BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ THÙY TRANG
VỀ TÍNH HỮU HẠN
CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ THÙY TRANG
VỀ TÍNH HỮU HẠN
CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN
Nghệ An - 2014
3
MỤC LỤC
Mục lục 3
Mở đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Giá của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Môđun xoắn, hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

M
(m) = depth(M) là độ sâu của M). Năm 1992,
C. Huneke [4] đã đặt ra câu hỏi: Nếu M là một môđun hữu hạn sinh, phải
chăng tập các iđêan nguyên tố liên kết AssH
i
a
(M) của môđun đối đồng điều
địa phương H
i
a
(M) là một tập hợp hữu hạn với mọi i ≥ 0? Khi vành cơ sở
R là chính quy, các kết quả liên quan đến vấn đề này được đưa ra bởi C.
Huneke-R. Y. Sharp [5], G. Lyubznik [9] và A. K. Singh-U. Walther [12]. Khi
vành cơ sở R không là vành chính quy, A. K. Singh [11] và M. Katzman [6] đã
đưa ra phản ví dụ cho câu hỏi trên của C. Huneke, cụ thể, tồn tại một vành
địa phương Noether R và một iđêan a sao cho AssH
2
a
(R) là tập hợp vô hạn.
Tuy nhiên câu hỏi này vẫn có câu trả lời khẳng định với những điều kiện nhất
định, chẳng hạn, M. Brodmann-A. L. Faghani [3] và K. Khashyarmanesh-Sh.
5
Salarian [7] đã chứng minh được rằng: AssH
t
a
(M) là một tập hữu hạn nếu
một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) H
i
a

nói, nó là một mở rộng của [3] và [7].
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo
[10] của Phạm Hùng Quý. Để dễ theo dõi, trong luận văn này, chúng tôi cũng
trình bày chứng minh kết quả nói trên của M. Brodmann-A. L. Faghani [3]
và K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian [7].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung
luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong
chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán
có sử dụng trong luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dung
chính của luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có
nhằm phục vụ cho các chứng minh ở Chương 2. Chương 2: Về tính hữu hạn
của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương.
Phần đầu chương này, chúng tôi dành trình bày chứng minh kết quả chính
của M. Brodmann-A. L. Faghani trong [3] và của K. Khashyarmanesh-Sh.
Salarian trong [7]. Chú ý rằng K. B. Lorestani, P. Sahandi và T. Sharif [8] đã
chứng minh lại kết quả của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7] một
cách đơn giản hơn. Vì thế, chúng tôi trình bày chứng minh theo [3] và [8].
6
Phần tiếp theo của chương, chúng tôi trình bày một cách chi tiết kết quả
trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 09 năm 2014 dưới sự hướng dẫn tận
tình của Cô, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này chúng tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô. Đồng thời, tác giả cũng xin được cảm ơn các
thầy, cô trong khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học của trường Đại học
Vinh, trường Đại học Đồng Tháp; cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp và gia
đình đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Nghệ An, tháng 09 năm 2014
Tác giả
7
CHƯƠNG 1

cực đại m
R
của vành R (m
S
là iđêan cực đại của vành S).
1.2 Môđun hữu hạn sinh
1.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Một hệ các phần tử {x
i
}
i∈I
với x
i
∈ M được gọi là hệ sinh của R-môđun M nếu mọi phần tử x ∈ M đều
là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ {x
i
}
i∈I
, nghĩa là, với mọi x ∈ M đều tồn
tại tập con hữu hạn J ⊆ I sao cho x =

i∈J
a
i
x
i
, a
i
∈ R.
Chú ý rằng mọi môđun đều có hệ sinh. Hệ sinh của mỗi môđun là không
duy nhất. Giả sử S là một hệ sinh của R-môđun M. Khi đó ta nói S là hệ

