Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 7 Mã bài: 01
Ứng dụng thuật toán giảm bậc mô hình cho bài toán điều khiển
cân bằng robot di động hai bánh
Appying order reduction model algorithm for balancing control
problems of two-wheeled mobile robot
Nguyễn Hữu Công
Trường Đại học Thái Nguyên, e-Mail:
Vũ Ngọc Kiên
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên, e-Mail:
Đào Huy Du
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên, e-Mail:

Tóm tắt
Điều khiển cân bằng cho robot di động hai bánh hiện nay đang được nhiều nhà khoa học quan tâm. Một khó
khăn cho bài toán điều khiển này là đối tượng điều khiển là khâu không ổn định và luôn bị nhiễu tác động. Để
giải quyết bài toán này, các tác giả thường sử dụng thuật toán điều khiển bền vững H

. Tuy nhiên bộ điều
khiển cân bằng robot di động hai bánh theo thuật toán điều khiển bền vững H

thường có bậc cao nên độ phức
tạp lớn khi lập trình cho bộ điều khiển và ảnh hưởng tới chất lượng trong quá trình điều khiển thực.
Bài báo đã đề xuất một thuật toán mới về giảm bậc mô hình nói chung và ứng dụng cho việc giảm bậc bộ điều
khiển trong điều khiển cân bằng robot hai bánh nói riêng. Thuật toán giảm bậc mô hình đã đề xuất có thể ứng
dụng trong các lĩnh vực khác như: viễn thông, công nghệ thông tin và toán ứng dụng.
Abstract
Development of balanced control for the two-wheeled mobile robot has attracted many researchers in the
recent years. One difficulty for this control problem is that the controlling object is always unstable and is

A
r
, B
r
, C
r
,
D
rma trận của mô hình giảm bậc
x hàm trạng thái của mô hình
Q Gramian quan sát được của hệ
thống
P Gramian điều khiển được của
hệ thống
ma trận tam giác

Ký hiệu Đơn vị Ý nghĩa
ma trận đường chéo

Beznos [1], Gallaspy năm 1999 [3], và Suprapto
năm 2006 [8]; cân bằng bằng cách di chuyển tâm
trọng lực của Lee và Ham năm 2006 [4] và cân
bằng nhờ lực hướng tâm của Tanaka và Murakami
năm 2004 [9].
Trong số các phương pháp đó, cân bằng nhờ sử
dụng bánh đà có ưu điểm là đáp ứng nhanh và có
thể cân bằng ngay cả khi robot không di chuyển.
Có nhiều thuật toán điều khiển đã được đề xuất
như điều khiển phi tuyến của Beznol năm 1998
[1], Lee và Ham năm 2002 [4], thiết kế bù bằng
cách sử dụng phương pháp tiếp cận quỹ đạo gốc
của Gallaspy năm 1999 [3] và điều khiển PD của
Surpato năm 2006 [8]. Tuy nhiên, những thuật
toán điều khiển đó không bền vững, robot không
thể mang tải với các tải trọng biến đổi, và không
thể làm việc trong môi trường có nhiễu loạn. Vì
vậy các thuật toán điều khiển bền vững cho robot
di động hai bánh là rất cần thiết .
Lý thuyết điều khiển bền vững H
∞
là một lý thuyết
điều khiển hiện đại cho việc thiết kế các bộ điều
khiển tối ưu và bền vững cho các đối tượng điều
khiển có thông số thay đổi hoặc chịu tác động của
nhiễu bên ngoài. Tuy nhiên, trong phương pháp
thiết kế H
∞
mà McFarlane và Glover lần đầu tiên
đưa ra vào năm 1992 [5] và kể cả các nghiên cứu

tích Schur
2.1 Bài toán giảm bậc mô hình
Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến
theo thời gian, có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô
tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình
sau:
x Ax Bu
y Cx
 


