1
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0),
D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD,
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a biết
1
cos
6
a =
(Đại học khối A – 2006)
Giải
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ các điểm là:
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1;
0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M(
1
2
; 0; 0), N(
1
2
; 1; 0)
Ta có
( ) ( )
1
A'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A'M ;0; 1
2
ỉ ư
= - = = -
ç ÷
è ø

a a =
A'C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1)
x-y 0
x y z 1
nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là
y z 1 0
1 1 1
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng
= -
=
ì
-
= = Þ
í
+ - =
-
ỵ
uuuur
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
Oxy
2
2 2
2 2 2 2 2
1

C
D(0; 1; 0)
A’(0; 0; 1)
B’
C’
D’
y
x
M
N
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
2
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
d : và d : y 1 t
2 1 1
z 3
= - +
ì
- +
ï
= = = +
í
-
ï
=
ỵ
a) Chứng minh rằng d

uuur r r uuur r
1 2
, AB không đồng phẳng (2)
Từ (1) & (2) d và d chéo nhau Þ
r uuur
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường
thẳng d
1
và d
2
.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1
2 2
x 2y 2 0 x 2y 3 0
Ta có PTTQ của d : ,d :
y z 1 0 z 3 0
chứa d chứa d
Ta có d mp : ,d mp :

Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
M x 2y 3 N z 3 0 M N 0 Mx 2My Nz 3M 3N 0
Ycbt n .n 0 7M 2M 4N 0 5M 4N 0
Chọn
a
b
Þ = Û + + - = Û - = Û =
= Þ = a + + + =
- b b b
- + + - = + ¹ Û - + + - =
Þ = Û - - = Û - =
uur uur
uur uur
( )
( ) ( )
1 2
M 4 N 5: pt : 4x 8y 5z 3 0
x 5y 3z 1 0
Vậy ptđt d:
4x 8y 5z 3 0
Ro õ ràng : d cắt d tại M 2;0; 1 ,cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên
= Þ = b - + - =
+ + + =
ì
í
- + - =
ỵ
- - -
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
1 2

( )
( )
A A ' H
A A ' H
A A' H
ua A(1;2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3
2x y z 3 0
Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa H 0; 1;2
x 2 y 2 z 3
2 1 1
x x 2x
H là trung điểm của AA' nên y y 2y A' 1; 4;1
z z 2z
- + + = Û = -
- + - =
ì
ï
- + - = Þ Û -
í - + -
= =
ï
ỵ -
+ =
ì
ï
+ = Û - -
í
ï
+ =
ỵ

ì
í
+ =
ỵ
+ - + + = + ¹
Û + + + - =
( )
2
3) nên 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0
Chọn B 1,A 4, ta được pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0
2x y z 3 0
Vậy pt đt :
7x 4y z 12 0
Ro õ ràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên
+ + + - = Û + =
= - = + - - =
- + - =
ì
D
í
+ - - =
ỵ
D - - D
4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết A(a;0;0), B(-a;0;0),

B C a;1;b ,AC a;1;b , B C,AC 2b;0;
=
- = - =
ì ì
ï ï
Û - = - Û = Þ
í í
ï ï
- = - =
ỵ ỵ
é ù
= = - =
ë û
uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
( ) ( )
( )
1 1
1 1
2 2 2 2
1 1
2a ,AC a;1;0
B C,AC .AC
2ab
ab
d B C,AC
4a 4b a b
B C,AC
= -
é ù

d
2y z 5 0
- + - =
ì
í
+ + =
ỵ
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16
Giải
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2
pt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R là : x 1 y 1 z 1 R
AB
Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB. Vậy R IA IH HA với HA 8;IH d I,d
2
x z 9 x 14
Trong đt d cho y 0, ta được M 14
z 5 z 5
- + - + - =
^ = = + = = =
+ = =
ì ì
= Û Þ
í í
= - = -
ỵ ỵ
( ) ( )

