ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán
(Dùng cho học sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức
2. Cho x, y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và

Tính giá trị của biểu
thức
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có
hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng
(đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) với a < 0 là hình biểu diễn
cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn
Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tâm của
đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng
quy tại H. Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm
của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO. Chứng minh rằng:
1.
2. Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng
3.
Câu 5: (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một

1 2( )a b ab a b+ + = + +
MX BF⊥
EF BC
FY CD
=
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức
2. Cho x,y thỏa
mãn 0< x <1, 0 < y <1 và

Tìm giá trị của biểu
thức
Giải:
1.
2.
Ta có .
Thay Ta có

Nếu xy> 1/3 Thì P
= 2
Nếu xy < 1/3n thì P
= 3xy
Câu 2: (2 điểm)
Một xe tải có chiều
rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng
cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi
chân cổng là m (bỏ qua độ dầy của cổng)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) với a < 0 là hình biểu diễn
cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1
2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao?

− −
2 2
P x y x xy y= + + − +
( ) ( ) ( )
( )
3
3
1
6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1
2( 1)
2 1
2 2 2 2 1 :
2 1
2 2 4
a
S a a a
a
a a
a
a
 
−
= − + + + − − −
 
−
 
 
− +
 ÷
= − + + −

3
2 2 2 2
1 3 1 3
2 2
P x y x xy y x y x y xy
xy xy xy xy
xy
xy xy
= + + − + = + + + −
+ + + −
   
= + − = +
 ÷  ÷
   
+ −
= +
2 5
2
axy =
( )
2 2 2 2
2
1 2( ) 1 2 2 2 4
1 4
a b ab a b a b ab a b a
a b a
+ + = + + ⇔ + + − + − =
⇔ − + =
là số chính phương a = x
2

nguyên (một điểm
được gọi là điểm
nguyên nếu hoành
độ và tung độ của
điểm đó là các số
nguyên).
Chứng minh rằng
hai lần diện tích của
tam giác ABC là
một số nguyên
( )
( )
2
2 2 2
2
1 4 1 2
1
x b x x b x
b x
− + = ⇔ − + =
⇔ = −
MX BF⊥
EF BC
FY CD
=
MX BF⊥
EF BC
FY CD
=
Đặt A(x

- S
ADPC

2 S
ABC
= x
1
(y
2
-y
1
) + y
3
(x
2
-x
1
)
Vì các tọa độ là các số nguyên vậy diên tích hai lần diện tích tam giác ABC là số
nguyên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(
( ) ( )
3 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 1
3 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1
3 1 2 1 3 2 2 1
1 2 1 3 2 1
1 1 1
2 2 2