BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————————–
NGUYỄN VĂN ĐIỂN
BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨC
TIẾN HÓA BẬC CAO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————
NGUYỄN VĂN ĐIỂN
BÀI TOÁN CÔ-SI
VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế
Hà Nội, 2012
Lời cảm ơn
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần
Đình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình làm luận văn.
Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy
cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà
nội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt
2, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Văn Điển

C tập hợp số phức
i đơn vị ảo trong tập số phức
∆ toán tử Laplace
MNC độ đo không compact
(u.s.c) nửa liên tục trên
4
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nửa nhóm là một công cụ mạnh cho việc nghiên cứu tính
đặt đúng của các lớp bài toán liên quan đến phương trình vi tích phân.
Cụ thể, tính đặt đúng của bài toán Cô-si đối với phương trình vi phân
cấp một
(CP1)

u

(t) = Au(t), t > 0
u(0) = ξ
liên quan chặt chẽ với việc A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, ở
đây hàm trạng thái u lấy giá trị trong một không gian Banach X nào
đó. Để nghiên cứu tính đặt đúng của các bài toán với phương trình vi
phân bậc cao, ví dụ
(CP2)

u

(t) + Au

(t) + Bu(t) = 0, t > 0
u(0) = ξ, u

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình và bao hàm thức vi phân
bậc cao.
• Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, cấu trúc tập hợp nghiệm
của bài toán Cô-si đối với phương trình và bao hàm thức vi phân
bậc cao.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, lý thuyết nửa
nhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact (MNC).
Dự kiến đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo
Xác lập các điều kiện đủ cho tính giải được của một lớp bài toán đối
với bao hàm thức vi phân bậc cao. Một số vấn đề đặt ra cho những
nghiên cứu tiếp theo:
1. Sự tồn nghiệm tuần hoàn của bài toán: nghiệm có tính chất
u(0) = u(T );
2. Sự tồn tại nghiệm ràng buộc của bài toán: nghiệm có tính chất
u(t) ∈ K, ∀t ∈ [0, T ], trong đó K là một tập đóng trong không
gian pha;
6
3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Bài toán tổng quát
Xét bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc cao:
u
(N)
(t) +
N−1

i=0

công cụ lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các tài
liệu [13, 34, 38], phương pháp này khó thực hiện khi mà không gian
nghiệm không thể xây dựng được một cách tường minh hoặc là không
gian nghiệm được xây dựng rất khó ứng dụng trong thực tế. Ngoài ra,
như đã đề cập trong các công trình [13, 39], việc nghiên cứu trực tiếp
phương trình bậc cao có thể nhận được các kết quả tổng quát hơn.
Bài toán Cô-si trong trường hợp N = 1 đã được nghiên cứu rộng
rãi bằng cách tiếp cận nửa nhóm. Phương pháp này được trình bày
chi tiết trong các tài liệu [12, 25, 34, 37]. Tiếp theo, người ra tổng
8
quát hóa khái niệm nửa nhóm liên tục bằng cách xây dựng khái niệm
nửa nhóm tích phân (xem [2, 3, 6, 23, 30, 36]) và nửa nhóm chính
quy hóa (xem [8, 38]), để nghiên cứu nhiều lớp bài toán tổng quát liên
quan đến phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai, trong đó các toán
tử A
i
không nhất thiết phải xác định trù mật (như trường hợp nửa
nhóm liên tục). Chúng tôi xin giới thiệu các công trình có liên quan
đến luận văn bao gồm [8, 9, 18, 21, 27, 32, 33, 39]. Sau đó, một khái
niệm tổng quát hóa của nửa nhóm tích phân và nửa nhóm chính quy
hóa được giới thiệu trong [10, 11] được gọi là họ giải thức và khái niệm
mở rộng của nó được xây dựng trong [40]. Trong [10], tác giả đưa ra
một ví dụ để minh chứng sự hạn chế của cả hai khái niệm nửa nhóm
tích phân và nửa nhóm chính quy hóa. Cụ thể, với một số lớp phương
trình, toán tử A
i
không sinh ra nửa nhóm tích phân cũng như nửa
nhóm chính quy hóa, đặc biệt trong trường hợp A
i
có dạng ma trận

Với hằng số dương ω, ta nói G ∈ LT
ω
− L(X) nếu G : (ω, ∞) → L(X)
và tồn tại hàm liên tục H : [0, ∞) → L(X), H(t) = O(e
ωt
) sao cho
với mọi λ > ω, ta có
G(λ)x =