(1)
trong đó, x  R
n
, u  R
p
, y  R
q
, A  R
nxn
, B 
R
nxp
, C  R
qxn
.
Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình
mô tả bởi hệ phương trình đã cho trong (1) là tìm
mô hình mô tả bởi hệ các phương trình:
r r r r

, với r  n;
Sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (2) có thể
thay thế mô hình mô tả bởi phương trình trong (1)
ứng dụng trong phân tích, thiết kế, điều khiển hệ
thống.
2.2 Thuật toán giảm bậc mô hình dựa theo
phân tích Schur
Thuật toán giảm bậc mô hình dựa theo phân tích
Schur được phát triển bởi nhóm nghiên cứu dựa
trên cơ sở kỹ thuật cắt ngắn và phân tích Schur.
Kỹ thuật cắt ngắn là một phương pháp giảm bậc
đơn giản. Trong đó ý tưởng chính của nó có thể
phân chia làm 2 bước: bước 1 chuyển đổi hệ thống
gốc bậc cao về hệ thống tương đương bằng một
chuyển đổi không suy biến trong không gian trạng
thái, bước 2 xoá một số hàng và một số cột của hệ
thống tương đương để tạo ra hệ thống giảm bậc.
Hai thuật toán tiêu biểu nhất cho kỹ thuật cắt ngắn
là cắt ngắn cân bằng và cắt ngắn mô hình nhiều
loạn. Tuy nhiên nhược điểm của cả hai phương
pháp này là việc sử dụng phân tích giá trị suy biến
(SVD) yêu cầu cần có rất nhiều điều kiện ràng
buộc, mặt khác việc cắt ngắn hệ thống là dựa vào
các giá trị Hankel suy biến (trạng thái tương ứng
với giá trị Hankel suy biến nhỏ thì loại bỏ) nên dẫn
tới các điểm cực quan trọng của của hệ thống gốc
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 9 Mã bài: 01

Bước 2: Tính phân tích Cholesky của Q = R
*
R
Bước 3: Tính phân tích Schur của RAR
-1
:
RAR
-1
=UU
*
, trong đó U là ma trận trực giao và 
là ma trận tam giác trên.
Chọn U được thực hiện theo các bước sau:
Bước 3.1: Tính toán Gramian điều khiển được của
hệ thống gốc từ phương trình A*P+ PA+ BB* = 0
Bước 3.2: Phân tích giá trị suy biến của RPR
-1
=
V*
2
V. Đặt v
i
là cột thứ i của ma trận V*
Bước 3.3: Tính n véc tơ giá trị riêng x
1
, x
2
, , x
n


1
*

(RAR
-1
)U
1
=
1
2
*
0
M
l
 
 
 
 

Bước 3.6: Tính n-1 véc tơ giá trị riêng y
1
, y
2
, , y
n-
1
của M
2
.
Bước 3.7: Cho i chạy từ 1 đến n-1 chọn y

I
V

 
 
 
 

Bước 3.6: Tính n-1 véc tơ giá trị riêng y
1
, y
2
, , y
n-
1
của M
2
.
ta có: U
i
*
U
1
*
(RAR
-1
)U
1
U
i

2
, ,
z
n-i+1
của M
i
.
Bước 3.10: Cho i chạy từ 1 đến n-i+1 chọn z
i
sao
cho
*
1
(0 )
i i i
v U U col z
đạt cực đại. Đặt u
i
= U
1

U
i
col(0 z
i
) là cột thứ i của ma trận U.
Kết quả cuối cùng ta được ma trận U = U
1
U
n

, C
r
, D
r
) dựa theo thuật toán cân bằng của Moore
Đầu ra: Một hệ giảm bậc (A
r
, B
r
, C
r
, D
r
)
Nội dung chi tiết của thuật toán được trình bày
trong [6]
2.3 Hiệu chỉnh thuật toán giảm bậc mô hình
dựa theo phân tich Schur
Thuật toán giảm bậc mô hình dựa theo phân tích
Schur ở trên vẫn còn một nhược điểm đó là thuật
toán được thực hiện trên trường số phức, dẫn tới
các kết quả đầu ra là hệ giảm bậc (A
r
, B
r
, C
r
, D
r
)