=
uuur
uur
uur uur uur uur
uur
uur uuur uur uuur
uur u
( ) ( ) ( )
2
d
2 2 2
357
17 R 17 64 81
21
a
Vậy pt mc (S) là x 1 y 1 z 1 81
é ù
ë û
= = Þ = + =
- + - + - =
uur
uur
6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 100. Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S)

1 1 2
- +
D = =
-
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
OAB.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
(Đại học khối D – 2007)
Giải
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
5
a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
O A B
G
O A B
G
O A B
G
d
x x x
x 0
3

- -
= =
-
b) Tìm MỴD để MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
( )
2
2 2 2
2 2
P
AB
Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME
2
Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt
E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a
D
+ = +
+ Û Û º - D
D = =
uur uur
( )
( )
1;1;2
pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0
x 1
x y 2z 9 0
Vậy H thỏa y 0 M 1;0;4

í í
+ - + =
ỵ
ï
= +
ỵ
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D
1
và song song với đường thẳng D
2
.
b) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất. (Đại học khối A – 2002)
Giải
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D
1
và song song với đường thẳng D
2
.
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1 1 2
2
1 1

(
)
( )
1 2
2 2
ø 1 VTCP của (P)
(P) có VTPT là n a ,a 2;0; 1
mp (P) // nên a = 1;1;2 là 1 VTCP của (P)
pt mp (P) dạng : 2x z m 0. (P) qua A 0; 2;0 nên m 0.
Vậy pt mp (P) là : 2x z 0
ü
ï
é ù
Þ = = -
ý
ë û
D
ï
þ
Þ - + = - =
- =
r uur uur
uur
b) Tìm H Ỵ D
2
để MH nhỏ nhất.
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
6
( )

í í
= +
ï ï
=
ỵ
ï
+ + - =
ỵ
9) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A
trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác đònh tỉ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
(Đại học khối A – 2003)
Giải
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M
Tọa độ của các điểm là :
A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0)
A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a;
b
2
)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
BDA'M

2
(A'BD) có cặp VTCP A'B a;0; b ,A'D 0;a; b
2
(A'BD) có VTPT n A'B,A'D ab;ab;a a b;b;a
1
b
(MBD) có cặp VTCP MB 0; a; ; BD a;a;0
2
(MBD) có VTPT n MB
- = - = -
é ù
Þ = = =
ë û
-
ỉ ư
- = - = -
ç ÷
è ø
Þ =
uuuur uuuur
uur uuuur uuuur
uuur uuur
uur uuur
ab ab b b
2
,BD ; ; a a ; ; a
2 2 2 2
2 2
b a
b b a

D’
y
x
M
z
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
7
10) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song :
mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0
Giải
( ) ( )
( )
( )
P Q
2 2
P Q P Q
2
2
Ta có : n 2;m;3 và n m 3;2;5m 1
Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7;4 m 3m 0;0;0
5m m 6 0
7m 7 0 m 1
4 m 3m 0
Với m 1: mp(P): 2x y 3z 5 0,mp(Q) : 4x 2y 6z
= = + +
é ù
Û = Û + - - + - - =
ë û
ì

BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c
2 2
đpcm a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a
é ù
= - = - =
ë û
é ù
= = + +
ë û
Û + + ³ + +
Û + + ³ + +
³
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm)
c a a b 2ca b
ü
ï
³ + + ³ + +
ý
ï
+ ³

z
y
x
A
B
C
D
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
8
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max
( ) ( ) ( )
( )
( )
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (P). d cắt m.c tại A và B.
Nếu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A
x 1 y 2 z 1
d có VTCP là a 2; 1;2 ,qua I nên ptđt d là
2 1 2
Gọi l
> º
- + +
= - = =
-
a
r
( )
( ) ( )
( )
1

