1
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ
Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình,
chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô
Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè và
người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2011
Tác giả Trần Thị Thắm

3
MỤC LỤC Trang
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Mục lục 3
Mở đầu

5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Dãy số 7
1.2. Sai phân 7
1.2.1. Định nghĩa 7
1.2.2. Tính chất 8
1.2.3. Một số ứng dụng 11
Chương 2. Phương trình sai phân tuyến tính

2.1. Phương trình sai phân tuyến tính 16
2.1.1. Định nghĩa 16
2.1.2. Nghiệm 17
2.2. Dạng tổng quát của phương trình sai phân 24
2.3. Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số 26
2.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số

3.7.2. Phương trình sai phân với hệ số hằng và biến đổi Z 59
3.7.3. Hàm truyền đạt 61
3.8. Độ ổn định 61
3.8.1. Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến 61
3.8.2. Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân
quả
62
3.8.2. Tiêu chuẩn Jurry 63
3.9. Phân tích hệ thống LTI trong miềm Z 65
3.9.1. Hàm truyền đạt của hệ thống LIT 65
3.9.2. Đáp ứng quá độ 72
3.9.3. Hệ thống ổn định và nhân quả 74
Kết luận
80
Tài liệu tham khảo
82
5
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên
quan tới phương trình sai phân. Vì vậy việc nghiên cứu phương trình sai phân
đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học và toán học ứng dụng. Nhiều
hiện tượng khoa học và kĩ thuật dẫn đến các bài toán phương trình sai phân,
giải các bài toán đó dẫn đến giải các phương trình sai phân.

một nghiên cứu tổng quan về phương trình sai phân và ứng dụng của nó trong xử lý
tín hiệu và lọc số.
6. Giả thuyết khoa học (hoặc Dự kiến đóng góp mới, nếu đề tài không
thuộc chuyên ngành Giáo dục học).

7

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ


N
được gọi là dãy số vô hạn ( gọi tắt là
dãy số) và tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử là:



0 1
(0) , (1) , , ( ) ,
n
x x x x x n x  
Vậy ta có thể xem dãy số là một hàm số của đối số tự nhiên
n
, với kí
hiệu:
( ) ,
n
x n x n N
 1.2. Sai phân
1.2.1. Định nghĩa
Hàm số
:
x Z R

. Ta gọi hiệu:
1
n n n
x x x

2x
n n n n n n
n n n n
n n n
x x x x x x
x x x x
x x
 
  
 
          
   
  

Định nghĩa theo quy nạp: Sai phân cấp
k
của hàm
n
x
là sai phân của sai
phân cấp
1
k

của hàm số đó.
8



Từ nay về sau, ta gọi tắt sai phân cấp 1 là sai phân.
1.2.2. Tính chất
Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm
số.
Chứng minh: Ta chứng minh công thức (1.1) bằng phương pháp quy nạp
toán học. Thật vậy:
Với
1
n

, ta có

0 1
1 1 1 1
n n n n n
x x x C x C x
 
    

Giả sử (1.1) đúng với
n k

, có nghĩa là:

0
( 1) . .
k
i
k i



  


  

(1.2)
Vế phải của (1.2) là:

1
1
k k k
n n n
x x x


    

=
1
0 0
( 1) ( 1)
k k
i i i i
k n k i k n k i
i i
C x C x
    
 

i i
C x C x

 
     
 
  
 

=
 
1
1
1 1
1 1 1
0 1
( 1) ( 1) 1
k k
k
i i i i
n k k n k i k n k i n
i i
x C x C x x


 
       
 
     
 

k
i i k k
k n k k n k i k n k i
i
C x C x C x
 
            

    


=
1
1 1
0
( 1)
k
i i
k n k i
i
C x

   




Đây là vế phải của (1.2). Suy ra (1.2) đúng
*
k N

k
n n n k i n k i
i
ax by ax by
   

    


=
 
0 0
( 1) 1
i i
k k
i
k n k i n k i
i i
C ax by
   
 
  
 

=
 
0 0
. ( 1) . . 1 .
i i
k k



iii) Bằng
0
, nếu
k m


Chứng minh: Theo tính chất 2 thì sai phân cấp
k
cũng là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức ( )
m
m
P n n


là đủ.
10
i) Ta có:



1
m
m m
n n n

thì


s m
m s
n P n

  (1.3)
Ta chứng minh
1
k s m
  
thì


1
1
s m
m s
n P n

 
 
Thật vậy:



1
1
m

  

ii) Theo chứng minh trên khi
k m

ta có:





0
m m
m m
n P n P n c

   
(hằng số).
iii) Khi
k m

ta có:



1
( ) . 0
k m k m m m k m k m
n n c c
   


1 1 1
1
( ) ( )
k k k
a a N
x x x
  

         
11



1 1 1 1 1 1
1 2 1 1

k k k k k k
a a a a N N
x x x x x x
     
   
            1 1 *
1

1 1 1 1 1
( )
! ( 1)! ! ! ( 1)!
k
k k k k k

    
 

=
1
( 1)!
k
 
 
 

 

Vậy
1
1
!
n
k
k
S
k





2.
1
os x
n
k
B c k




Giải:
1. Ta có

1 1 1
os os os
2 2 2
c k x c k x c k x
     
     
     
     

=
2sin x.sin
2
x
k


os
2
2sin
2
n
k
c k x
x

 
 
 
 
1
os os
2 2
2sin
2
x
c n x c
x
 
 
 
 
 





1
sin sin
2 2
sin
2
n nx
x
x



2. Ta có

1 1 1
sin sin sin
2 2 2
k x k x k x
     
     
     
     

=
2 os x.sin
2
x
c k


1
sin sin
2 2
2sin
2
x
n x
x
 
 
 
 
 1
2cos sin
2 2
2sin
2
n nx
x
x


 1

 
2 2 2
2 3 3
1 1 1
S , 2,
n n N
A A A
     
Giải: Ta có

2
!
( 1)
( 2)!
n
n
A n n
n
  
2
1 1 1 1 1
( 1) 1 1
n
A n n n n n
     
  


1.2.3.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Ví dụ 1.2.3.4. Cho dãy số:
1, 2, 2,1,7,16,28,
 
Tìm số hạng tổng quát của
dãy số đó.
14
Giải:
Để tìm số hạng tổng quát ( hay quy luật) của dãy số ta lập bảng sai phân
sau:


n
u f n


12
2
9122
n
u
3333

3

Do
2
3

2
2
4a 2 2
1
a
c
a b c b
b c
c






 
     
 
 
   






Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
2
3 9
1; 0,1,2


3113169

131
n
u


2 8 20 38 62
2
n
u


6 12 18 24
3
n
u


6 6 6

1 1
3 0
8a 4 2 11 1
27a 9 3 31 1
c a
a b c d b
b c d c
b c d d
 
 
 
    
 

 
    
 
 
    
 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
3
1; 0,1,2
n
u n n n   

hay
3 2
3 4 1; 1,2,3

k
n n n n
F x x x x
   

trong đó
n
x
hiểu là sai phân cấp
0
của hàm
n
x
; cấp lớn nhất (ở đây là bằng
k
)
của sai phân là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.
Định nghĩa 2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm
n
x
là một biểu
thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm
n
x
tại các điểm khác nhau

0 1 1

h n n k n k k n n
L x a x a x a x f

là hàm số
của
n
được gọi là vế phải;
n
x
là các giá trị cần tìm được gọi ẩn.
Phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc
k
vì
để tính được tất cả các giá trị
n
x
, ta phải cho trước
k
giá trị liên tiếp của
n
x

rồi tính các giá trị còn lại của
n
x
theo công thức truy hồi.
Định nghĩa 3. Nếu
0
n
f

thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất.