R
(x) = {a ∈ R | ax = 0},
Ann
R
(M) = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M}.
Ta có Ann
R
(x) và Ann
R
(M) là những iđêan của R; Ann
R
(M) được gọi là
linh hóa tử của môđun M. Hơn nữa SuppM = V (Ann
R
M) nếu M là môđun
hữu hạn sinh.
1.4 Iđêan nguyên tố liên kết
1.4.1 Định nghĩa. Giả sử M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M, x = 0
sao cho
p = (0:
R
x) = Ann
R
(x).
10
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass
R
(M), hoặc
Ass(M) nếu không cần thiết phải nhấn mạnh vào vành R. Vậy


p∈Ass
R
(M)
p.
(iv) Nếu N là một môđun con của M thì Ass
R
(N) ⊆ Ass
R
(M) .
(v) Cho
0
//
M

//
M
//
M

//
0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Ta có
Ass
R
(M

) ⊆ Ass
R
(M) ⊆ Ass

(M).
1.4.5 Định lí. Nếu M là R-môđun Noether thì tập Ass
R
(M) là hữu hạn.
1.5 Môđun xoắn, hàm tử xoắn
1.5.1 Định nghĩa. Cho R-môđun M, I là iđêan của R, ta đặt:
Γ
I
(M) =

n≥0
(0:
M
I
n
)
Khi đó Γ
I
(M) là một môđun con của M. Môđun Γ
I
(M) gọi là môđun con
I-xoắn của R-môđun M. Một R-môđun M được gọi là môđun I-xoắn nếu
M = Γ
I
(M), nghĩa là với mỗi m ∈ M, tồn tại n ∈ N sao cho mI
n
= 0.
Với mỗi R-đồng cấu f : M → N ta có f(Γ
I
(M)) ⊆ Γ

(M) cũng là R-môđun
nội xạ.
12
1.5.5 Mệnh đề. Hàm tử I-xoắn Γ
I
là hàm tử khớp trái, nghĩa là, với mỗi
dãy khớp ngắn các R-môđun
0 → M

→ M → M

→ 0
ta có cảm sinh sau đây cũng khớp
0 → Γ
I
(M

) → Γ
I
(M) → Γ
I
(M

).
1.6 Môđun đối đồng điều địa phương
1.6.1 Định nghĩa. Cho a là một iđêan của vành R. Với mỗi số tự nhiên i,
hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ
a
được kí hiệu là H
i

//
a
1
d
1
////
. . .
//
a
i
d
i
//
a
i+1
d
i+1
//
. . . .
của M. Khi đó có một R-đồng cấu α : M → a
0
sao cho dãy
0
//
M
α
//
a
0
d

Γ
a
(d
0
)
−→ Γ
a
(a
1
)
Γ
a
(d
1
)
−→ · · ·
Γ
a
(d
i−1
)
−→ Γ
a
(d
i
)
Γ
a
(d
i

a
(M) = Γ
a
(M) là một môđun con của
M.
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.
1.6.2 Mệnh đề. Nếu M là một R-môđun a-xoắn thì H
i
a
(M) = 0 với mọi
i ≥ 1.
1.6.3 Mệnh đề. Nếu iđêan a có thể sinh bởi t phần tử thì với mọi R-môđun
M ta có H
i
a
(M) = 0 với mọi i > t.
Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và aM = M. Khi đó độ sâu của a
theo M, kí hiệu là grade
M
(a), là độ dài chung của tất cả các dãy chính quy cực
đại trong iđêan a. Khi (R, m) là vành địa phương thì grade
M
(m) = depth(M)
chính là độ sâu của M.
1.6.4 Mệnh đề. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và aM = M. Khi
đó H
i
a
(M) = 0 với mọi số nguyên i > dim M hoặc i < grade
M

0
a
(M)
//
H
0
a
(M

)
//
H
1
a
(M

)
//
. . .
//
H
i−1
a
(M

)
//
H
i
a

(M) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i < t;
(ii) a ⊆

AnnH
i
a
(M) với mọi i < t;
(iii) Tồn tại số nguyên dương n
0
sao cho a
n
0
H
i
a
(M) với mọi i < t.
1.7 Hàm tử Tor
1.7.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Xét hàm tử tenxơ:
T = M⊗
R
− : µ
R
−→ µ
R
N −→ M
R
⊗ N.
Từ một lời giải xạ ảnh của N
P
N

