183
Ứng dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

Ths Vũ Ngọc Kiên
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên
e-Mail:

Tóm tắt: Điều khiển cân bằng xe hai bánh hiện nay đang được nhiều nhà khoa học quan tâm.
Một khó khăn cho bài toán điều khiển này là đối tượng điều khiển là khâu không ổn định và
luôn bị nhiễu tác động. Để giải quyết bài toán này, các tác giả thường sử dụng thuật toán điều
khiển bền vững H
∞
. Tuy nhiên bộ điều khiển cân bằng xe hai bánh theo thuật toán điều khiển
bền vững H
∞
thường có bậc cao nên độ phức tạp lớn khi lập trình cho bộ điều khiển và ảnh
hưởng tới chất lượng trong quá trình điều khiển thực.Bài báo đã đề xuất một thuật toán mới
về giảm bậc mô hình nói chung và ứng dụng cho việc giảm bậc bộ điều khiển trong điều
khiển cân bằng xe hai bánh nói riêng. Thuật toán giảm bậc mô hình đã đề xuất có thể ứng
dụng trong các lĩnh vực khác như: viễn thông, công nghệ thông tin và toán ứng dụng.
Từ khoá: Giảm bậc mô hình, điều khiển bền vững, xe hai bánh
Abstract: Development of balanced control for the two-wheeled bicycle has attracted many
researchers in the recent years. One difficulty for this control problem is that the controlling
object is always unstable and is affected by interferences. To solve this problem, the authors
in previous reaseachs offer use sustainable control algorithm H
∞
. However, the two-wheeled
bicycle balancing controller under H
∞
sustained control algorithms often has high order,

sử dụng bánh đà có ưu điểm là đáp ứng
nhanh và có thể cân bằng ngay cả khi xe
không di chuyển.
Có nhiều thuật toán điều khiển xe hai bánh
đã được đề xuất như điều khiển phi tuyến
c
ủa Beznol năm 1998 [1], Lee và Ham năm
2002 [4], thiết kế bù bằng cách sử dụng
phương pháp tiếp cận quỹ đạo gốc của
Gallaspy năm 1999 [3] và điều khiển PD
của Surpato năm 2006 [9]. Tuy nhiên,
những thuật toán điều khiển đó không bền
vững, xe không thể mang tải với các tải
trọng biến đổi, và không thể làm việc trong
môi trường có nhiễu loạn. Vì vậy các thuật
toán điều khiển bền vững cho xe hai bánh là
rất cần thiết .
Lý thuyết điều khiển bền vững H
∞
là một lý
thuyết điều khiển hiện đại cho việc thiết kế
các bộ điều khiển tối ưu và bền vững cho
các đối tượng điều khiển có thông số thay
đổi hoặc chịu tác động của nhiễu bên ngoài.
Tuy nhiên, trong phương pháp thiết kế H
∞184
mà McFarlane và Glover lần đầu tiên đưa ra

xe hai bánh tự cân bằng
Mô hình xe hai bánh được xây dựng dựa
trên cở sở định luật bảo toàn động lượng có
cơ sở là: Nếu không có một mô men xoắn
(mô men lực) bên ngoài nào tác động lên
một đối tượng hay hệ thống (hoặc tổng mô
men xoắn - mô men lực tác động vào một
đối tượng bằng không) thì tổng mômen
động lượng của đối tượng đó sẽ được bảo
toàn.
Xe hai bánh tự cân bằng trang bị một bánh
đà và sử dụng bánh đà để duy trì cân bằng
của xe. Một động cơ một chiều có tác dụng
tạo ra mô men xoắn cho bánh đà và do đó
khi xe bị nghiêng khỏi vị trí cân bằng thì
động cơ xe quay bánh đà và gây ra một mô
mem xoắn tương ứng tác động lên xe theo
chiều ngược chiều nghiêng của xe có tác
dụng kéo xe trở lại vị trí cân bằng.
Để điều khiển gia tốc của bành đà, ta sử
dụng một động cơ một chiều DC với điện áp
đặt lên động cơ là U, khi này ta đưa bài toán
điều khiển cân bằng xe về bài toán điều
khiển góc nghiêng γ (đầu ra) bằng cách điều
khiển điện áp U (đầu vào) đặt lên động cơ
DC. Nhiệm vụ đặt ra là phải thiết kế một bộ
điều khiển để giữ cho xe cân bằng tức là giữ
cho góc (đầu ra) luôn tiến tới không. Mô tả
chi tiết cấu tạo xe hai bánh cân bằng có trong
hình 1.

