TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chủ biên: Nguyễn văn huy
26-7-2012


Phương pháp lượng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Phương pháp dùng lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Một số bài toán chọn lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3

4
4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158
Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177
Các loại hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Hệ phương trình hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Phương pháp biến đổi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Phương pháp dùng đơn điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Phương pháp dùng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5
Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Một cuộc đời trên bia mộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Chỉ vì lề sách quá hẹp! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Hai gương mặt trẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
Sống hay chết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
9 Tài liệu tham khảo 381

Lời nói đầu
Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng
dụng rất lớn trong các ngành khoa học. Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tính
toán của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Toán
học, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ,
phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình
sai phân, phương trình đạo hàm riêng, . . .)
Còn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng toán quen thuộc và được
yêu thích bởi nhiều bạn học sinh. Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các công cụ giải tích
và hình học, những bài toán phương trình - hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trở
thành nét đẹp của Toán học và một phần không thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thi
Đại học.
Đã có rất nhiều bài viết về phương trình - hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập một
cách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình. Nhận thấy nhu cầu có
một tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đàn
MathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình mà

Ngoài ra còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phương
trình trong giải toán và về lịch sử phát triển của phương trình.
Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây dựng
chuyên đề. Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn,
anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp những
ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra các
bài viết để có một tuyển tập hoàn chỉnh.
Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiều điều
bổ ích và tình yêu toán học thông qua quyển sách này. Chúng tôi xin đón nhận và hoan nghênh
mọi ý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin vui lòng
chuyển đến [email protected]
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012
Thay mặt nhóm biên soạn
Nguyễn Anh Huy

Các thành viên tham gia chuyên đề
Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên của
diễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề:
• Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM),
Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM)
• Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền –
TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A

Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng
(10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội)
• Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà
Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11
Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM)
• Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy,
Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM)
• Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng
Phong TP HCM)
• Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong
TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần
Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT
Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM)
• Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai),
thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CT
THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)
• Giải toán bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu-
TP HCM)
• Lịch sử phát triển của phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu-
TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai)

Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
HỮU TỈ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA

+ ax
2
+ bx + c = 0 (1).
Bằng cách đặt x = y −
a
3
, phương trình (1) luôn biến đổi được về dạng chính tắc:
y
3
+ py + q = 0(2)
Trong đó: p = b −
a
2
3
, q = c +
2a
3
− 9ab
27
Ta chỉ xét p, q = 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản.
Đặt y = u + v thay vào (2), ta được:
(u + v)
3
+ p(u + v) + q = 0 ⇔ u
3
+ v
3
+ (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3)
Chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 (4).
Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

2
4
+
p
3
27
10

11
 Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm:
u
3
= −
q
2
+
√
∆, v
3
= −
q
2
−
√

−
q
2
, y
2
= y
3
=
3

q
2
 Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức.
Gọi u
3
0
là một nghiệm phức của (5), v
3
0
là giá trị tương ứng sao cho u
0
v
0
= −
p
3
.
Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
y
1

0
) −i
√
3
2
(u
0
− v
0
)
 Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic:
Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan
đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn
khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos
Cụ thể, từ phương trình t
3
+ pt + q = 0 (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) về
dạng
4 cos
3
α −3 cos α −cos 3α = 0
Muốn vậy, ta chọn u = 2

−p
3
và chia 2 vế của (∗) cho
u
3
4
để được

2p
.

−3
p

−
2iπ
3

với i = 0, 1, 2.
Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p < 0 (điều ngược lại không đúng) nên công
thức trên không có số phức.
Khi phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và p = 0 ta cũng có thể biểu diễn nghiệm đó bằng công
thức hàm arcosh và arsinh:
t =
−2|q|
q
.

−p
3
cosh

1
3
.arcosh

−3|q|
2p

.

3
p

nếu p > 0
Mỗi phương pháp trên đều có thể giải quyết phương trình bậc ba tổng quát. Nhưng mục đích
của chúng ta trong mỗi bài toán luôn là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất. Hãy cùng xem qua
một số ví dụ:
Bài tập ví dụ
Bài 1: Giải phương trình x
3
+ x
2
+ x = −
1
3
Giải
Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới
công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình:
3x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 = 0
Đại lượng 3x
2
+3x+1 gợi ta đến một hằng đẳng thức rất quen thuộc x
3
+3x

Đặt x = y + 1 . Thế vào phương trình đầu bài, ta được phương trình:
y
3
+ 1.y + 13 = 0
Tính ∆ = 13
2
+
4
27
.1
3
=
4567
27
 0
Áp dụng công thức Cardano suy ra:
y =
3