: . . .
//
M⊗
R
P
n
d
∗
n
////
M⊗
R
P
n−1
d
∗
n−1
////
. . .
. . .
//
M⊗
R
P
1
d
∗
1
//
M⊗

R
n
(M, N)
được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ n của hàm tử tenxơ.
1.7.2 Định lí. Hàm tử Tor
R
n
(A, B) không phụ thuộc vào sự lựa chọn giải xạ
ảnh của B.
1.7.3 Mệnh đề. (i) Tor
R
n
(M, N) = 0, ∀n < 0.
15
(ii) Tor
R
0
(M, −)
∼
=
M⊗
R
− .
(iii) Tor
R
0
(−, N)
∼
=
−⊗

R
n
(M, N

)
//
. . .
. . .
//
Tor
R
1
(M, N

)
//
Tor
R
1
(M, N)
//
Tor
R
1
(M, N

)
//
//
M⊗

(M, −) : µ
R
−→ µ
R
N −→ Hom
R
(M, N).
Từ lời giải nội xạ của N
E
N
: 0
//
E
0
d
0
//
E
1
d
1
////
. . .
//
E
n−1
d
n−1
//
E

. . .
16
. . .
//
Hom
R
(M, E
n−1
)
d
n−1
∗
//
Hom
R
(M, E
n
)
d
n
∗
//
. . . (2)
Môđun đồng điều thứ n của dãy phức (2): H
n
(Hom
R
(M, E
N
)) được gọi

R
(M, N)
∼
=
Hom
R
(M, N).
1.8.3 Định lí. Từ dãy khớp ngắn các môđun
0
//
N

//
N
//
N

//
0,
ta được dãy khớp dài
0
//
Hom
R
(M, N

)
//
Hom
R

//
Ext
n
R
(M, N

)
//
Ext
n
R
(M, N)
//
Ext
n
R
(M, N

)
//
. . . .
1.8.4 Mệnh đề. (i) Nếu M là môđun xạ ảnh thì
Ext
n
R
(M, N) = 0,
với mọi số nguyên dương n và với mọi môđun N.
17
(ii) Nếu N là môđun nội xạ thì
Ext

R
(R/I
n
, M).
18
CHƯƠNG 2
VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN
NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Trong chương này vẫn giả thiết vành R là vành giao hoán Noether có đơn
vị; a là một iđêan của R và M là một R-môđun. Môđun đối đồng điều địa
phương H
i
a
(M) không phải luôn hữu hạn sinh ngay cả khi M là môđun hữu
hạn sinh. Nếu (R, m) là vành địa phương thì lớp môđun M mà H
i
m
(M) hữu
hạn sinh với mọi i = dim M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Chú ý rằng, một môđun không hữu hạn sinh nhưng tập các iđêan nguyên tố
liên kết của nó có thể vẫn hữu hạn.
Một vấn đề được nhiều người quan tâm trong Đại số giao hoán là xác
định xem khi nào thì tập các iđêan nguyên tố liên kết AssH
i
a
(M) của môđun
đối đồng điều địa phương H
i
a

(M) là hữu hạn sinh hoặc Supp(H
i
a
(M)) là
một tập hữu hạn với mọi i < t. Khi đó AssH
t
a
(M) là một tập hữu hạn.
Như vậy, tập hợp AssH
t
a
(M) là hữu hạn nếu H
t
a
(M) là môđun đối đồng
điều địa phương đầu tiên không hữu hạn sinh và Supp(H
t
a
(M)) là không hữu
hạn. Đây là kết quả chính trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý. Có thể
nói, nó là một mở rộng của [3] và [7].
Mục đích chính của chương này là trình bày lại kết quả trong bài báo
[10] của Phạm Hùng Quý. Để dễ theo dõi, phần đầu của chương, chúng tôi
dành trình bày chứng minh kết quả chính của M. Brodmann-A. L. Faghani
trong [3] và của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7]. Chú ý rằng K.
B. Lorestani, P. Sahandi và T. Sharif [8] đã chứng minh lại kết quả của K.
Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7] một cách đơn giản hơn. Vì thế, chúng
tôi trình bày chứng minh theo [3] và [8]. Phần tiếp theo của chương, chúng
tôi trình bày một cách chi tiết kết quả trong bài báo [10] của Phạm Hùng
Quý.