2 1 6 14
Ta có d A,mp(P) 7,
4 1 4
- + + =
ì
ï
a Þ - - -
í - + +
= =
ï
- ỵ
- + - =
ì
ï
= - a - + - = a Þ -
í
- + +
= =
ï
- ỵ
- + - -
= =
+ +
( )
( ) ( )
6 3 2 14
d B,mp(P) 1.
4 1 4
Vậy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3
+ + -

a 4 b 0
2 4
ỉ ư
ç ÷
è ø
ì
+ + =
ï
= -
ì
ï
Ỵ Þ Û
í í
= -
ỵ
ï
+ + + =
ï
ỵ
14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x 1 t x 2 t
: y t và : y 4 2t
z 4t z 1
= - = -
ì ì
ï ï
= = +
í í
ï ï

x 1 y z
pt đt d :
4 2 1
-
= =
-
15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O,
A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;
2 2
). Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM.
b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tính thể tích khối tứ diện SCMN.
(Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007)
Giải
a) Khoảng cách giữa SC và DM
Ta có tọa độ các điểm S(0;0;2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2
SC,DM .SD
4 2
4 2 2 6
Vậy d SC,DM
3
12 2 3
SC,DM
é ù
= - - = = - - = -
ë û
é ù

SCMN
x 0
1
t SB: y 1 t .Vì N SB CDM nên ta có tọa độ N 0; ; 2
2
z 2 2t
1
SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,SM .SN 2 2
2
1
V SC,SM .
6
ì
=
ï
ỉ ư
= + =
í
ç ÷
è ø
ï
= -
ỵ
ỉ ư
é ù é ù
= - - = - = - = =
ç ÷
ë û ë û
è ø
é ù

d
P
d P
d nên có 1 VTPT là a 2;1;2
// mp(P) nên có 1 VTPT là n 1;1; 1
có VTCP là a a ,n 3;4;1
x 2 y 1 z 3
qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P)
3 4 1
D
D ^ D =
D D = -
é ù
Þ D = = -
ë û
- - +
D - D = = Ï D
-
uur
uur
uur uur uur
b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3
( )
( )
( ) ( )
1 2
x 3 2t
Ta có pt đt d y 1 t .Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t
z 5 2t
t 2 3 t 5

x 1 y 3 z 2
pt đt d :
1 1 1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) thì
x 1 y 3 z 2
H thỏa hệ H 2; 2; 3
1 1 1
x y z 3 0
H là
+ + +
= =
-
+ + +
ì
= =
ï
Þ - - -
-
í
ï
- + + =
ỵ
( )
A A' H
A A' H
A A' H
x x 2x
trung điểm AA' nên y y 2y A ' 3; 1; 4
z z 2z
+ =

+ + + í
= =
ï
-
ỵ
A
H
A’
M
B
P
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
11
18) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1)
Tìm MỴAB, NỴCD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
Giải
( ) ( )
( ) ( )
( )
x 1 t
AB 1;1; 2 ,pt đt AB: y 2 t ,M AB M 1 t;2 t;3 2t
z 3 2t
x 2 t'
CD 2; 4;2 ,pt đt CD : y 2 2t',N CD N 2 t';2 2t '; 1 t'
z 1 t'
MN t ' t 3; 2t' t;t ' 2t 4
MN min chỉ khi MN là đường vuông
= - +
ì

N 1;4; 2
3
ì
=
ï
í
=
ï
ỵ
ì -
ỉ ư
= -
ì
- + - - - - + = - - = -
ì ì
ç ÷ ï ï
Û Û Û Þ
è ø
í í í í
- + + + + + - = + =
=
ỵ ỵ
ï ï
-
ỵ
ỵ
uuuur uuur
uuuur uuur
19) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz, cho đường
( )

ì
ì
- + = + - =
ì
ï ï ï
¹ Û ¹ Û =
í í í
- - =
- - + =
ï
ï
ỵ
ï
ỵ
- - =
ỵ
Þ
b) CMR : d luôn nằm trong 1 mp cố đònh
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
Gọi (P) là mặt phẳng cố đònh chứa đường d thì pt mp (P) dạng :
a 3x ky k b 1 k x kz 0 a b 0
3a b kb x kay kbz ka 0 k ay bz a bx 3a b x 0
Chọn 3a b 0.a 1,b 3 pt mp (P) là 3x y 3z 1 0
Đây là mp cố
+ - + - - = + ¹
Û + - + - - = Û - - - + + =