−13 +

4567
27
2
+
3


+ 1.
 Nhận xét: Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên công
thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi Học sinh giỏi. Vì thế, có lẽ chúng
ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thức hóa” các lời giải trên. Đó là phương pháp lượng
giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng x
3
+ px + q = 0 với p < 0 và có 1 nghiệm thực:

13
Bài 3: Giải phương trình x
3
+ 3x
2
+ 2x −1 = 0
Giải
Đầu tiên đặt x = y −1 ta đưa về phương trình y
3
−y −1 = 0 (1). Đến đây ta dùng lượng giác
như sau:
Nếu |y| <
2
√
3
suy ra

cos α −1 = 0
hay
cos 3α =
3
√
3
2
(vô nghiệm)
Do đó |y| 
2
√
3
. Như vậy luôn tồn tại t thoả y =
1
√
3
(t +
1
t
) (∗). Thế vào (1) ta được phương
trình
t
3
3
√
3
+
1
3
√

3
√
3 −
√
23





− 1 ✷
 Nhận xét: Câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương pháp trên như thế nào?”. Muốn trả lời, ta cần
làm sáng tỏ 2 vấn đề:
1) Có luôn tồn tại t thoả mãn cách đặt trên?
Đáp án là không. Coi (∗) là phương trình bậc hai theo t ta sẽ tìm được điều kiện |y| 
2
√
3
.
Thật ra có thể tìm nhanh bằng cách dùng AM-GM:
|y| =




1
√
3

t +

Ý tưởng của ta là từ phương trình x
3
+ px+ q = 0 đưa về một phương trình trùng phương theo
t
3
qua cách đặt x = k

t +
1
t

. Khai triển và đồng nhất hệ số ta được k =

−p
3
Sau đây là phương trình dạng x
3
+ px + q = 0 với p < 0 và có 3 nghiệm thực:
Bài 4: Giải phương trình x
3
− x
2
− 2x + 1 = 0
Giải
Đặt y = x −
1
3
. Phương trình tương đương:
y
3




< 1. Do đó tồn tại α ∈ [0, π] sao cho cos α =
3y
2
√
7
hay y =
2
√
7 cos α
3
.
Thế vào (∗), ta được:
cos 3α = −
√
7
14
Đây là phương trình lượng giác cơ bản. Dễ dàng tìm được ba nghiệm của phương trình ban
đầu:
x
1
=
2
√
7
3
cos








±arccos

−
√
7
14

3
+
2π
3






+
1
3
Do phương trình bậc ba có tối đa ba nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp
|y| 
2
√

3
,
trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa về phương trình trùng phương theo t.
 Nếu phương trình có 3 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y|  2

−p
3
bằng phép đặt (∗) (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo t). Khi |y|  2

−p
3
thì
đặt
|y|
2

−p
3
= cos α, từ đó tìm α, suy ra 3 nghiệm y.
Còn khi p > 0 không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất:
Bài 5: Giải phương trình x
3
+ 6x + 4 = 0
Giải
 Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt x = k

t −
1
t



15
Cần chọn k thoả 3k
3
= 6k ⇒ k =
√
2
Vậy ta có lời giải bài toán như sau:
 Lời giải:
Đặt x =
√
2

t −
1
t

ta có phương trình
2
√
2

t
3

=
√
2

3

−1 +
√
3
√
2
+
3

−1 −
√
3
√
2

. ✷
Bài 6: Giải phương trình 4x
3
− 3x = m với |m| > 1
Giải
Nhận xét rằng khi |x|  1 thì |V T |  1 < |m| (sai) nên |x|  1. Vì vậy ta có thể đặt
x =
1
2



m +
√
m
2
− 1 +
3

m −
√
m
2
− 1

.
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Giả sử phương trình có nghiệm x
0
thì x
0
∈ [−1, 1] vì |x
0
| > 1. Khi đó:
4x
3
− 3x = 4x
3
0
− 3x
0


3

m +
√
m
2
− 1 +
3

m −
√
m
2
− 1

.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) x
3
+ 2x
2
+ 3x + 1 = 0
b) 2x
3
+ 5x
2
+ 4x + 2 = 0
c) x

[1] Phương trình dạng ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bkx + ak
2
= 0 (1)
Ta có
(1) ⇔ a(x
4
+ 2x
2
.k + k
2
) + bx(x
2
+ k) + (c −2ak)x
2
= 0
⇔ a(x
2
+ k)
2
+ bx(x
2
+ k) + (c −2ak)x
2
= 0