dãy a-lọc chính quy. Đến năm 2006, P. Sahandi và T. Sharif [8] đã chứng
minh lại kết quả (ii) của [7] đơn giản hơn rất nhiều. Vì thế chúng tôi sẽ trình
bày chứng minh hai kết quả này theo [3] và [8].
Trước hết, chúng tôi trình bày chứng minh kết quả chính của M. Brodmann-
A. L. Faghani trong [3].
2.1.1 Mệnh đề. Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho H
i
a
(M) là
hữu hạn sinh với mọi i < t và N là một môđun con hữu hạn sinh của H
t
a
(M).
Khi đó tập Ass
R
(H
t
a
(M)/N) là hữu hạn.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng qui nạp theo t. Trường hợp t = 0
thì rõ ràng H
0
a
(M) là hữu hạn sinh. Vì thế, giả sử t > 0 và
¯
M := M/Γ
a
(M).
Vì H
0

x
//
M
//
M/xM
//
0.
Từ đó suy ra H
l
a
(M/xM) là hữu hạn sinh với mọi l < t − 1. Hơn thế nữa, ta
có biểu đồ sau giao hoán với các dòng và các cột là khớp, trong đó δ là đồng
21
cấu nối và ε, ς là những ánh xạ tự nhiên.
H
t−1
a
(M)
ε
//
H
t−1
a
(M/xM)

δ
//
H
t
a

H
t
a
(M)
oo
0 0
Do Ker(δ) = ε(H
t−1
a
(M)) và N đều hữu hạn sinh, nên δ
−1
(N) cũng hữu hạn
sinh. Vì thế, theo qui nạp ta có
T := H
t−1
a
(M/xM)/δ
−1
(N)
chỉ có hữu hạn nguyên tố liên kết. Do đó ta chỉ cần chứng minh:
Ass
R
(H
t
a
(M)/N) ⊆ Ass
R
(T ) ∪ Ass
R
(N).(∗∗)

Vì xsh bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của x nên x ∈ p. Bởi cách chọn h
ta có xsh ∈ N. Điều đó kéo theo p ∈ Ass
R
(N), và do đó bao hàm thức (**)
được chứng minh.
Định lý sau đây là kết quả chính của [3], nó được suy ra ngay từ mệnh đề
trên.
2.1.2 Định lí. Cho t một số nguyên không âm. Khi đó AssH
t
a
(M) là một
tập hợp hữu hạn nếu các môđun H
i
a
(M) là hữu hạn sinh với mọi i < t.
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.1.1 với N = 0.
22
Phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu kết quả sau: Cho R là vành Noether,
a là iđêan của R, M là một R- môđun hữu hạn sinh và t là một số nguyên
không âm. Nếu SuppH
i
a
M là tập hữu hạn với mọi i < t thì Ass(H
t
a
M) là
tập hợp hữu hạn. Đây là kết quả chính trong [7] nhưng được chứng minh lại
trong [8] một cách đơn giản hơn nên chúng tôi trình bày chứng minh theo [8].
2.1.3 Bổ đề. Giả sử M là một R-môđun a-xoắn, tức là, M =
∞