∞
0
e
−λt
H(t)xdt, với mọi x ∈ X.
Những tính chất đặc tả của không gian LT
ω
− L(X) có thể tìm trong
[2, 38]. Với λ ∈ R, đặt
P
λ
= λ
N
+
N−1

i=0
λ
i
A
i

i
E
(i−1)
(·)x ∈ C((0, ∞); X), i = 0, , N − 1, và
E(t)x +
N−1

i=0
A
i

t
0
(t − s)
n−i−1
(n − i − 1)!
E(s)xds =
t
N−1
(N − 1)!
E
0
x,
trong đó
E
(j)
(t)x =
d
j
dt

(·) : R
+
→ L(X) thỏa mãn t → S
r
(t)u ∈ C(R
+
; X) với mỗi
u ∈ X sao cho
S
r
(t)
L(X)
 Me
ωt
, t  0, M > 0,
và
(λI − A)
−1
Cu = λ
r

+∞
0
e
−λt
S
r
(t)dt, λ > ω, u ∈ X.
thì ta nói A là phần tử sinh của nửa nhóm tích phân bậc r, C-chính
quy hóa {S

là một nửa nhóm C-chính
quy hóa, sinh bởi A. Nếu

t
0
W (s)xds ∈ D(A) với t  0, x ∈ X thì
{W (t)}
t0
là một C-họ giải thức của A.
Điều kiện đảm bảo sự tồn tại của E
0
-họ giải thức đối với tập toán
tử (A
i
)
N−1
i=0
được trình bày trong định lý sau.
11
Định lý 1.2 ([40]). Giả sử các toán tử A
i
, i = 0, , N − 1, là đóng
và P
λ
là đơn ánh với λ > ω. Khi đó tập các toán tử (A
i
)
N−1
i=0
có một

λ
E
0
∈ LT
ω
− L(X), i = 1, , N − 1. (1.4)
Với 0  k  N − 1, ta kí hiệu
D
k
= {x ∈
k

j=0
D(A
j
) : A
j
x ∈ R(E
0
) for all 0  j  k}. (1.5)
Xét bài toán thuần nhất tương ứng với (1.1) - (1.3)
u
(N)
(t) +
N−1

i=0
A
i
u

∈ D
0
, , u
N−1
∈ D
N−1
, bài toán
(1.6)-(1.7) có một nghiệm cho bởi
u(t) =
N−1

i=0

t
i
i!
u
i
−
i

j=0

t
0
(t − s)
i−j
(i − j)!
E(s)v
ij

u
i
 +
i

j=0
A
j
u
i

[R(E
0
)]

(1.8)
với mọi t  0 và 0  k  N − 1.
12
1.2 Không gian pha
Cho B là một không gian tuyến tính, với nửa chuẩn | · |
B
, bao gồm
các hàm số từ (−∞, 0] vào E - không gian Banach. Khái niệm không
gian pha B cho các phương trình với trễ, được đưa ra bởi Hale và
Kato (xem [19]), bao gồm các tiên đề: Nếu v : (−∞, T ] → E sao cho
v|
[0,T ]
∈ C([0, T ]; E) và v
0
∈ B, thì

B
= sup
−∞<θ≤0
e
ηθ
ψ(θ).
(2) (Không gian "giảm nhớ"). Giả sử 1  p < +∞, 0  r < +∞ và
g : (−∞, −r] → R là hàm không âm, đo được xác định trên (−∞, −r).
Ký hiệu CL
p
g
là họ các hàm số ϕ : (−∞, 0] → Xsao cho ϕ liên tục
trên [−r, 0] và g(θ)ϕ(θ)
p
X
∈ L
1
(−∞, −r). Nửa chuẩn trong CL
p
g
cho
bởi
|ϕ|
CL
p
g
= sup
−rθ0
{ϕ(θ)
X