(P) AE nên AE 5; 11; 16 là VTPT của (P) pt (P) dạng: 5x 11y 16z n 0
(P) qua E 3; 8; 17 nên 15 88 272 n 0 n 375
pt mp (P) :5x 11y 16z 375
- =
- +
ì
= =
ï
Þ - - -
-
í
ï
+ - - =
ỵ
^ = - - - Þ - - - + =
- - - + + + = Û = -
Þ + + +
uuur
0 =
21) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tọa độ các điểm B(1;1;0), D(0;0;m). Gọi H là
hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng BD. Tìm m để diện tích tam giác OBH đạt giá trò lớn nhất.
Giải
( )
( ) ( )
2 2 2 2
o
2
2
2 2
1 a b 1 HO HB

AB
Giải
( )
( )
( )
3 3
Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA, BC nên tọa độ lần lượt là M 1;0;0 ,N 0; ;
2 2
OP 2 2 2
Vì OP OC OP OC P 0;0;2
OC 3 3 3
3 3
mp (MNPQ) có cặp VTCP là MP 1;0;2 ,MN 1; ;
2 2
ỉ ư
ç ÷
è ø
= Û = Þ = Þ
ỉ ư
= - = -
ç
è
uuur uuur
uuur uuuur
( )
1 3 1
(MNPQ) có VTPT n MP,MN 3; ; 6;1;3 (MNPQ) dạng : 6x y 3z m 0
2 2 2
(MNPQ) qua M nên m 6 pt mp (MNPQ) : 6x y 3z 6 0
÷

= - Þ =
í
ï
=
ỵ
ỉ ư
= Ç - + - = Û = Þ
ç ÷
è ø
ỉ ư
= + = = - + = Þ =
ç ÷
è ø
uuur
23) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1 2
x y z 2 0
x 1 y 2 z 1
d : và d :
x 3y 12 0
3 1 2
+ - - =
ì
- + +
= =
í
+ - =
-
ỵ
a) Chứng minh rằng d

1
2 2 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
d qua M 1; 2; 1 , có VTCP là a 3; 1;2
n 1;1; 1
d có cặp VTPT là d có VTCP là a n ,n 3; 1;2
n 1;3;0
Rõ ràng : a a . M d ,M d d // d
Vì mp (P) chứa d nên
- - = -
ì
= -
ï
é ù
Þ = = -
í
ë û
=
ï
ỵ
= Ỵ Ï Þ
uur
uur
uur uur uur
uur
uur uur
( ) ( )
( ) ( )

- + +
ì
= =
ï ï
Þ - - + - = Þ
-
í í
ï ï
=
=
ỵ
ỵ
é ù
= - - = = -
ë û
=
uuur uuur uuur uuur
uuur
1
OB .10 5(đvdt)
2
é ù
= =
ë û
uuur
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
14
24) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng :
1 2

AB 2t' t 8,t' t 4, t' 2t 14
AB d AB.a 0
Vì Với
AB d
AB.a 0 a 1; 1;2 ,a 2;1; 1
2t ' t 8 t' t 4 2t' 4t 28 0
Ta được :
4t '
Ỵ - - Ỵ - + -
ì
= - - + + - - +
^ =
ì
ï
Þ
í í
^
= = - = -
ỵ
ï
ỵ
- - - - - - - + =
-
uuur
uuur uur
uuur uur uur uur
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
t' 6t 16 t ' 4

1 25 9
ì
= -
ï
é ù
Þ = = -
í
ë û
= -
ï
ỵ
Þ - + + + =
- Ỵ - Ỵ = Þ =
- +
Û =
+ +
uur
r uur uur
uur
m 2 m 68 (vô lý!)
8 30 30 m
m 2 m 68
m 2 m 68 m 33
1 25 9
pt.mp.(P): x 5y 3z 33 0
+ = +
+ + +
é
Û - = + Û
ê