n
)
t
px = 0. Đặt q = (q
1
q
n
)
t
. Ta có
qpx = 0 và do đó p ⊆ Ann(qx) ⊆ (N:
R
qx).
Lấy a ∈ (N:
R
qx), khi đó aqx ⊆ N. Suy ra aq ⊆ p. Nếu a /∈ p, tức là, q ⊆ p
thì q
i
⊆ p với i nào đó thỏa mãn 1 ≤ i ≤ n. Do q
i
∈ Supp(px) và px ⊆ N ta
nhận được p ∈ Supp (N) . Điều này mâu thuẫn. Vậy a ∈ p và p = Ann(qx),
do đó p ∈ Ass(qx) suy ra p ∈ Ass(M). Bổ đề được chứng minh.
2.1.5 Định lí. Cho a là iđêan của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh.
Giả sử tồn tại một số nguyên không âm t sao cho Supp(H
i
a
M) là tập hữu
hạn với mọi i < t. Khi đó Ass(H
t

0.
ta có dãy khớp dài sau:
. . .
//
H
t−1
a
(M)
x
//
H
t−1
a
(M)
g
//
H
t−1
a
(
¯
M)
f
////
H
t
a
(M)
//
. . . .

ta nhận được Ass(Imf) là tập hữu hạn. Do đó áp dụng Bổ đề 2.1.3 và tính
chất Imf = (0:
H
t
a
(M)
x) ta có điều cần chứng minh.
2.2 Môđun FSF
Trong Mục 2.1, chúng tôi đã trình bày chứng minh kết quả chính của M.
Brodmann-Faghani [3] và của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian [7]. Có thể
tóm lược các kết quả này thông qua định lý sau.
2.2.1 Định lí. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và là t một số nguyên
không âm. Khi đó AssH
t
a
(M) là một tập hợp hữu hạn nếu một trong các điều
kiện sau được thỏa mãn:
(i) H
i
a
(M) là hữu hạn sinh với mọi i < t.
(ii) Supp(H
i
a
(M)) là một tập hợp hữu hạn với mọi i < t.
24
Trong bài báo [10], tác giả Phạm Hùng Quý đưa ra kết quả tổng hợp cho
định lí nói trên. Để làm được điều này, Phạm Hùng Quý đã giới thiệu một
lớp môđun gọi là môđun FSF.
2.2.2 Định nghĩa. Một R-môđun M được gọi là môđun F SF nếu tồn tại

1
và M
2
, tương ứng, sao cho Supp(M
1
/N
1
) và Supp(M
2
/N
2
)
là tập hợp hữu hạn. Ta có thể giả sử rằng M
1
là một môđun con của M và
M
2
là môđun thương của M. Xét các phần tử x
1
, x
2
, . . . , x
n
và y
1
, y
2
, . . . , y
m
cuả M sao cho x

1
, y
2
, . . . , y
m
. Ta có N là hữu
hạn sinh, và khẳng định Supp(M/N) là một tập hữu hạn được suy ra từ dãy
khớp
M
1
/N
1
→ M/N → M
2
/N
2
→ 0.
Vậy M là môđun FSF.
Từ mệnh đề trên ta suy ra ngay hệ quả sau.
2.2.4 Hệ quả. Nếu M là môđun FSF thì môđun con và môđun thương của
M cũng là môđun FSF.
25
2.2.5 Chú ý. (i). Từ định nghĩa ta thấy ngay nếu M là F SF thì AssM là
tập hữu hạn.
(ii). Nếu M là môđun Noether hoặc môđun Artin thì M là môđun FSF.
2.3 Về chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng
Quý [10]
2.3.1 Bổ đề. Cho M là một R-môđun FSF và N là một R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó Ext
i

(N, M
1
)
//
Ext
i
R
(N, M)
//
Ext
i
R
(N, M
2
)
với mọi i ≥ 0. Do N và M
1
là các môđun hữu hạn sinh và Supp(M
2
) là một
tập hữu hạn, ta có Ext
i
R
(N, M
1
) là hữu hạn sinh Supp(Ext
i
R
(N, M
2

a
(M)) ⊆ M. Xét t > 0
và đặt M = M/H
0
a
(M). Khi đó M là FSF theo Mệnh đề 2.2.3, H
0
a
(M) = 0,