1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
DƯƠNG ĐẠI PHƯƠNG
THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG THỐNG KÊ
FERMI-DIRAC BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TÍNH
CHẤT TỪ CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO

Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 60 44 07 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh HÀ NỘI, 2009
2LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề trùng lặp
với những đề tài nghiên cứu khác.
Hà nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả Dương Đại Phương

5Chương 3. Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên
cứu tính chất từ của khí điện tử tự do.
3.1 Tổng quan về các tính chất từ.
3.1.1 Khái niệm và các đại lượng đặc trưng cho vật liệu từ.
3.1.2 Phân loại các vật liệu từ.
3.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu
tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
3.2.1 Khảo sát khí điện tử tự do trong kim loại.
3.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
3.3 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
Kết luận
Tài liệu tham khảo

dao động tử điều hoà biến dạng, hơn nữa lý thuyết này còn rất thành công
trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến hệ các hạt đồng
nhất Boson và Fermion. Xuất phát từ những vấn đề đó, tôi chọn đề tài:
7

“ Thống kê lượng tử và áp dụng thống kê Fermi-Dirac biến dạng q
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do” làm nghiên cứu cho luận văn tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp
Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong trường hợp chưa
có biến dạng.
- Xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử và các định luật
phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử.
- Áp dụng thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu độ cảm từ của khí điện tử tự
do.
- So sánh kết quả tính toán lý thuyết thu được với kết quả thực nghiệm và
rút ra kết luận.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Sử dụng phương pháp Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng
tử để xây dựng các phân bố thống kê lượng tử.
- Áp dụng thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử
tự do trong kim loại.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
a. Đối tượng.
- Các phân bố thống kê lượng tử.
- Hệ khí Fermion và thống kê Fermi-Dirac.
- Độ cảm từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
b. phạm vi nghiên cứu.

3.1 Tổng quan về các tính chất từ.
3.1.1 Khái niệm và các đại lượng đặc trưng cho vật liệu từ.
3.1.2 Phân loại các vật liệu từ.
3.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu
tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
9

3.2.1 Khảo sát khí điện tử tự do trong kim loại.
3.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
3.3 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q
nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
7. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài.
- Xây dựng được lý thuyết q-số, lý thuyết biến dạng q của dao
động Boson và Fermion cho hệ các hạt đồng nhất.
- Xây dựng được hai định luật phân bố thống kê lượng tử: Bose-
Einstein và Fermi-Dirac trong trường hợp có biến dạng.
- Xác định được độ cảm từ của khí điện tử tự do trong kim loại
trong trường hợp có biến dạng.
(1.1)
Nếu xẩy ra suy biến nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều hàm
k

khác nhau, tức là nhiều trạng thái vật lý khác nhau lúc đó.
W
k
= exp
k

  
 
 
 
g
k
(1.2)
Trong đó g
k
là độ suy biến.
Nói chung, số hạt trong hệ không phải là bất biến cho nên thay thế cho phân
bố chính tắc lượng tử ta dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng:
W(n
0,
n
1,
)
1
!



là thế nhiệt động lớn.
µ là thế hóa học.
11

1.2 Giá trị trung bình của số chứa đầy.
Do tính đồng nhất như nhau của các hạt vi mô và tính đối xứng của hàm
sóng. Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có.
E
k
0
l l
l
n





(1.4)
Trong đó
l

là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ.
l
n
là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng

 
  
 
 
 
 
 
 

G(n
0,
n
1,
) (1.5)
Từ (1.5) ta có nhận xét sau đây.
Bởi vì vế bên phải của (1.5) có thể coi là hàm của các n
l
cho nên ta có
thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n
0
hạt nằm trên mức
năng lượng ε
0
, n
l
hạt nằm trên mức năng lượng ε
l
, nghĩa là, đó là xác suất
của các số chứa đầy; do đó, nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung
bình nằm trên các mức năng lượng.

