SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )
Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
Ngày thi: 06/10/2011
Câu 1: ( 5,0 điểm )
a. Giải phương trình sau:
2 2 3 4
4 1 1 5 4 2x x x x x x+ + = + + − −
với
x R∈
.
b. Giải phương trình:
( )
2
2sin 3sin 2 1 3 cos 3sinx x x x+ + = +
.
Câu 2: ( 5,0 điểm )
a. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, cạnh
2AB =
. Trong mặt phẳng chứa
tam giác
ABC
lấy điểm
M
thỏa
2 2 2

a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
b. Tính tổng
2 2 2 2
1 2 3 2011
S u u u u= + + + +
.
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho
, ,a b c
là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1a b c+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( )
3
6M a b c a b c abc= + + − + + +
Câu 5: ( 3,0 điểm )
Tìm
m
để hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
3 2
2
2 2 2 3
3

2
t x x t= + + ≥
. Khi đó phương trình trở thành:

( )
4 2 4 2 2
4 7 5 6 9 4 4 0t t t t t t t= − + − ⇔ − + − − + =
0,5
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
3 2 0 1 5 0t t t t t t⇔ − − − = ⇔ − − + − =
(*)
0,5
(*)
2
2
1 0
5 0
t t
t t

− − =
⇔

+ − =


1 5
2
t
+
=
thì
2
2 2
1 5
1 2 2 1 5 0
2
x x x x
 
+
+ + = ⇔ + − − =
 ÷
 ÷
 
1 3 2 5
2
x
− − +
⇔ =
hoặc
1 3 2 5
2
x
− + +
=
.

=
.
0,5
b. ( 2,0 điểm )
Phương trình đã cho được viết lại:

( )
2 2
3sin 2 3sin cos cos 3 3 sin cosx x x x x x+ + = +
0,5
( ) ( )
2
3 sin cos 3 3 sin cos 0x x x x⇔ + − + =
0,5
3sin cos 0x x⇔ + =
hoặc
3sin cos 3x x+ =
0,5
(5,0 điểm)

1
3 sin cos 0 tan
6
3
x x x x k
π
π
+ = ⇔ = − ⇔ = − +
,
k Z

2 2
2 2 2 2
2 2x y x y x y⇔ − + + + = + −
⇔
2 2
4 4 0x y x y+ − + =
.
0,5
 Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm
( )
2; 2I −
, bán kính
2 2R =
.
0,5
 Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm
( )
2; 2I −
, bán kính
2 2R =
.
0,5
b. ( 3,0 điểm )
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
 Xét trường hợp:
·
=
0
120BGC
Ta có:

2 2 2
2
63 3 7
2 4
a a
AC AB BC
m m
0,5
 Xét trường hợp:
·
=
0
60BGC
Ta có :
= + − =
2 2 2 0
2 . .cos60 28BC GB GC GB GC
= + − ⇔ =
2
2 2 2 0
2 . .cos12 0 52
4
AC
MC GM GC GM GC

Vậy AC
2
= 208
0,5
= + − ⇔ =

n
u n N> ∀ ∈
Từ
2 2 2
1 1
3 2 3 2
n n n n
u u u u
+ +
= + ⇔ = +
.
0,5
Đặt
2
n n
v u=
thì có:
( )
1 1
3 2 1 3 1
n n n n
v v v v
+ +
= + ⇔ + = +
.
0,5
Đặt
1
n n
x v= +

0,5

( )
0 1 2 2010
2 3 3 3 3 2011= + + + + −
0,5

( )
2011
2 3 1
2011
3 1
−
= −
−
0,52011
3 2012= −
0,5
4
(3,0 điểm)
Chứng minh được:
( )
( )
2
2 2 2
3 3a b c a b c+ + ≤ + + =
0,5

0,5
5
(3,0 điểm)
Viết lại hệ:
( )
( )
2
2
2 2 3
2
x x x y m
x x x y m

+ + = − −


+ + + =


0,5

Đặt
2
2 ,u x x v x y= + = +
. Dễ có:
1u
≥ −
.
Hệ trở thành:
. 2 3u v m

=
+
với
1u
≥ −
.
( )
( )
2
/
2
4 3
0, 1
2
u u
f u u
u
+ +
= ≥ ∀ ≥ −
+
0,5
Bảng biến thiên:
u
1−

+∞
( )
/
f u
+