Cấu trúc hệ thống điều khiển như hình 1:

Hình 2: Cấu trúc hệ thống điều khiển cân
bằng xe hai bánh
Thiết kế bộ điều khiển hệ thống cân bằng xe
theo thuật toán điều khiển bền vững H
∞
đủ
bậc theo phương pháp tham số hóa Youla và
cân bằng mô hình theo tài liệu [14], bộ điều
khiển H
∞
đủ bậc được thiết kế như sau:
c
()
W( )
()
Hs
s
D
s
=
(4)
Controller
W
c
(s)

=− − − − − − +
++++++
++−
Bộ điều khiển đủ bậc có bậc 15 sẽ dẫn tới
nhiều bất lợi khi chúng ta đem thực hiện
điều khiển cân bằng xe vì mã chương trình
phức tạp làm thời gian xử lý sẽ tăng lên, tốc
độ đáp ứng của hệ thống điều khiển bị
chậm và không đáp ứng tốt yêu cầu về thời
gian thực của bộ điều khiển và có thể làm
hệ thống cân bằng mất ổn định. Chính vì
vậy để nâng cao chất lượng bộ điều khiển
này cần phải thực hiện giảm bậc bộ điều
khiển để mã chương trình trở lên đơn giản
hơn, giảm thời gian xử lý, tăng tốc độ đáp
ứng mà vẫn thoả mãn được yêu cầu ổn định
bền vững của hệ thống.
II. Thuật toán giảm bậc mô hình dựa
theo phân tích Schur
2.1 Bài toán giảm bậc mô hình
Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất
biến theo thời gian, có nhiều đầu vào, nhiều
đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái
bởi hệ phương trình sau:
x
Ax Bu
yCx
=+
=


∈ R
r
, u ∈ R
p
, y
r
∈R
q
, A
r
∈ R
rxr
,
B
r
∈ R
rxp
, C
r
∈ R
qxr
, với r ≤ n;
Sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (6)
có thể thay thế mô hình mô tả bởi phương
trình trong (5) ứng dụng trong phân tích,
thiết kế, điều khiển hệ thống.
2.2 Thuật toán giảm bậc mô hình dựa theo
phân tích Schur
Hầu hết các thuật toán giảm bậc mô hình
được công bố trên thế giới đều chỉ áp dụng

)
,,
A
BC được mô tả trong
(5) (hệ không ổn định)
Bước 1: Chuyển hệ thống về dạng tựa tam
giác ta thu được hệ thống có dạng
[]
11 12 1
12
22 2
;;
0
tt t
ttttt
tt
AA B
ABCCC
AB
⎡⎤⎡⎤
===
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

với
11
mxm
t
AR∈ (với
m

qxm
t
CR∈ ;
()
2
qx n m
t
CR
−
∈ .
Bước 2: Tính S từ phương trình Lyapunov
sau
11 22 12
0
ttt
AS SA A
−
+=
Bước 3
: Xác định ma trận chuyển trạng thái

185
.
= .
0.
IS
r
W
I
nr

A
BC WAWWBCW=
Bước 5: Phân tách hệ
()
,,,
ddd
A
BCD
về
dạng
[]
11 1
12
22 2
0
;;
0
dd
ddddd
dd
AB
ABCCC
AB
⎡⎤⎡⎤
===
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

với
11

2
qx n m
d
CR
−
∈ .
Đầu ra: Hệ ổn định
(
)
11 1 1
,,
ddd
ABC
Hệ không ổn định
()
22 2 2
,,
ddd
ABC

Bước 2: Thực hiện chuyển đổi ma trận A
của phân hệ ổn định
()
11 1 1
,,
ddd
ABC về dạng
ma trận tam giác trên dựa theo phân tích
Schur theo thuật toán sau:
Thuật toán 2.2.2: Thuật toán đưa hệ về

là ma trận tam giác trên
Bước 4: Tính ma trận không suy biến
1
TUR
−
=

Bước 5:
Tính
()
()
11
11 1 1
,, , ,
ddd
ABC T A TT B C T
−−
=



Đầu ra: Hệ tương đương
()
,,ABC



Sau đó , thực hiện sắp xếp các giá trị điểm
cực theo tính chất quan trọng giảm dần trên
đường chéo chính của ma trận tam giác trên




Bước 2: Chọn thước đo tính trội lớn nhất
1
i
R

Bước 3: Sắp xếp lại điểm cực
1
i
λ
(và liên
hợp của nó
1
i
λ
, nếu cần thiết) thành vị trí
đầu tiên trên đường chéo của ma trận A


bằng ma trận unitary (unitary matrix) U
1
:

Bước 4: Tính hệ thống tương đương mới
(
)
111 1
,,

tục vòng lặp cho đến khi tất cả các điểm
cực được sắp xếp lại theo độ lớn giảm dần
của thước đo tính trội.
Đầu ra: Hệ tương đương
()
,,ABC


với các
các điểm cực được sắp xếp lại theo độ lớn
giảm dần của thước đo tính trội.
Điểm mới quan trọng nhất của
bước 2 là
khả năng sắp xếp theo tính chất quan trọng
giảm dần của các điểm cực trên đường chéo
chính của ma trận tam giác trên A và khả
năng bảo lưu các điểm cực quan trọng của
mô hình gốc trong mô hình giảm bậc.

186
Bước 3: Giảm bậc phân hệ ổn định theo
thuật toán sau:
Thuật toán 2.2.4 Rút gọn hệ tương đương
Đầu vào: Hệ tương đương
()
,,ABC


thu
được từ Thuật toán 2.2.3.