 



 
  
 
 
 
 
 
 

G(n
0,
n
1,
) = 1
12


exp


 
 
 
0 1
0
( )


exp


 
 
 
Z = 1 (1.8)
Trong đó
Z
0 1
0
( )
exp
l l
l
n n
n
 



 

 
 

 
 
 




 

 
 

 
 
 
 


G(n
0,
n
1
, ). (1.11)
Ta xét đạo hàm của Ω theo μ
k

1
k k

 
 
 
  


( )
1
exp
l l l
l
k
n n
n
n
 
 


 

 
 
 
 
 
 


G(n
0
,n
1
).
= −
0 1

= μ vế phải của công thức (1.12) có ý nghĩa là giá trị
trung bình của số chứa đầy n
k
,

nghĩa là ta được.
k
n
= −
k
k
 




(1.13)
1.3 Phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman.
Trong phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman các số chứa đầy có
thể có trị số bất kỳ và có độ suy biến.
 
g


=
0 1
!
! ! !
k
n n n

n
 



 

 
 

 
 
 
 


0 1
1
! !
n n

Z
0
0 0 0
0
( )
exp
!
n
n

!
l l
n
l
n
n
 





  
 
 
 
 
 




Z
0
exp exp
l l
l
 



= −θ
0
ln exp exp exp
l l
l
 



 
  
 
 
 
 
 
 
 

= −θ
0
exp
l l
l
 




 

1

exp
l l
 


 
 
 exp
l l
 


 
 
 
 
(1.17)
Suy ra
l
n
= −
l
l
 


1.4 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein.
Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức năng lượng có thể có trị số bất
kỳ ( từ 0 đến ∞ ) và G(n
0
,n
1
) = 1.
Ta có tổng trạng thái
Z
0 1
0
( )
exp
l l l
l
n n
n
 



 

 
 

 
 
 
 

l l
n
n
 



  
 
 
 
 
 

là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn nên
15

0
exp
l l
n
n
 



  
 
 
 

 

(1.20)
Từ đó suy ra
Ω = −θlnZ = −θln
0
1
1 exp
l
l l
 




 

 
 


Ω = θ
0
ln 1 exp
l l
l
 





exp
1
exp 1 exp 1
l l
l l l l
 

   
 

 
 
 
  
 
   
 
   
   
(1.22)
Suy ra số hạt trung bình trên các mức năng lượng là:
l
n
= −
l
l
 



0
l
l
n



=

(1.25)
1.5 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac.
Đối với hệ hạt fermion, theo nguyên lí pauli số hạt trung bình trên một
mức năng lượng chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1 (n
l

1) và G(n
0,
n
1
) = 1
Ta có tổng trạng thái
16

Z
0 1
0
1 1
( )
exp
l l l

 

 
 
 
 

1
1 1
1
exp
n
n
 

  
 
 
 
 
 


=
1
0
0
exp
l l
n

 

(1.26)
Từ đó Ω = −θlnZ = −θln
0
1 exp
l l
l
 



  
 

 
 
 
 


= −θ
0
ln 1 exp
l l
l
 






  
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 exp
1
1 exp exp 1
l l
l l l l
 

   
 

 

Einstein; Thống kê lượng tử Fermi-Dirac.

17CHƯƠNG 2
XÂY DỰNG CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ CÁC PHÂN
BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG q BẰNG PHƯƠNG PHÁP
LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
2.1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử.
2.1.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa.
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F = −k
x
dọc theo một
đường thẳng nào đó.
Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:



2
2
x
p
m


2
2


,p q
 
 

 

pq q p
 
d
i
dx
 

x
d
xi
dx





 


,
,
d d
p q i x xi i

  
(2.3)
Đặt

 
 
  
 
2
2
m
p i a a
q a a
m




 
 


(2.4)
18

Biểu diễn


theo


 
 
 
 
2 2
1
2 2
a a a a

 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 2
a a a a a a a a

   

và

a

có thể được biểu diễn ngược lại qua

p
và

q
như sau:


 
 
2
m
p i a a


 


 
a a



2
p

2
q
m




2
m
q



(2.7)
Từ đó ta thu được:
 

2
m p
a q i
m


 
  
 
 
 

(2.8)

 
= 1 (2.10)
Thật vậy
 
,
a a

 
 
   
aa a a


 









2 2 2 2
m p m p m p m p
q i q i q i q i
m m m m
   
   
       


 
1
2
a a


 
 
 
 

(2.11)
Ta đưa vào toán tử mới


 
a a


(2.12)
Hệ thức giao hoán giữa toán tử


với các toán tử

a
và

a

   
(2.13)
Tương tự ta cũng có



 

          
 

, 1a a a a aa a a a a aa a a a
         

 
          
 



 

 
1
a a


   
(2.14)
Ký hiệu


 

 
n a a n


 
2
0
n
a r d r

 

 

Kết luận 1:
Các trị riêng của toán tử


là các số không âm. Xét véc tơ trạng thái
thu được bằng cách tác dụng toán tử

a
lên
n
ta thu được véc tơ trạng thái
20


cũng là véc tơ trạng thái của toán tử



ứng với trị riêng (n − 2), (n − 3)
Xét véc tơ trạng thái

a n

ta tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử


và
sử dụng công thức (2.14) ta có.