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1
2 2
2
AB thuộc cùng một mặt phẳng
C d nên C 3 2t,6 2t,1 t .ycbt AB AC 45 2t 1 2t 4 t 1
t 1 C 1;8;2
9t 18t 18 45 9t 18t 27 0
t 3 C 9;0; 2
Ỵ - + + Þ = Û = - - + + + -
= Þ é
Û + + = Û + - = Û
ê
= - Þ -
ê
ë
( )
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
15
26) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng
2x 2y z 1 0
d :
x 2y 2z 4 0
- - + =
ì
í

( ) ( ) ( )
( )
1 2
CP là a n ,n 6;3;6
Trong pt đt d cho x 0 y 1;z 1 A 0;1; 1 d IA 2; 2; 1 , a,IA 9;18; 18
a,IA
81 324 324 81 65
d I,d 3 IH. Vậy (*) 13 m 9 m
4 4
36 9 36
a
é ù
= =
ë û
é ù
= Þ = = - Þ - Ỵ Þ = - - = -
ë û
é ù
+ +
ë û
= = = = Û - = + Û = -
+ +
r uur uur
uur r uur
r uur
r
27) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz , cho các điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) và mặt
phẳng (P) : x + y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ MỴ(P) sao cho | MA – MB | đạt giá trò lớn nhất.
Giải
A B

uuuur uuur
đạt giá trò nhỏ nhất, biết tọa
độ điểm A(3;1;1), B(7;3;9).
Giải
( )
Gọi E là trung điểm AB thì : MA MB 2ME MA MB 2ME
MA MB min ME min M H : hình chiếu của E lên mp (P)
E là trung điểm AB nên E 5;2;5 .Gọi d là đường thẳng qua E v
+ = Û + =
Þ + Û Û º
uuuur uuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur
{ } ( )
à vuông góc mp (P)
x 5 y 2 z 5
pt d : . E d (P) M E 0; 3;0
1 1 1
- - -
= = = Þ º - I
(
luyenthidaihoc.com - onthidh.vn
16
29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :
1 2
x 1 t
x y 1 z 1
d : ,d : y 1 2t
2 1 1
z 2 t
= +

Vậy pt mp (P):x 3y 5z 13 0
= - = -
é ù
Þ = = - - - Þ - - - + =
ë û
- - + = Û =
+ + - =
uur uur
r uur uur
b) Tìm tọa độ M, N :
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2
M d nên M 2t',1 t', 1 t' ,N d nên N 1 t, 1 2t,2 t
AM 2t',t', 3 t' ,AN 1 t, 2 2t,t
A, M, N thẳng hàng AM,AN 0 Mà AM,AN 2tt' 6t 2t' 6; 3tt' 3t t' 3; 5tt' 5t'
Vậy 2
Ỵ + - - Ỵ + - - +
= - - = + - -
é ù é ù
Û = = - - - - - - - - - -
ë û ë û
-
uuuur uuur
uuuur uuur r uuuur uuur
( ) ( )
( ) ( )
tt' 6t 2t' 6; 3tt' 3t t' 3; 5tt' 5t' 0;0;0
2tt' 6t 2t' 6 0

10 10
x 0
6 6
y 5y DA BA 1 5 5
Ta có DC 5DA DC 5DA y 0
DC BC 5 6 6
z 5z
z
= - - Þ = + + = = - Þ = + + =
+
- +
= = =
+ -
= = Þ = Þ = - Þ = = =
+
=
uuur uuur
uuur uuur
( )
( )
A
D 0;0;3
3 15
3
6 6
Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. AD 2;1;0 AD 5
JB AB 3 3 3 4 5 9 5
JB JD JB JD J ;0;
JD AD
5 5 5 3 5 3 5