, trong đó U
t
là ma trận trực giao và 
t
là
ma trận tam giác trên theo thuật toán Schur thông
thường. (lệnh schur trong phần mềm Matlab và
simulik)
10 Nguyễn Hữu Công, Vũ Ngọc Kiên, Đào Huy Du

VCM2012
Bước 4.2: So sánh vị trí điểm cực quan trọng trên
đường chéo của U với vị trí các điểm cực trên 
t
.
Kết quả so sánh trả ra một ma trận cột K, với các
giá trị của cột là vị trí các điểm cực quan trọng
được sắp xếp trên 
t

Bước 4.3: Chọn bậc r của hệ thống giảm bậc
Bước 4.4: Tính ma trận cột K
r
bằng cách cắt đi n-r
hàng của ma trận K
Bước 4.5: Tính ma trận cột E(1,n), trong đó các
hàng có giá trị bằng 1 là giá trị của K
r
, các hàng
còn lại có giá trị 0

r
, D
r
) có thông
số thực
3. Mô hình động lực, mô hình toán học và bộ
điều khiển H

đủ bậc của robot di động hai
bánh cân bằng
3.1 Mô hình động lực và mô hình toán học
robot di động hai bánh
Một mô hình robot di động hai bánh cân bằng
được triển khai tại Phòng thí nghiệm Cơ - điện tử
Viện Công nghệ Châu Á (AIT), Thái Lan như là
cơ sở để kiểm tra hiệu năng của thuật toán điều
khiển được phát triển bởi Thanh B.T [10]. Có thể
mô tả ngắn gọn mô hình động lực của robot di
động hai bánh cân bằng như sau: robot chuyển
động bằng 2 bánh, khi lệch khỏi vị trí cân bằng
(tương ứng một góc nghiêng  theo phương thẳng
đứng) thì trọng lực của robot tạo ra một mômen
làm cho robot có xu hướng đổ xuống. Để duy trì ở
trạng thái cân bằng người ta đặt trên robot một
bánh đà hoạt động dựa trên nguyên lý “con quay
hổi chuyển”. Bánh đà này sẽ quay tròn xung quanh
trục (với gia tốc góc là ) và tạo ra một mômen để
cân bằng với mômen do trọng lực của robot tạo ra.
Để điều khiển gia tốc của bành đà, ta sử dụng một
động cơ một chiều DC với điện áp đặt lên động cơ

để điều khiển hệ thống cân bằng robot.
Cấu trúc hệ thống điều khiển như hình 1: H. 1 Cấu trúc hệ thống điều khiển cân bằng robot
Thiết kế bộ điều khiển hệ thống cân bằng robot
theo thuật toán điều khiển bền vững H

đủ bậc
được chỉ ra chi tiết trong [10], bộ điều khiển H

đủ
bậc được thiết kế như sau:
5 5 4 5 3 8 2 7 6
6 5 4 4 5 3 6 2 5 4
1275 8.695.10 5.151.10 1.359.10 2.435.10 1.091.10
( )
715.7 2.355.10 2.789.10 3.802.10 6.519.10 2.8
72.10
c
s s s s s
W s
s s s s s s
    

     
(4)

(s)
Objec
t
W(s)
U
(-)

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 11 Mã bài: 01
Bậc

Mô hình hàm truyền – W
cr
(s)
Sai số
c
W ( ) W ( )
cr
H
s s



5
4 3 2
5 4 3 2
1275 8.694 5 4.367 5 1.359 8 1.209 7
715.6 2.349 4 2.768 5 3.777 6 3.183 5

1130 247.6
30.25 94.43
s
s s

 

37.2364
1
1006
26.71
s


38.1419
Bảng 1: Kết quả giảm bậc bộ điều khiển của hệ thống cân bằng robot di động hai bánh.

Để đánh giá mô hình giảm bậc, nhóm nghiên cứu
đã mô phỏng đáp ứng quá độ của bộ điều khiển đủ
bậc và các bộ điều khiển đã giảm bậc. Kết quả mô
phỏng trên Matlab – Simulink như hình 2.