đa trị sẽ sử dụng. Có thể xem chi tiết trong các công trình [4, 5, 7,
16, 20, 22, 24].
Giả sử Y là một không gian Banach. Ký hiệu
• P(Y ) = {A ⊂ Y : A = ∅},
• P v(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là lồi},
• K(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là compact},
• Kv(Y ) = K(Y ) ∩ P v(Y ),
• C(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là đóng},
• P b(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A bị chặn}.
Ta sử dụng định nghĩa sau đây về độ đo không compact (xem [22]).
Định nghĩa 1.3. Cho (A, ) là một tập sắp thứ tự bộ phân. Hàm
β : P(E) → A được gọi là độ đo không compact (MNC) trong E nếu
β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ P(E),
trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Một MNC β được gọi là
i) đơn điệu, nếu Ω
0
, Ω
1
∈ P(E), Ω
0
⊂ Ω
1
kéo theo β(Ω
0
)  β(Ω
1
);
ii) không kỳ dị, nếu β({a}∪Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ P(E);
iii) bất biến đối với nhiễu compact, nếu β(K ∪Ω) = β(Ω) với mọi
tập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ PE);

m
), trong
đó {E
m
} là họ các không gian con hữu hạn chiều của E sao cho
E
m
⊂ E
m+1
, m = 1, 2, và
∞

m=1
E
m
= E.
Giả sử X là một không gian metric.
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ đa trị F : X → P(E) được gọi là:
i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F
−1
(V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V }
là tập mở của X với mọi tập mở V ⊂ E;
ii) đóng nếu đồ thị của nó Γ
F
= {(x, y) : y ∈ F(x)} là tập con
đóng của X × E;
(iii) compact nếu tập ảnh F(X) là compact tương đối trong E;
(iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact A ⊂ X
là compact.
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ đa trị F : X ⊂ E → K(E) được gọi là

thỏa mãn điều kiện biên
x − a ∈ λ(F(x) − a)
với mọi x ∈ ∂U
D
và 0 < λ  1. Khi đó Fix F là tập khác rỗng và
compact.
Định nghĩa 1.6. Giả sử G : [0, T ] → K(E) là hàm đa trị và p  1.
Khi đó G được gọi là
• L
p
-khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích bậc p theo nghĩa Bochner.
Nghĩa là có hàm g : [0, T ] → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp
t ∈ [0, T ] sao cho

T
0
g(s)
p
E
ds < ∞;
• L
p
-bị chặn, nếu có hàm ξ ∈ L
p
([0, T ]) sao cho
G(t) := sup{g
E
: g ∈ G(t)}  ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ].
Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là S
p

, G(t)),
là đo được;
3. G có biểu diễn Castaing: tồn tại họ {g
n
} các hàm chọn đo được
của G sao cho
∞

n=1
g
n
(t) = G(t)
với hầu khắp t ∈ [0, T];
4. G là đo được mạnh.
Ngoài ra, nếu G đo được và L
p
-bị chặn, thì nó L
p
-khả tích. Nếu G
là L
p
-khả tích trên [0, d] với p ≥ 1, thì G cũng L
1
-khả tích. Khi đó, ta
có hàm t →

t
0
G(s) ds xác định bởi


X
+ |ζ|
B
 r.
Giả sử hàm G : [0, T ] × X × B → K(X) thỏa mãn điều kiện
Carathéodory và bị chặn tích phân cục bộ, khi đó với u : (−∞, T ] → X
sao cho u|
[0,T ]
∈ C([0, T ]; X) và u
0
∈ B, xét hàm hợp
Φ : [0, T ] → K(X), Φ(t) = G(t, u(t), u
t
).
17
Theo định nghĩa không gian pha, ta có t → u
t
∈ B là một hàm liên
tục. Do đó Φ là khả tích. Phần chứng minh có thể xem trong [22, Định
lí 1.3.5].
Vậy, với τ ∈ (0, T ], ta có thể định nghĩa hàm hợp
P
G
(u) := S
1
Φ
= {φ ∈ L
1
(0, τ; X) : φ(t) ∈ G(t, u(t), u
t

X
(−∞, τ) hội tụ về u
∗
∈ C
X
(−∞, τ). Giả sử dãy {φ
n
} ⊂ L
1
(0, τ; X),
φ
n
∈ P
G
(u
n
) hội tụ yếu về φ
∗
, khi đó φ
∗
∈ P
G
(u
∗
).
18
Chương 2
Bài toán tổng quát
Ký hiệu X
0

trong đó h, k ∈ L
1
(0, T ; X) và
ψ(Q) = sup
θ0
χ(Q(θ)) (2.2)
là mô-đun không compact theo phân thớ của Q.
Nhận xét 2.1. Trong trường hợp X = R
m
, điều kiện (F 3) suy ra từ
(F 2). Thật vậy, điều kiện bị chặn tích phân suy ra tập F
0
(t, Ω, Q) bị
chặn trong R
m
với hầu khắp t ∈ [0, T ] và do đó nó là tiền compact.
Nếu dim(X) = +∞, thì một trường hợp riêng đảm bảo cho (F 3)
được thỏa mãn là:
F
0
(t, ., .) : X × B → Kv(X)
liên tục tuyệt đối với hầu khắp t ∈ [0, T ], tức là, F
0
(t, ., .) biến các tập
bị chặn trong X × B thành tập compact tương đối trong X.
19
Nhận xét 2.2. Nếu E
−1
0
bị chặn, các tính chất (F 1) − (F 3) cho F

