PHẠM HỒNG PHONG

 Phân loại chi tiết
 Hệ thống ví dụ phong phú
 Bài tập có đáp số đầy đủ
 Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012
HÀ NỘI - 2012

Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx 45
Chủ đề 3. Phương trình tích 48 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

5

Chủ đề 1. Một số kiến thức chung
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình cơ bản đối với sin

Trong đó,
arcsin m
là nghiệm thuộc đoạn
;
2 2
 
 

 
 
của phương trình
sin x m
(
Hình 1).
Ta thấy với mỗi
 
1;1m  , giá trị
arcsin m

luôn tồn tại duy nhất.
y=sinx
-1
1
-
π
2
π
2
arcsinm
O
Trong đó, arccosm là nghiệm thuộc đoạn
 
0;

của phương trình
sin x m
(Hình 2).
Ta thấy với mỗi
 
1;1m  , giá trị arccosm
luôn tồn tại duy nhất.
π
y=cosx
-1
1
π
2
arccosm
O
m
y
x

Hình 2

3. Phương trình cơ bản đối với tan
 
3

arctanm
luôn tồn tại duy nhất.

y=tanx
arctanm
-
π
2
π
2
O
m
y
x

Hình 3
4. Phương trình cơ bản đối với cot
Xét phương trình

cot x m
. (0.4)

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

7
Với mọi m , (0.4) có nghiệm và
(0.4)

x

Hình 4

5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống
phương trình cơ bản:

   
sin sinf x g x   
   



   
   
2
2
f x g x k
f x g x k

 
 

  


(
k  
);


 


(
k  
);

   
cot cotf x g x   
   



   
 
f x g x k
f x k


 





(
k  
).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình

2
x
x









2
6
5
2
6
x k
x k
x k











2
cos 0
sin
x
x



 




2
2
6
7
2
6
x k
x k
x k







 



2 2
2
3
2 2
2
x x k
x x k





   



  





2
6 3
3
2
2
k

2 2
sin cos 2 1x x  .
 
1
Giải.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

9

 
1


2 2
cos 2 1 sinx x 


2 2
cos 2 cosx x


cos2 cos
cos2 cos
x x
x x



 













2
3
k
x

 (
 
2
2
3
k k
k
k


 
 

 

k
x
x k
 
 

 


  

.
Vậy nghiệm của
 
1 là:
2
3
k
x

 ,
2
3 3
k
x
 
  ,
2x k
 
  


 
 


  




2
2
5 5
x k
k
x

 




 

(
k  
).
Ví dụ 5. Giải phương trình:
 
sin3 1 cos 4 cos3 sin 4x x x x  .

x
k
x

 





 


(
k  
).
Ví dụ 6. Giải phương trình:
sin 4 sin 7 cos3 cos6x x x x
.
 
1
Giải.
 
1


   
1 1
2 2
cos11 cos3 cos9 cos3x x x x   

20 10
2
k
x
x k
 


 


  

(
k  
).
Ví dụ 7. Giải phương trình:
2
1 tan
1
cos
3
x
x
 
.
 
1
Giải.
 

 
 
 
 

tan 0
1
tan
3
x
x










6
x k
x k




2
x 

2
6
x k


   (
k  
).
Ta có
 
1


2
2sin sin 1 0x x  


sin 1
1
sin
2
x
x





 


(
k  
).
Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được
biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn
1
2
sin 1
sin
x
x



 

được biểu diễn bằng những điểm đen.

các họ nghiệm của
 
1 là
2
2k


 ,
7


Chú ý. Khi biểu diễn họ
2k
x
n


  (
k  
,
*
n  , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác
ta được:
 Một điểm trong trường hợp
1n 
.
 Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp
2n 
. Hai điểm này là các điểm
biểu diễn giá trị
2
2
k


 với
0k 
, 1.
 n điểm cách đều nhau trong trường hợp
3n 

3n 

y
x
-1
-1
1
1
O4n 

Ví dụ 9. Giải phương trình
 
2
1 5sin 2cos cos 0x x x   .
 
1
Giải. Điều kiện để
 
1 có nghĩa:
cos 0x 
.
 
1


2
1 5sin 2cos 0




 
1
2
sin 3 1
sin
voâ nghieämx
x
   

 



2
6
7
2
6
x k
x k





  


2
k


 , 2
6
k


  (
k  
).
-
π
2
+2kπ
y
x
π
2
+2kπ
7π
6
+2kπ
-π
6
+2kπ
-1
-1
1



2
2
sin 0
1
sin
8cos
x
x
x







.
 