với hệ số hằng số:

0 1 1
0
h n n k n k k n
L x a x a x a x
  
    
(2.2)
2.1.2. Nghiệm
Hàm số
n
x
biến
n
thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai
phân tuyến tính (2.1).
Hàm số
n
x

thỏa mãn (2.2) được gọi là nghiệm tổng quát của (2.2), nếu với
mọi tập giá trị ban đầu
0 1 1
, , ,
k
x x x

ta đều xác định được duy nhất các tham
số

n
x
, với
*
n
x
là nghiệm riêng
bất kì của (2.1).
Chứng minh: Giả sử
n
x

và
*
n
x
là 2 nghiệm của (2.1), ta có:
*
;
h n n h n n
L x f L x f
 
.
Do
h
L
tuyến tính nên :

 
* * *

n n n k nk
x C x C x C x
   

với
1 2
, , ,
k
C C C
là các hằng số
tùy ý.
Chứng minh.
18
Do
h
L
tuyến tính nên

1 1
0
k k
h n h i ni i h ni
i i
L x L C x C L x
 
  
 

1
0 0 1 1 1
, , ,
k
k
x x x x x x


  
  
, tức là
hệ

1 01 2 02 0 0
1 11 2 12 1 1
1 1,1 2 1,2 1,

k k
k k
k k k k k k
C x C x C x x
C x C x C x x
C x C x C x x
  
   



k
k
k k k k
x x x
x x x
x x x
  
  
, điều này luôn đúng do tính độc lập
tuyến tính của các vectơ nghiệm
1 2
, , ,
n n nk
x x x
đã cho ở giả thiết.
Ta đi tìm nghiệm
n
x

của (2.2) và
*
n
x
của (2.1), từ đó ta tìm nghiệm
n
x
của
(2.1). Do phương trình (2.2) luôn có nghiệm
0
n

0
k k
h k
L a a a
  

    
(2.3)
19
Ta gọi (2.3) là phương trình đặc trưng của (2.2) (cũng là phương trình đặc
trưng của (2.1)). Nghiệm
n
x

của (2.2) và
.
n
x
của (2.1) phụ thuộc cốt yếu vào
cấu trúc nghiệm của (2.3).
Định lí 3. (Từ các trường hợp về cấu trúc nghiệm của (2.3) cho ta nghiệm
n
x

của (2.2)).
Trường hợp 1: Nếu (2.3) có
k


=
1
k
k
i i
i
C



,
(
1,2, ,
i k

) và với
i
C
là các hằng số tùy ý.
Chứng minh
Thật vậy:
Ta có
h
L
n
x

=
1

k
i j i j
j i k
k k k
k
v i j
  
   
  
  
  
       


Theo định lí 2 ta có :
1
k
k
n
i i
i
x C





(
1,2, ,
i k

j j i i
i i i j
x C n C
 

  
 
 

, với
,
j
i i
C C
là các hằng số tùy ý.
20
Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức



os sin
j
a bi r c i
  
   

trong đó

nj j j nj j j
x r n x r n
     
     
là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2), khi đó

1 2
1,
( cos sin )
k
n n
n i i j j
i i j
x C r C n C n
  
 
  


trong đó
1 2
, ,
j i j
C C C
là các
hằng số tùy ý.
Trường hợp 4: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức
j

bội

r nc n r n c n r n c n
r n n r n n r n n
     
     


  
  

Và theo định lý 2 ta có

1 1
1 2 1 2
1,
( )cos ( )sin
k
n n s s
n i i n n
i i j
x C r A A n A n n B B n B n n
  
 
 
 
        
 


, trong
đó


có các nghiệm
1
1


(bội 3),
2
2

 
. Với nghiệm
1
1


(bội
3
) ngoài
nghiệm
1
n


ta bổ

sung thêm nghiệm
2 2
1 1
, .

