PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014
Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)


Khách có kẻ:
Giương buồm giong gió chơi vơi,
Lướt bể chơi trăng mải miết
…
(Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu)

arcsin 2
arcsin 2
x m k
x m k

 
 


  

(
k


).
y=sinx
-1
1
-
π
2
π
2
arcsinm
O
m
y
x



1;1
m  .
 Công thức nghiệm: Với mọi


1;1
m  ,
ta có
(2)


arccos 2
x m k

  
(
k


).
π
y=cosx
-1
1
π
2
arccosm
O
m


. (3)

Với mọi
m
, (3) có nghiệm và
(3)


arctan
x m k

 
(
k


).
Trong đó,
arctan
m
là nghiệm thuộc khoảng
;
2 2
 
 

 
 
của


. (4)
Với mọi
m
, (4) có nghiệm và
(4)


arctan
x m k

 
(
k


).
Trong đó,
arccot
m
là nghiệm thuộc khoảng


0;

của phương
trình (4) ( Hình 4).
Ta thấy với mỗi
m
, giá trị








   
2
2
f x g x k
f x g x k

 
 

  


(
k


);





os osc c







 
2
f x g x k
f x k



 


 


(
k


);





cot cot

x m

với
0
m

thường được giải bằng cách quy về phương trình cơ
bản đối với
tan
, cụ thể:
 cot 0
2
x x k


    .
 Với
0
m

:
1 1
cot tan arctan
x m x x k
m m

      .
 Các giá trị
arcsin
m

sin 0
x x k

  
.
 Một số trường hợp tương tự:
sin 1
2
x x k


    ; sin 1
2
x x k


      ;
cos 0
2
x x k


    ;
cos 1 2
x x k

  
;
cos 1 2
x x k

.
d)
 
1
cot 3 1
3
x   
.
e)
sin 2 sin3 0
x x
 
.
f)
sin 2 sin3 0
x x
 
.
g)
cos4 cos5 0
x x
 
.
h)
cos4 cos5 0
x x
 
.
i)
sin 3x cos5 0


   




(
k


).
b)
 

 
   
  
 
 

  


       




5
1 5

   

        (
k


).
d)
 
1
tan 3 1 3 3 1
3 3 9 3
k
PT x x k x
  

             (
k


).
e)
2
3 2 2
sin3 sin 2
3 2 2
2
5
x k
x x k

5 5
x x k
PT x x x x
x k
x


  


      

 

(
k


).
g)
2
5 4 2
cos5 cos4
2
5 4 2
9 9
x k
x x k
PT x x
k

cos5 cos4 cos5 cos 4
2
5 4 2
( )
9 9
.
5 4 2
2
PT x x x x
k
x x k
x
x k
x k
k
x

 
 
 
 
     

  

 

 








 

 
     
 
 


  
 



 

 


   
  
 





Giải.
a) Ta có


 


  

 
        
 
 


  
  


 




    






2
3 2 2
cos3 cos 2 ( )
5 5
3 2 2
2
.
PT x x x x x x x
k
x x k
x
x x
x x k
k
x k
 
 

 
 
         

  

 

    


   

 
 
     
 
 
            
 
 

Ta thấy
cos2 0
x

không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cuối cũng cho
cos2
x
, ta được phương trình tương đương
tan 2 1 2
4 8 2
k
x x k x
  

          (
k


).
Ví dụ 3. Giải các phương trình
a)

2
cos2 cos
2
2 2
3
3
x k
x x k
k
x x x
k
x x k
x







 


    


  




x x k
x k
 
 

 
 

  
 


      


  

  

.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
2
3
k
x

 ,
2
3 3
k

cos sin cos sin 0
tan 2 arctan 2
( )
sin 0
.
x x x x x
x x x
x x x x
x x k
x x k
k


  
 
   
 
   
 
  
 
 
 
 

 


Ví dụ 4. Giải các phương trình


5 5
PT x x x x x
x k
x x k
k
x x k
x
k


 
 
    


 


 


  







b) Ta có


    


  






 


c) Ta có


4sin sin2 sin3 2 cos3 cos sin3
2sin3 cos3 2sin3xcos
sin 6 sin 4 sin2
x x x x x x
x x x
x x x
  
  
   
.
Do đó
sin6 sin 4 sin 2 sin4 sin 6x cos 2 0
sin 2 cos2 0 sin 2 cos2

.

Giải.