 
3
4

 
4


 
2 2

k
x
 
  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

13

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của
 
4 trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
trong hai điều kiện
 
2 ,
 
3 (điểm được khoanh trắng), ta
được các họ nghiệm của
 
1 là:
2
8
k


 ,
3
2
8
k

8
+2kπ
7π
8
+2kπ
5π
8
+2kπ
3π
8
+2kπ
π
8
+2kπ
y
x
-1
-1
1
1
O

Chú ý. Họ nghiệm
2k
x
n


  (
k  



 


 
 
2
2
2
2

1 2
n
n
x k
x k
x n k


 
 
 
 


  












sin 2x



2
k
x

 .
Ta có
2 2 2 2
2 2 2
sin sin cos cos sin sin cos
1
1 tan tan 1
2 cos cos cos cos cos cos cos
x x x x
x x x
x x x
x
x
x x x x

sin 2
2
x  (TMĐK)
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

14



2 2
6
5
2 2
6
x k
x k





 



 





4)
 
2
cos 4cos 3 cos 0
2
x
x x    .
5)
 
3
2sin 4sin 3sin sin 2 0x x x x   .
6)
sin sin 2 cos cos2 0x x x x   
.
7)
sin sin 2 cos cos2 0x x x x   
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
1)
 
cos cos7
cos6 4
sin 2
x x
x
x

 
 
 


 .
7)
 
2
2
cos2 1
2
cos
tan 3tan
x
x
x x


   .
D. Đáp số
Bài 1 1)
3
k


 ; 2)
12
k


 ,
5
6



 ;6)
2k

,
2
6 3
k
 
 ; 7)
2k

,
2
3 3
k
 
 . Bài 2 1)
k

,
5
k

; 2)
12
2k




 ; 7)
4
k


  .

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

15

Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình bậc nhất đối với
sin x
, cos x là phương trình có dạng:
sin cosA x B x C 
,
 
1
trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng
0
(
2 2
0A B  ).
* Cách giải: chia hai vế của
 
1 cho
2 2

cos
sin
A
A B
B
A B





 






.
Do đó:
 
2 2
1 sin cos cos sin
C
x x
A B
 
  



0A B C   .
+) Nếu chọn
 
0;2
 
 để:
2 2
2 2
cos
sin
A B
A B
B
A





 






thì
 
1





 


 



thì
 
1


 
2 2
sin
C
x
A B

 

.
Nếu chọn
 
0;2
 
 để:

A B

 

.
Trong từng trường hợp, việc chọn

phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
+) Một số công thức hay sử dụng:
   
4 4
sin cos 2sin 2 cosx x x x
 
     ,
   
3
4 4
sin cos 2 sin 2 cosx x x x
 
     ,
   
3 6
sin 3cos 2sin 2cosx x x x
 
     ,
   
5
3 6
sin 3 cos 2 sin 2 cosx x x x
 

  
 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

17 
sin sin
3 6
x
 
 
 
 
 



2
3 6
5
2
3 6
x k
x k
 

 


(
k  
).
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2 2 sin cos sin cos 0x x x x  
.
 
1
Giải
Ta có
 
1


 
1
sin 2 sin cos
2
x x x  



3 3
sin 2 sin cos cos sin
4 4
x x x
 
 








3
2
4
2
12 3
x k
k
x


 

 



 


(
k  
).
Nhận xét. Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức
 

2
Ta có
 
1

2 3sin cos cos2 1x x x 

3sin 2 cos2 1x x  


3 1 1
sin 2 cos2
2 2 2
x x  

sin 2 cos cos2 sin sin
6 6 6
x x
  
 
  
 
 
sin 2 sin
6 6
x
 




2
3
x k
x k







 

(
k  
) (thỏa mãn
 
2 ).
Ví dụ 4. [ĐHD07] Giải phương trình:

2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
  

1
sin cos cos sin
3 3 2
x x
 
 


1
sin
3 2
x

 
 
 
 



2
3 6
5
2
3 6
x k
x k
 

 

(
k  
).
Ví dụ 5. [ĐHD09] Giải phương trình: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   .
 
1
Giải
Ta có
2sin 3 cos2 sin 5 sinx x x x 
. Do đó
 
1

3 cos5 sin5 2sinx x x 


3 1
cos5 sin5 sin
2 2
x x x 


2 2
sin5 cos cos5 sin sin
3 3
x x x
 
 








6 2
18 3
k
x
k
x
 
 

  



 


(
k  
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

19

Ví dụ 6. [ĐHA09] Giải phương trình:
 

7
2
6
2
2
x k
x k
x k







  



 



 


.
Ta có
  
 

   



2 2
3 6
5
2 2
3 6
x x k
x x k
 

 


   



   





2
18 3
2
2

 
2sin cos 1
1
sin 2cos 3
x x
a
x x
 

 
, (a là tham số).
1) Giải phương trình khi
1
3
a  .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

20

2) Tìm a để
 
1 có nghiệm.
Giải
Xét phương trình
 
sin 2cos 3 0 2x x   .
Ta có
 
2
2 2




4
x k


   (
k  
).
2) Ta có
     
 
2 2 2
2 2
2 2 1 3 1 4 6 4 2 3 2a a a a a a a             .
Do đó
 
1 có nghiệm


 
2
2 3 2 0a a   


2
3 2 0a a  




sin 2 3cos2 1 2x x m  
.
1)
1m  



 
1 trở thành
sin 2 3cos2 3x x 



 
2
2sin cos 3 1 2sin 3x x x  


2
2sin cos 6sin 0x x x 


2
sin cos 3sin 0x x x 


 
sin cos 3sin 0x x x 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44





 

(
k  
).
2) Ta có
 
2
2 2 2
1 3 1 2 4 4 9m m m       . Do đó
 
1 có nghiệm khi và chỉ khi
2
4 4 9 0m m   


1 10 1 10
2 2
m
 
  .
C. Bài tập
Giải các phương trình sau
1)
 
2 2 sin cos cos 3 cos2x x x x   .

3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x    .
9) [ĐHB12]
 
2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x   
.
10)
 
2 2
3
2 4
4sin 3cos2 1 2cos
x
x x

    ,
 
0;x

 .
D. Đáp số
1) Vô nghiệm. 2)
2k
 

,
2 2
9 3
k
 

2
2 3
k
 
 (
k  
) . 6)
4 2
k
 
 (
k  
).
7)
5
12
k


 (
k  
). 8)
6
2k


  ,
2
42 7
k

Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác
Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn
phụ đơn giản:
sint x
,
2
sin
x
t  ,
sin 2t x
,
cost x
,
2
cos
x
t  ,
cos2t x
,
tant x
,
2
tan
x
t  ,
tan 2t x
, … . Các công thức sau đây rất cho ích cho việc phát hiện ẩn phụ:
* Một số công thức “quy về sin”

n
n
x
x
 
 
 
 
,

2
cos2 1 2sinx x  ,
3
sin3 3sin 4sinx x x  ,

2
sin cos 1 sin
2 2
x x
x
 
  
 
 
,
4 4 2
1
sin cos 1 sin
2 2 2
x x

 
2
2 2
sin 1 cos
n
n
x x  ,

2
2
1
tan 1
cos
n
n
x
x
 
 
 
 
,
2
cos2 2cos 1x x  ,

3
cos3 4cos 3cosx x x  ,
2
1 cos
sin


24

B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
 
2
3 sin 1 2cosx x  .
 
1
Giải
Ta có
 
1


 
 
2
3 sin 1 2 1 sinx x  


2
2sin 3sin 1 0x x  



1
2
sin 1



  



 


(
k  
).
Ví dụ 2. [ĐHD06] Giải phương trình:
cos3 cos 2 cos 1 0x x x   
.
 
1
Giải
Ta có
 
1


   
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x     


3 2
4cos 2cos 4cos 2 0x x x   




  

(
k  
).
Ví dụ 3. [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn
 
0;14 của phương trình
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x   
.
 
1
Giải
Ta có
 
1


   
3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x     


3 2
4cos 8cos 0x x 




 


 
0;1;2;3k  .
Vậy các nghiệm thuộc đoạn
 
0;14 là
2

,
3
2

,
5
2

,
7
2

.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
1
2cos2 8cos 7
cos
x x
x

 
   
 



3 2
4cos 8cos 5cos 1 0x x x   


  
2
cos 1 2cos 1 0x x  

cos 1
1
cos
2
x
x








2
2

Do đó
 
1


2
2sin 2 sin 2 1 0x x  


sin 2 1
1
sin 2
2
x
x




 