1
∈ R
rxp
, C
1
∈ R
qxr
.
Đầu ra: Hệ rút gọn
()
11 1 1
,,ABC.
Đầu ra: Hệ rút gọn
(
)
(
)
(
)
11 1 1 22 2 2
,, , ,
ddd
ABC A B C+
III. Ứng dụng thuật toán giảm bậc mới
cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai
bánh
3.1 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển cân
bằng xe hai bánh
Bộ điều khiển H
∞

432
1.063 4 6.758 4 2.353 5 7.301 4 7.515 5
89.69 1031 7.028e-12 9.88e-14
es es es es e
sss s
−−−−−
+−− −

3
32
32
-1.063 4 9.102 4 - 7226 - 7515
-10.31 - 7.027 -14 - 9.88 -16
es es s
ss ese
+

2
2
2
-1.063 4 9.593 4 -5.862 4
-10.31 - 4.031 - 28
es es e
sse
+

3.2 Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 4, 5
điều khiển cân bằng xe hai bánh
Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 5 ở bảng 1
để điều khiển hệ thống cân bằng cho xe hai


Hình 3. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều
khiển cân bằng xe hai bánh khi sử dụng bộ
điều khiển giảm bậc 5, 4

187
0 1 2 3 4 5 6
-
0.03
-
0.02
-
0.01
0
0.01
0.02
0.03Dap dung dau ra khi su dung bo dieu khien goc
Dap ung dau ra khi su dung bo dieu khien giam bac 5 moi
Dap ung dau ra khi su dung bo dieu khien giam bac 4 moi

Hình 4. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều
khiển cân bằng xe hai bánh khi sử dụng bộ
điều khiển gốc và bộ điều khiển giảm bậc 5,
4
- So sánh kết quả hệ thống điều khiển cân
bằng xe hai bánh sử dụng bộ điều khiển
gốc, bộ điều khiển giảm bậc theo phương

0
0.01
0.02
Time (sec)
RadianDap ung dau ra khi su dung bo dieu khien goc
Dap ung dau ra khi su dung bo dieu khien giam bac 5 moi
Dap ung dau ra khi su dung bo dieu khien giam bac 5 Balance

Hình 5. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều
khiển cân bằng xe hai bánh sử dụng bộ điều
khiển gốc và các bộ điều khiển giảm bậc 5
3.3 Nhận xét kết quả
- Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 5,4 theo
thuật toán mới có thể điều khiển cân bằng
cho mô hình xe hai bánh, trong đó đáp ứng
đầu ra của bộ điều khiển giảm bậc 5 hoàn
toán trùng khít với đáp ứng đầu ra của bộ
điều khiển gốc, đáp ứng đầu ra của bộ điều
khiển giảm bậc 4 có sự sai khác so với
đáp
ứng của bộ điều khiển gốc.
- So sánh chất lượng hệ thống điều khiển
cân bằng xe hai bánh sử dụng bộ điều khiển
giảm bậc 5 theo thuật toán mới với bộ điều
khiển giảm bậc 5 theo thuật toán cắt ngắn
cân bằng (balance) ta thấy: Hệ thống điều
khiển cân bằng xe hai bánh sử dung bộ điề

V. Tài liệu tham khảo
[1] Beznos AV, Formalsky AM, Gurfinkel
EV,Jicharev DN, Lensky AV, Savitsky
K V, et al. (1998) “Control of
autonomous motion of two-wheel
bicycle with gyroscopic stabilization,”
In: Proceedings of the IEEE
international conference on robotics
and automation 1998, p. 2670-5.

188
[2]
Chu YC, Glover K, Dowling AP.
(2003) “Control of combustion
oscillations via H
∞
loop shaping, μ-
analysis and integral quadratic
constraints,” Automatica 2003; 39(2):
219-31
[3] Gallaspy JM. (1999) “Gyroscopic
stabilization of an unmanned bicycle,”
M.S. Thesis, Auburn University
[4] Lee S, Ham W. (2002) “Self-stabilizing
strategy in tracking control of
unmanned electric bicycle with mass
balance,” IEEE international
conference on intelligent robots and
systems 2002, p. 2200-5.
[5] McFarlane D, Glover K. (1992) “A


[11] Thanh B.T, and Manukid Parnichkun.
(2008) “Balancing control of Bicyrobo
by particle swarm optimization – based
structure-specified mixed H2/H
∞

control,” International Journal of
Advanced Robotic Systems 2008; 5(4):
395- 402.

[12] Y. Liu, and B. D. O. Anderson (1989),
Singular Perturbation Approximation
of Balanced Systems, International
Journal of Control, Vol. 50, pp. 1379-
1404, 1989.

[13] A.C Antoulas, Approximation of Large
– Scale Dynamical Systems, SIAM,
2005.

[14] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều
khiển nâng cao, NXB Khoa học và Kỹ
thuật, 2009