8

a) Ta có
cos3 sin 4 sin3 cos4 sin3 sin7 sin3
7 3 2
2
( )
7 3 2
.
10 5
PT x x x x x x x
k
x
x x k
k
x x k
k
x


 
 
    




  

    
    
        

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
2cos 2 1
0
2sin 1
x
x



.
b)
2
1
sin
8cos
x
x
 .
Giải.
a) Điều kiện:
2
1
6

. (2)
2 2
3 6
PT x x
x k x k
x k x k
 
 
 
 
    
 
   
 
 
 
 
     
 
 9 Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (2) trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm điều kiện
(2) (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của
phương trình là là:
7

6
+2kπ
-1
1
1
O

b) Điều kiện:
cos 0
x




2
x k


  . (1)
Ta có
2
2
sin 0 (2)
1
sin (3)
8cos
x
PT
x
x

3
2
8
k


 ,
5
2
8
k


 ,
7
2
8
k


 (
k


)

-7π
8
+2kπ
-5π

k
x
n


  (
k


,
*
n

,
n
là hằng số) trên đường tròn lượng giác
ta được:
 Một điểm trong trường hợp
1
n

.
 Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp
2
n

. Hai điểm này là các điểm
biểu diễn giá trị
2
2



 với
0
k

,
1
, …,
1
n

.
y
x
-1
-1
1
1
O2
n


y
x
-1
-1

2
cos sin
x x
x x
 
.
c) [ĐHB06]
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
  
 
 
.
Giải.
a) Điều kiện:
sin 0
sin 2 0
cos 0
2
x
k
x x k x
x





x k
x k x k
 


 
 


 
 


 




   




(
k


).
b) Điều kiện:
sin 0

PT x
x
   
(thỏa mãn điều kiện)
2
6
5
2
6
x k
x k





 




 


(
k


).


s sin 2
cot si
s
cos cos cos c
n 1 ta
os cos co
n tan
s
2
cot tan .
2 sin cos sin cos s
2 2
in 2
x x x x
x x x
x
x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x
x
x
x
x x

     



 


 




   




(
k


).
C. BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau
a)
sin5 1
x
 
. ĐS:
10
x k


   .

,
12 6
k
x
 
  .

12

d)
sin 2 cos7 0
x x
 
. ĐS:
4
x k


  ,
24 6
k
x
 
 
e)
2
1
cos 7
4



  .
b)
3sin cos 0
x x
 
. ĐS:
6
k


 .
c)
1
sin cos
4
x x

. ĐS:
12
k


 ,
5
6
k


 .


.
f)
sin 3 cos2 sin 2 cos
x x x x

. ĐS:
k

,
8 4
k
 
 .
g)
 
2
cos 4cos 3 cos 0
2
x
x x
  
. ĐS:
4
5
k

,
4
7


,
2
6 3
k
 
 .
j)
sin sin 2 cos cos2 0
x x x x
   
. ĐS:
2
k

,
2
3
6
k
 
  .

Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
cos cos7
sin 2
cos6 4
x x
x

12
k


 .
c)
1 1 2
sin cos sin 2
x x x
  . ĐS:
2
12
k


 ,
7
2
12
k


  .
d)


sin 2 1 tan 2 tan 1
x x x
 
. ĐS:


 
  
 
 


. ĐS:
x k


.
g)
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x


 
  
 
 
. ĐS:
4
k

A B

, ta được phương trình tương đương:
2 2 2 2 2 2
sin osc
A B C
x
A B A B
x
B A
 
  
.
Vì
2 2
2 2 2 2
1
A B
A B A B
   
 
   
 
   
nên tồn tại


0;2
 
 để:




.
3. Một số chú ý
 Điều kiện có nghiệm: Từ cách giải trên suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình (1):
(1) có nghiệm


2 2 2
0
A B C
  
.
 Nếu chọn


0;2
 
 để:
2 2
2 2
cos
sin
A B
A B
B
A



2 2
cos
sin
A
B
A B
A B





 


 



thì (1)


 
2 2
sin
C
x
A B

 


thì (1)


 
2 2
cos
C
x
A B

 

.
Trong từng trường hợp, việc chọn

phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
4. Một số công thức hay sử dụng
sin cos 2 sin 2cos
4 4
x x x x
 
   
    
   
   
;
3
sin cos 2 sin 2 cos
4 4

   
    
   
   
;
2
3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
 
   
    
   
   
.
5. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
1 1 1
2 2 2
sin cos
sin cos
A x B x C
S
A x B x C
 

 
.
Cách giải: Ta tìm tập giá trị của
S




  


.

16

Áp dụng điều kiện có nghiệm với phương trình (3), kiểm tra điều kiện (4) để loại bớt những giá
trị của
m
. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
S
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các phương trình
a)
3sin cos 1 0
x x
  
.
b)
sin 3 cos 1 0
x x
  
.
c)
3sin 4cosx 6

x k
x k
x
x k
k
x k
  
 



 
 
 

 
       
 
 

   


  
   

     

   


k
x
  



 

    

  
 
  
 
 
  
 
 
   

 
     





 



2 2
x x
x
 
  
 
 
.
c)




3 3
3 sin cos 4 sin cos 1 0
x x x x
    
.
Giải.
a) Ta có

17

2
sin 2 1 cos2
sin cos cos 1 0 1 0
2 2
1
sin 2 cos2 1 2 sin 2 1 sin 2
4 4

        
   
   


  



  


 

  





b) Ta có
2
2 2
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x
 
     
 

 

 

   
 
 
 
 
    


     


   




    






c) Ta có
   
3 3

 
 


 
  


 
     


 
 


    






Ví dụ 3. Giải các phương trình
a)
2 2 sin cos sin cos 0
x x x x
  
.
b) [ĐHD09]

k x k
x
 



 

 
     

  
 


   
     
   
   
 


    








k
x x k x
k
x x
x
k
x k
  

  



 
 
 
     
 
 

   
 
     
 

 
 
     





 
.
Giải.
a) Điều kiện:
cos 0
x




2
x k


  .
Ta có
3 1 1
sin 2 cos2 sin2 cos cos 2 sin
2 3sin cos co
sin
2 2 2 6 6 6
sin 2 sin
6
s2 1 3sin 2 cos2 1
2 2
6 6
7
2 2


  


  
   2
3
x k
x k




 





(thỏa mãn).
b) Điều kiện:
1
sin
2
sin 1
x
x


 



 


.

19

Ta có






2
1 2sin 1 sin sin 1 2sin sin cos2
x x x x x x
       .
Do đó


1 3 1 3
sin 2 cos2 cos sin
2 2 2 2
sin 2 cos cos2 sin sin cos cos sin




   
  

 


   
  
  
   
   
  

  




.
2
2
k






a

.
b) Tìm
a
để phương trình có nghiệm.
c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
S
x x
 

 
.
Giải. Vì
 
2
2 2
1 2 3 4 0
     
nên phương trình
sin 2cos 3 0
x x
  
vô nghiệm. Nói cách
khác
sin 2cos 3 0
x x

x x k
x x


        (
k


).
b) Ta có
     


2 2 2
2 2
2 2 1 3 1 4 6 4 2 3 2
a a a a a a a
            
. Do đó phương
trình có nghiệm khi và chỉ khi


2
2 3 2 0
a a
   



2

1
min
2
S
 
.
Ví dụ 6. Cho phương trình
2 2
2sin sin cos cos
x x x x m
  
.
a) Giải phương trình khi
1
m
 
.
b) Tìm
m
để phương trình có nghiệm.
Giải. Phương trình đã cho tương đương với
 
1 1 cos2
1 cos2 sin 2 sin 2 3cos2 1 2
2 2
x
x x m x x m

        .
a)

 


 
  

 
 
  






b) Ta có
 
2
2 2 2
1 3 1 2 4 4 9
m m m
      
. Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
1 10 1 1
4 4 9
2
0
0
2

c)


4 4
4 sin cos 3sin 4 2
x x x
  
. ĐS:
12 2
 
 
k
,
4 2
 

k
.
d)


 
2
6 6
8 sin cos 3 sin2 cos2 5
x x x x
   
. ĐS:
2


   
x x x . ĐS:
4 2
 

k
.
g)
3cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6

 
   
 
 
x x x . ĐS:
5
24
k




21

h) [ĐHB09]


3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin

3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4

 
   
 
 
x
x x ,


0;
x

 . ĐS:
5
18

,
17
18

,
5
6

.
Baøi 2. Giải các phương trình sau


sin cos 2
x
y
x x


 
.
ĐS:
3
min
2
y
 
,
max 1
y
 
.
Baøi 5. Cho hàm số
2 cos 1
cos sin 2
m
m x m
y
x x
 

 


 ).