2 2 2
x x
K e c x e c xdx e J K J e

 

        


Từ (2) và (3) ta tính được :
 
2
1
1
2
J e

  , sau đó lại thay vào (1)
 
1
1
2
I e

u x du xdx dv e dx v e      .
+/ Do vậy :
 
1 1 1
2
0 0 0
1 1
. 2 . 2 . 2 .
0 0
x x x x x
K x e x e dx e x d e e x e e dx
 
      
 
 
 
  

 
1
2 2 1 2
0
x
e e e e e e
 
        
 
 
.
- Vậy : I=K= e-2.

x
tgx e x dx



. (DB-2005)
Giải

a.
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1 os2 x 1
sin ( ) os2 xdx
2 2
x x x x
c
e x dx e dx e dx e c

 
 

 
  
 
 
 
 
   


0
2 2 2 2 2
x x x
J e x e xdx e e xdx K
   
  
      
 

+/ Tính K : Đặt
1
; sin 2 os2 x
2
x x
u e du e dx dv xdx v c
 
     
+/ Do vậy :
   
1
0
1
1 1 1 1
os2 x os2 xdx 1 2
0
2 2 2 2
x x
K e c e c e I
 
   

cos osx
0 0 1 0
sin 2 2 . osx. sinxdx 2 2
x c t t
e xdx e c e t dt e dt


   
   
.
 
   
1
2 2 1 1 2 2
0
t
e t e e      
Vì :
osx dt=-sinxdxt c  
. Khi x=0 thì
1, 0
2
t x t

   

c.
 
/4
4 4

C. Bài tập
Bài 1. Tính các tích phân sau
a.
 
2
0
osx osxdx
x
e c c



b.
4
0
.sin 2x xdx


c.
2
2
0
osxdxx c



d.
3
2
4


b.
0
.sinx
1+cosx
x
dx


c.
2 2
0
sin
x
e xdx



d.
 
2
1
ln
1
e
e
x
dx
x 


3
2
6
ln sinx
os
dx
c x



. c.
 
2
2
0
sin osxdxx x c




d.
2
4
0
os xxc dx


e.
 
1

1
ln 1x dx
x
 

 
 

c.
1
2
0
1
.ln
1
x
x dx
x

 
 

 


d.
 
2
2
1

dx
x



b.
 
2
0
sinxln 1+cosx dx


c.
 
1
2
2
0
1
x
x e dx


d.
3 4
0
.sin cosx x xdx


e.

0
ln tanx dx

