Đề thi vào lớp 10 môn Toán Trường THPT chuyên Amsterdam, chuyên
Nguyễn Huệ, Hà Nội năm học 2013 - 2014
Bài 1:
1) Tìm các số tự nhiên n để 7
2013
+3
n
có chữ số hàng đơn vị là 8.
2) Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn
2 2
1 1 1
p a b
= +
.
Chứng minh p là hợp số.
Bài 2:
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
x
2
−3y
2
+2xy−2x+6y−8=0.
2) Giải hệ phương trình
2x
2
+xy+3y
2
−2y−4=0
3x
2
+5y

thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Chứng
minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có
chu vi nhỏ hơn 2013.