ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,5 điểm).
Cho biểu thức:
1 1 1
1
1 1
Q
a a a
  
= − +
 ÷ ÷
− +
  
(với
0a >
và
1a ≠
).
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị của biểu thức Q biết
3 2 2a = +
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
2( 3) 3( 4) 1
3 7
x y
x y

180BAC IHK
+ =
.
b) Chứng minh điểm E thuộc đường tròn (O) và
·
·
EBAD CA=
.
c) Gọi M là trung điểm của BC; F là giao điểm của AM và OH. Chứng minh F
là trọng tâm của tam giác ABC.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
AD BI CK
HD HI HK
+ +
.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
3x y z+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 3x xy y y yz z z zx x
A
x y y z z x
+ − + − + −
= + +
+ + +
.
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

.
1
a a a
Q
a
a
+ − + +
=
−
0,5
=
2 1
.
1
a a
a
a
+
−
0,25
=
2

1 a
−
0,25
b)
0,5
2
3 2 2 ( 2 1) 2 1a a

x
y
=

⇔

=

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 4;5x y =
0,5
b)
1,0
điểm

2 2 10 0x x− − − =
ĐKXĐ:
2x ≥
( 2) 2 2 8 0x x⇔ − − − − =
Đặt
2 0x t− = ≥
Ta có:
2
2 8 0t t− − =
Giải được
1
4t =

2

b)
0,75
điểm
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2

Kết hợp hệ thức Vi-ét ta có:
1 2 1
1 2 2
6 3
2 3
x x x m
x x m x m
 
 
 
 
 
− = − = −
⇔
+ = = +
0,25
=>
2
1 2
( 3)( 3) 9x x m m m
= − + = −
(*)

180BAC IHK+ =
0,5
b)
1,0
điểm
Vì BHCE là hình bình hành
=> CH // BE
Mà CH
⊥
AB (gt)
=> BE
⊥
AB
=>
·
0
90ABE =
0,25
Cm tương tự ta có:
·
0
90ACE =
=> Tứ giác ABEC nội tiếp
=> E thuộc (O).
0,25
3
O
A
C
B

⊥
BC
Mà AH
⊥
BC (gt)
=> OM // AH
=> Hai tam giác AHF và MOF đồng dạng
=>
AF
MF MO
AH
=
(1)
0,5
Lại có
·
0
90ABE =
=> AE là đường kính (O)
=> O là trung điểm của AE.
Tứ giác BHCE là hình bình hành => M cũng là trung điểm của HE
=> OM là đường trung bình của tam giác AHE
=>
1
2
MO
AH
=
(2)
Từ (1) và (2) =>

+ S
2
+ S
3
.
Ta có:
1 2 3
1 2 3
ABC ABC ABC
BHC AHC AHB
AD S S BI S S CK S S
( ), ( ), ( )
HD S S HI S S HK S S
= = = = = =
0,25
Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được:
1 2 3 1 2 3
1 1 1AD BI CK S S S
T S
HD HI HK S S S S S S
 
= + + = + + = + +
 ÷
 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương, ta có:
3
1 2 3 1 2 3
3 . .S S S S S S S= + + ≥
(4) ;

2 2
2
x y x y
x y
+ +
≥
+

, 0x y∀ >
. Dấu “=” xảy ra khi x = y. 0,25

Từ đó:
2 2 2 2
2 3 3 ( )x xy y x x y x y
x y x y
+ − + − −
=
+ +

2 2
5
3 3
2 2
x y x y x y
x x
x y
+ + −
= − ≤ − =
+
(1)

≤ + + = + + =
Vậy GTLN của A là 6 khi
1x y z= = =
.
0,25
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
HẾT
5