 
   

1 1
a n a n n n a n
 
    
(2.18)
Ý nghĩa: Hệ thức (2.18) chứng tỏ véc tơ trạng thái

a n

cũng là một
véc tơ trạng thái riêng của toán tử


thì
chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3 cũng là trị riêng của toán tử


. Vì
chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất sao cho:

min
0
a n

(2.19)
Vì nếu

min
0
a n

thì đó là véc tơ trạng trái ứng với trị riêng
min min
1
n n 
, sẽ
trái với giả thiết
min
n
là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (2.19) ta có
 


0 0
a

(2.22)
Khi đó


0
a

tỉ lệ với véc tơ riêng
1
của toán tử


ứng với trị riêng
1
n

.


2
0
a

tỉ lệ với véc tơ riêng
2
của toán tử


 
 
 
 


1
2

 
  
 
 

(2.23)
Ta thấy:
0
là véc tơ riêng của


ứng với trị riêng
0
1
2

 


1
là véc tơ riêng của

 

.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng


. Trạng thái
0
có năng
lượng thấp nhất
0

. Trạng thái tiếp theo
1
với năng lượng
1 0

    
có thể
22

được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng


vào trạng
thái
0
. Trạng thái tiếp theo

gọi là trạng thái chân không,
1
là trạng
thái chứa một lượng tử,
2
là trạng thái chứa hai lượng tử, ,
n
là trạng thái
chứa n lượng tử. Toán tử


có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một
đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng. Toán tử

a
khi tác
dụng lên trạng thái
n
cho ta một trạng thái tỉ lệ với (n – 1) và do đó được
đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử

a

khi tác dụng lên
trạng thái
n
cho ta một trạng thái tỉ lệ với (n + 1) và do đó được đoán nhận
là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng
lượng là một hạt thì toán tử


1n 
và toán tử

a

khi tác dụng lên
n
cho một trạng thái tỉ lệ với
1n 
.
Do đó, chúng ta tính các hệ số tỉ lệ
, ,
n n n
  
trong các biểu thức:



1
1
0
n
n
n
n
a n n
a n n
n a



,m n

= 1)

 
n n n n a a n

  
(2.26)
Mặt khác ta có


*
*
1
1
n
n
n a n
n a n



 
 
(2.27)
2 2
*
1 1 1 1
n n n n

2 2
1 1 1 1
n n
n n
 
    

Coi
n

là số thực nên
2
1 1
n n
n n
 
    
(2.29)
Từ (2.24) ta có
 
 

1
0 0
n
n
n n
n a a a
 


n n
n n
n n
n n
n n
n
n a a a
n a a
n n
n n n n n
n n n
   
     
    
 

 

 
 
 

 
 

 
  

Coi
n



 

 
  

(2.31)
Trên đây chúng ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh
hạt và toán tử hủy hạt.
 
,
a a

 
 
= 1 (2.32)
 
,a a
 
 
=
 
,
a a
 
 
 
= 0 (2.33)
Các hệ thức này được mở rộng ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái

một cách tổng quát hơn, các hạt mà toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt thỏa
mãn các hệ thức giao hoán (2.35) là boson hay fermion? Để trả lời câu hỏi
này, ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau ν
và μ, đó là:
 
 
0
0
a a
a a
 
 


 
 


(2.36)
Trong đó
0
là trạng thái chân không không chứa hạt nào.
Vì các toán tử sinh hạt thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.35) nên
   
a a a a
   
   
 
(2.37)
Do đó ta suy ra :

trong
n
biểu diễn có thể tính nhờ các biểu thức
sau:


'
' '
, 1
1 1 1
n n
n a n n n n n



    
'
' '
, 1
1
n n
n a n n n n n


  
(2.39)


 

 
 
 
 



  
0 0 0
0
0
1
0
0 2
a

 
 
 

 
 
 
 