3 2
1 2 2
5 8 6 0 3, 1 , 1 ;( 2
i i r
     
           ;
4



)
Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

1 2
1 1 1
3 ( 2) ( cos sin )
4 4
n n
n
x C C n C n
 
  

với
1 2 3 4
, , ,
C C C C
là các hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.1.2.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau:


2
i

 
(bội 3) với (
2
1; ; 1
2
i r


   
)
22
Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:

2 2
1 1 2 3 1 2 3
2 ( ) os ( ) os
2 2
n
n
x C A A n A n c n B B n B n c n
 
      

, với

và dùng phương pháp hệ số bất định (phương pháp chọn) để xác định
các tham số trong các dạng nghiệm này.
Trường hợp 1:
n
f
là đa thức bậc
m
của
n
, tức là
( ),
n m
f P n m N
 
.
Nếu (2.3) có
k
nghiệm
1 2
, , ,
k
  
khác
1
thì


*
, .
n m


, .
n
n m
f P n m N

 

Nếu (2.3) có tất cả các nghiệm là thực khác  thì


*
, .
n
n m
x Q n m N

 

Nếu (2.3) có nghiệm
 

bội s thì


*
, .
s n
n m
x n Q n m N

 
Trường hợp 4:
1 2

n n n ns
f f f f
   
, ta tìm nghiệm
*
ni
x
ứng với từng
hàm


1,2, ,
ni
f i s


23
Do tính tuyến tính của phương trình sai phân nên nghiệm riêng
*
ni
x
có
dạng:


đều khác
1
.
Do vậy, ta tìm
*
n
x an b
 
(vì hàm
n
f
là hàm bậc nhất). Thay
*
n
x an b
 

vào phương trình sai phân và so sánh các hệ số lũy thừa ở hai vế

( 3) 3[ ( 2) ] 4[ ( 1) ] 12( ) 1
a n b a n b a n b an b n
           

ta thu được:

1
6 1
6
7 6 1 13

n
x
của phương trình sai phân:

3 2 1
7 16 12 2 (24 24 )
n
n n n n
x x x x n
  
    
Giải:
Phương trình đặc trưng:
3 2
7 16 12 0
  
   
có nghiệm


1 2
2( b 2), 3; 24 24 ; 2
m
P n n
  
    
éi nên ta tìm


* 2

2
2
8 ( 3) 3 28[ ( 2) ] 2 32[ ( 1)
] 1 12( ) 24 24
a n b n a n b n a n
b n an b n n
        
     
[ ]

Sau khi biến đổi vế trái thành đa thức, ta so sánh các hệ số của lũy thừa n ở
hai vế ta được:

24 24 1
24 8 24 0
a a
a b b
   
 

 
  
 

Vậy
* 3
2
n
n
x n

1 2 3
1, 2; 3
  
  
;
Vế phải:

1
1 2 3 4
2 5 3
4( 1) 2 sin
3 3 2 3
n
n n n n n
n n
f n c f f f f
 

        os
Với
1
4( 1)
n
f n
 
thì nghiệm riêng tương ứng có dạng:
*
( )
n
x n an b

*
2
n
n
x an
 , thay vào
phương trình sai phân ta được:
.
3 2 1
( 3)2 6 ( 2)2 11 ( 1)2 2 22 ,
n n n n n
a n a n a n an n N
  
        

Chọn
0
n

suy ra
1
a


25
Vậy
*

cos sin 6 cos sin
3 3 3 3
( 1) ( 1)
11 cos sin 6 cos sin ,
3 3 3 3
n n n n
a b a b
n n n n
a b a b n N
   
   
   
 
  
 
 
 
   
     
   
   

Chọn
0; 1 0; 1
n n a b
    
. Vậy
*
4
sin

y Ay f y

 
   
cho trước
trong đó
n
y

là một vectơ có các thành phần là các giá trị của hàm lưới
n
x
;
n
f


là vectơ của
n
;
A
là một toán tử tuyến tính.
Cách làm như sau: Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp


3
k k