H. 2 Kết quả mô phỏng bộ điều khiển đủ bậc và
các bộ điều khiển giảm bậc

Từ kết quả mô phỏng ta thấy: So với đáp ứng h(t)
của bộ điều khiển đủ bậc 6 thì đáp ứng h(t) của bộ
điều khiển giảm bậc 5, 4 trùng khớp hoàn toàn;
đáp ứng h(t) của bộ điều khiển giảm bậc 3 có sai
khác rất nhỏ; đáp ứng h(t) của bộ điều khiển giảm

- Kết quả mô phỏng Hình 3 cho thấy: khi sử dụng
bộ điều khiển giảm bậc 3 điều khiển robot di động
hai bánh cân bằng cho kết quả đáp ứng h(t) tương
đương như bộ điều khiển đủ bậc 6. Như vậy ta có
thể thay thế bộ điều khiển đủ bậc 6 bằng bộ điều
khiển giảm bậc 3 mà chất lượng bộ điều khiển vẫn
được đảm bảo.

5. Bàn luận
Robot di động hai bánh cân bằng là một lĩnh vực
nghiên cứu có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài
báo đã giới thiệu một mô hình Robot di động hai
12 Nguyễn Hữu Công, Vũ Ngọc Kiên, Đào Huy Du

VCM2012
bánh cân bằng theo nguyên lý cân bằng bánh đà,
điều khiển cân bằng theo thuật toán điều khiển bền
vững H

và một thuật toán giảm bậc mô hình dựa
theo phân tích Schur. Điểm mới ở đây là đã đề
xuất và hoàn thiện thuật toán giảm mô hình dựa
theo phân tích Schur và áp dụng thành công trong
việc chuyển bộ điều khiển đủ bậc theo H

(bậc 6)
về bộ điều khiển giảm bậc 3 với chất lượng hệ
thống điều khiển vẫn được đảm bảo. Sử dụng bộ
điều khiển giảm bậc 3 sẽ làm mã chương trình đơn
giản hơn, tăng tốc độ tính toán, thời gian xử lý

intelligent robots and systems, 2002, p. 2200-5.
[5] McFarlane D, Glover K. “A loop shaping design
procedure using H

synthesis,” IEEE Trans
Automat Contr 1992; 37(6): 759-69.
[6] Minh H.B and Kiyotsuga Takaba. “Model
reduction in Schur basic with pole retention and
H

- norm error bound,” In: Proceedings of
international workshop on Modeling, Systems,
and Conrol 2011
[7] Murata Boy Robot (www.murataboy.com).
[8] Suprapto S. “Development of a gyroscopic
unmanned bicycle,” M.Eng. Thesis, Asian
Institute of Technology, Thailand, 2006.
[9] Tanaka Y, Murakami T. “Self sustaining bicycle
robot with steering controller,” In: Proceedings of
international workshop on advanced motion
control, 2004, p. 193-7.
[10] Thanh B.T and Manukid Parnichkun. “Balancing
control of Bicyrobo by particle swarm
optimization – based structure-specified mixed
H2/H

control,” International Journal of
Advanced Robotic Systems 2008; 5(4): 395- 402.

SƠ LƯỢC TÁC GIẢ

nguyên.
Hướng nghiên cứu: Giảm bậc mô hình, Tự động hoá
Email:

ĐÀO HUY DU
Sinh năm 1979 tại Thuận
Châu-Sơn La.
Tốt nghiệp Đại học Giao thông
Vận tải Hà nội năm 2002,
nhận bằng thạc sỹ khoa học tại
Đại học Bách khoa Hà Nội
năm 2006. Đang là nghiên cứu
sinh tại Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội. Hiện công tác tại
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên.
Hướng nghiên cứu: Xử lý tín hiệu số, thông tin vô
tuyến và di động, giảm bậc mô hình.
Email: