BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+
a) Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(
C
) c
ủ
a hàm s
ố

1.
x
=
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Cho góc α t h ỏa mãn:
π
α π
2
< <
và
3
sin
α .
5
=
Tính
2
tan
α
.
1 tan
α
A
=
+

b) Cho số phức
z
thỏa mãn hệ thức:
( 1 ) (3 ) 2 6 .

Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, AC = 2a,

o
30 ,
ACB =
Hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ
a
đỉ
nh S trên m
ặ
t
đ
áy là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh AC và
2 .
SH a

ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

Oxy
, cho tam giác OAB có các
đỉ
nh A và B thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 3 12 0
x y
∆ + − =
và
đ
i
ể
m
(6; 6)
K là tâm
đườ

t
đ
i
ể
m C có
hoành
độ
b
ằ
ng
24
,
5
tìm t
ọ
a
độ
c
ủ
a c ác
đỉ
nh A, B.
Câu 8.
(1,0
đ
i
ể
m) Trong không gian v
ớ
i h

o
ạ
n th
ẳ
ng AB và ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u tâm O, ti
ế
p xúc
v
ớ
i (P).
Câu 9.
(0,5
đ
i
ể
m) Hai thí sinh A và B tham gia m
ộ
t bu
ổ
i thi v
ấ
n
đ
áp. Cán b

ỗ
i phong bì
đự
ng 1 câu h
ỏ
i; thí sinh ch
ọ
n 3 phong bì trong s
ố

đ
ó
để
xác
đị
nh
câu h
ỏ
i thi c
ủ
a mình. Bi
ế
t r
ằ
ng b
ộ
10 câu h
ỏ
i thi dành cho các thí sinh là nh
ư

ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c sau:
2
2 2
3 2 2 1
1 1
3
2 3 3 3 2 3 3 3
+ +
= + +
+ − + + + +
( )
.
( ) ( )
x x
P
x x x x

HẾT
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia.C󰖮p Nh󰖮t H󰖲ng Ngày!
DeThiThu.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

→ −
= + ∞
;
l i m l i m 2.
x x
y y
→ −∞ → +∞
= =
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
1
x
= −
và một
tiệm cận ngang là đường thẳng
2.
y
=
0,25
●
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' =
2
3
( 1 )
x +
> 0
∀
x
∈
D.

ã cho không có c
ự
c tr
ị
.
0,25
Lưu ý:
Cho phép thí sinh không nêu k
ết luận về cực trị của hàm số.
- Bảng biến thiên:
x
–
∞
– 1 + ∞
y' + +
y
+
∞
2
2 – ∞
0,25
●
Đồ thị (C): 0,25
O
x
y
−1

n là:
3
' ( 1 ) .
4
k y
= =
0,25
Do
đ
ó, ph
ươ
ng trình c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n là:
3 1
( 1 ) ;
4 2
y x
= − +

0,25
hay
3 1
.
4 4
y x

α ;
2
π
π
 
∈
 
 
nên
cos
α 0.
<
Do đó, từ (2) suy ra
4
cos
α .
5
= −
(3)
Thế (3) vào (1), ta được
12
.
25
A = −

0,25
b)
(
0,5 điểm
)

(4 2 2) (6 2 ) 0
a b b i
− − + − =
0,25

⇔

{
4 2 2 0
6 2 0
a b
b
− − =
− =

⇔

{
2
3.
a
b
=
=
Do đó
2 2
| | 2 3 13.
z = + =

0,25

1
x
=
(do (1)).
0,25
Câu 4
( 1 , 0 đ i ể m )
● Điều kiện xác định:
1 3.
x ≥ +
(1)
● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) là bất phương trình đã cho, ta có:
(2) ⇔
2 2
2 2 2 ( 1 ) ( 2) 3( 2 2)
x x x x x x x
+ − + + − ≥ − −
0,25
⇔
( 2)( 1 ) ( 2) 2( 1 )
x x x x x x
− + ≥ − − +
⇔
(
)
(
)
( 2) 2 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) 0.
x x x x x x
− − + − + + ≤

ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là:
1 3 ; 3 13 .
 
+ +
 
0,25
DeThiThu.Net
Câu 5
( 1 , 0
đ
i
ể
m )
Ta có:
2 2
3
1 1
2 d l n d .
I x x x x
= +
∫ ∫


0,25

2 2
2 2
2
1 1
1 1
.ln d(ln ) 2ln 2 d 2ln 2 2ln 2 1.
I x x x x x x
= − = − = − = −
∫ ∫

V
ậ
y
1 2
13
2ln 2.
2
I I I= + = +

0,50
Câu 6
( 1 , 0
đ
i
ể
m )


= = =

V
ậ
y
3
2
.
1 1 3 6
. . 2 . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a
V SH S a a= = =

0,25
Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)). (1)
G
ọ
i N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB, ta có HN là
đườ
ng trung bình c
ủ
a

ớ
i (1), suy ra d(C, (SAB)) = 2HK. (2)
0,25
Vì SH ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ HN. Xét
∆
v. SHN, ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
.
2
HK SH HN a HN
= + = +

Vì HN là
đườ
ng trung bình c
ủ
a
∆
ABC nên
1 3
.
2 2
a
HN BC= =

Do
đ
ó
2 2 2 2

i
ể
m)

Trên
∆
, l
ấ
y
đ
i
ể
m D sao cho BD = BO và D, A n
ằ
m khác phía nhau so v
ớ
i B.
G
ọ
i E là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a các
đườ

ạ
i A (do AO = AC, theo gt) nên suy ra KE c
ũ
ng
là
đườ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a OC. Do
đ
ó E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OC và KC = KO.
Xét t
ươ
ng t
ự

đố
i v
ớ
i KF, ta c
ũ
ng có F là trung

a
∆
và
đườ
ng trung tr
ự
c
1
d
c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng OC; (1)
+ B là giao c
ủ
a
∆
và
đườ
ng trung tr
ự
c
2
d
c

∆
và có hoành
độ

0
24
5
x =
(gt) nên g
ọ
i
0
y
là tung
độ
c
ủ
a C, ta có:
0
24
4. 3 12 0.
5
y
+ − =
Suy ra
0
12
.
5
y = −

ng trình:
2 0.
x y
+ =

Suy ra ph
ươ
ng trình c
ủ
a
1
d
là:
2 6 0.
x y
− − =

Do
đ
ó, theo (1), t
ọ
a
độ
c
ủ
a A là nghi
ệ
m c
ủ
a h

i qua K(6; 6) và vuông góc v
ớ
i
∆
, ta có ph
ươ
ng trình c
ủ
a
d là:
3 4 6 0.
x y
− + =
T
ừ

đ
ây, do H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
∆
và d nên t
ọ
a
độ
c

 
=
 
 
Suy ra
12 36
; .
5 5
D
 
= −
 
 

Do
đ
ó, trung
đ
i
ể
m F c
ủ
a OD có t
ọ
a
độ
là
6 18
;
5 5

ó, theo (2), t
ọ
a
độ
c
ủ
a B là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình:
{
4 3 12 0
3 12 0.
x y
x y
+ − =
− + =

Gi
ả
i h
ệ
trên, ta
đượ
c B = (0; 4).

ng trung tr
ự
c c
ủ
a AB nên (P)
đ
i qua M và
( 1; 1; 1)
AB
= − −

là
m
ộ
t vect
ơ
pháp tuy
ế
n c
ủ
a (P).
0,25
Suy ra, ph
ươ
ng trình c
ủ
a (P) là:
3 1 1
( 1) ( 1) 0
2 2 2

t c
ầ
u tâm O, ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) là:
2 2 2
1
12
x y z+ + =

hay
2 2 2
12 12 12 1 0.
x y z
+ + − =

0,25
Câu 9
(0,5
đ
i
ể
m)

Không gian m
ẫ
u Ω là t
ậ

ỏ
i thí sinh A ch
ọ
n và
ở
v
ị
trí th
ứ
hai c
ủ
a c
ặ
p là b
ộ

3 câu h
ỏ
i thí sinh B ch
ọ
n.
Vì A c
ũ
ng nh
ư
B
đề
u có
3
10

3 câu h
ỏ
i A ch
ọ
n và b
ộ
3 câu h
ỏ
i B ch
ọ
n là gi
ố
ng
nhau”.
Vì v
ớ
i m
ỗ
i cách ch
ọ
n 3 câu h
ỏ
i c
ủ
a A, B ch
ỉ
có duy nh
ấ
t cách ch
ọ

1 1
( ) .
( ) C 120
C
X
n
P X
n
Ω
= = = =
Ω0,25
DeThiThu.Net
Câu 10
(1 , 0
đ
i
ể
m )
T r o n g m
ặ
t p h
ẳ
n g v
ớ
i h
ệ
t

; .
2 2
C
 
− −
 
 
Khi
đ
ó, ta có
,
OA OB OC
P
a b c
= + +
trong
đ
ó a = BC, b = CA và c = AB.
0,25
G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm
∆
ABC, ta có:
. . . 3 . . .
. . . 2 . . .
a b c
OA GA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC

A,
B, C c
ủ
a
∆
ABC.
0,25
Theo b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô si cho hai s
ố
th
ự
c không âm, ta có
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
. . 3 2 2
2 3
3 2 2
1
. .
2

c
a b c
c m
+ +
≤

Suy ra
( )
2 2 2
3 3
. . . .
P O A G A O B G B O C G C
a b c
≥ + +
+ +
(1)
0,25
Ta có:
. . . . . . .
OAGA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC
+ + ≥ + +
                       
(2)

( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2

ữ
a, b
ằ
ng ki
ể
m tra tr
ự
c ti
ế
p ta th
ấ
y
3
P =
khi x = 0.
V
ậ
y
min 3.
P =

0,25
Like fanpage đ󰗄 c󰖮p nh󰖮t đ󰗂 thi nhi󰗂u hơn: />DeThiThu.Net