Xét toán tử S : L
1
(0, τ; X) → C([0, τ]; X) xác định bởi
S(f)(t) =

t
0
E(t − s)f(s)ds. (2.3)
Ta có khẳng định sau (xem chứng minh trong [22, Bổ đề 4.2.1]).
Mệnh đề 2.1. Toán tử S có các tính chất:
(S1) Tồn tại hằng số C
0
> 0 sao cho
S(f)(t) − S(g)(t)
X
 C
0

t
0
f(s) − g(s)
X
ds
với mọi f, g ∈ L
1
(0, τ; X), t ∈ [0, τ];
(S2) với mỗi tập compact K ⊂ X và dãy {f
n
} ⊂ L
1

)(t)})  2C
0

t
0
q(s)ds
với mỗi t ∈ [0, τ].
Định nghĩa 2.2. Dãy {ξ
n
} ⊂ L
1
(0, τ; X) được gọi là nửa compact
nếu nó bị chặn tích phân và tập {ξ
n
(t)} là compact tương đối trong X
với hầu khắp t ∈ [0, τ].
Theo [22, Định lý 4.2.1 và 5.1.1], ta có
Mệnh đề 2.3. Nếu dãy {ξ
n
} ⊂ L
1
(0, τ; X) là nửa compact, thì {ξ
n
}
là compact yếu trong L
1
(0, τ; X) và {S(ξ
n
)} compact tương đối trong
C([0, τ]; X). Ngoài ra, Nếu ξ

0
→ D
0
xác định bởi
G(v) = w + S ◦ P
F
0
(v[ϕ]),
trong đó w là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.6)-(1.7).
Bổ đề 2.1. Giả sử F
0
thỏa mãn (F1)-(F3). Khi đó G là toán tử đóng
nhận giá trị compact.
21
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh khẳng định của định lý cho

G :
D
0
→ C([0, τ]; X),

G(v) = S ◦ P
F
0
(v[ϕ]).
Giả sử {v
n
} ⊂ D
0
hội tụ đến v

= S(ξ
n
), ta có
ξ
n
(t) ∈ F
0
(t, v
n
(t), v
n
[ϕ]
t
) với hầu khắp t ∈ [0, τ],
và sử dụng (F 2), ta có {ξ
n
} bị chặn tích phân. Hơn nữa, giả thiết (F 3)
cho ta
χ({ξ
n
(t)})  h(t)χ({v
n
(t)}) + k(t)ψ({v
n
[ϕ]
t
}) với hầu khắp t ∈ [0, τ].
(2.6)
Sự hội tụ của {v
n

)} là compact tương đối trong
C([0, τ]; X), do vậy ta có thể giả thiết rằng ξ
n
 ξ
∗
trong L
1
(0, τ; X)
và z
n
= S(ξ
n
) → S(ξ
∗
) = z
∗
trong C([0, τ]; X). Áp dụng Bổ đề 1.1, ta
có ξ
∗
∈ P
F
0
(v
∗
[ϕ]) và do vậy z
∗
= S(ξ
∗
) ∈ S ◦ P
F

{S(ξ
n
)} compact tương đối trong C([0, τ]; X) theo Mệnh đề 2.3. Dễ
thấy giá trị của

G là tập lồi.
Bổ đề 2.2. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1 được thỏa mãn. Khi đó
G là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho

G. Từ Định lý 1.3 và Bổ
đề 2.1, ta sẽ chứng tỏ rằng

G là ánh xạ tựa compact. Giả sử A ⊂
22
C([0, τ]; X) là tập compact và {z
n
} ⊂

G(A). Khi đó z
n
= S(ξ
n
) với
ξ
n
∈ P
F
0
(v

t
0
e
−L(t−s)
[h(s) + k(s)]ds

< 1 (2.9)
và
mod
C
: P(C([0, τ]; X)) → R
+
,
mod
C
(Ω) = lim
δ→0
sup
v∈Ω
max
|t
1
−t
2
|<δ
v(t
1
) − v(t
2
), (2.10)