2
) −8(x
2
+ 3) + 16x
2
= 16x
2
− 21x
2
+ 6x
2
⇔ (x
2
− 4x + 3)
2
= x
2
⇔

x
2
− 4x + 3 = x
x
2
− 4x + 3 = −x
⇔

x
2
− 5x + 3 = 0

− 8x(x
2
+ 3) + 15x
2
= 0
Đặt y = x
2
+ 3. (1.1) trở thành: y
2
− 8xy + 15x
2
= 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔

y = 3x
y = 5x
Với y = 3x: Ta có x
2
+ 3 = 3x: Phương trình vô nghiệm
Với y = 5x: Ta có x
2
+ 3 = 5x ⇔ x
2
− 5x + 3 = 0 ⇔



x =
5 −
√
13

Giải các phương trình sau:
1) x
4
− 13x
3
+ 46x
2
− 39x + 9 = 0
2) 2x
4
+ 3x
3
− 27x
2
+ 6x + 8 = 0
3) x
4
− 3x
3
− 6x
2
+ 3x + 1 = 0
4) 6x
4
+ 7x
3
− 36x
2
− 7x + 6 = 0
5) x

x
2
+
p + n
2
x + m +
n −p
2
x

= ex
2
⇔

x
2
+
p + n
2
x + m

2
=


n −p
2

2
+ e

2
+ 10x + 24)(x
2
− 14x + 24) = 25x
2
⇔ (x
2
− 2x + 24 + 12x)(x
2
− 2x + 24 − 12x) = 25x
2
⇔ (x
2
− 2x + 24)
2
= 169x
2
⇔

x
2
− 2x + 24 = 13x
x
2
− 2x + 24 = −13x
⇔

x
2
− 15x + 24 = 0

18
x = 0 : (2.1) ⇔

x +
24
x
+ 10

x +
24
x
− 14

= 25
Đặt y = x +
24
x
⇒ |y|  4
√
6. (2.1) trở thành:
(y + 10)(y − 14) = 25 ⇔ (y + 11)(y −15) = 0 ⇔

y = −11
y = 15
Với y = −11: Ta có phương trình:
x +
24
x
= −11 ⇔ x
2

2
+ m để thu được phương trình bậc hai ẩn x, tham số y hoặc ngược lại.
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x
2
2) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 168x
2
3) (x + 3)(x + 2)(x + 4)(x + 6) = 14x
2
4) (x + 6)(x + 8)(x + 9)(x + 12) = 2x
2
5) 18(x + 1)(x + 2)(x + 5)(2x + 5) =
19
4
x
2
[3] Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (3) với a + b = c + d = p
Ta có (3) ⇔ (x
2
+ px + ab)(x
2
+ px + cd) = m
Cách 1:
(3) ⇔

x
2
+ px +
ab + cd

Bài toán quy về giải hai phương trình bậc hai theo x.
Cách 2:
Đặt y = x
2
+ px Điều kiện: y  −
p
2
4
. (3) trở thành:(y + ab)(y + cd) = m
Giải phương trình bậc 2 ẩn y để tìm x.
Ví dụ: Giải phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8 (3.1)
Cách 1:

19
Ta có
(3.1) ⇔ (x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = 8
⇔ (x
2
+ 3x + 1 − 1)(x
2

2
+ 3x + 2) = 8
Đặt y = x
2
+ 3x ⇒ y  −
9
4
(3.1) trở thành:
y(y + 2) = 8 ⇔ y
2
+ 2y − 8 = 0 ⇔

y = 2
y = −4(loại)
⇔ y = 2
Với y = 2: Ta có phương trình:
x
2
+ 3x −2 = 0 ⇔ x =
−3 ±
√
17
2
Phương trình (3.1) có tập nghiệm: S =

−3 +
√
17
2
;

4. (6x + 5)
2
(3x + 2)(x + 1) = 35
5. (4x + 3)
2
(x + 1)(2x + 1) = 810
Nhận xét: Như dạng (2), ngoài cách đặt ẩn phụ trên, ta có thể đăt một trong các dạng
ẩn phụ sau:
 Đặt y = x
2
+ px + ab
 Đặt y = x
2
+ px + cd
 Đặt y =

x +
p
2

2
 Đặt y = x
2
+ px +
ab + cd
2
[4] Phương trình dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4

+ 3(a −b)
2
y
2
+ 2

a −b
2

4
= c
Giải phương trình trùng phương ẩn y để tìm x.
Ví dụ: Giải phương trình: (x + 2)
4
+ (x + 4)
4
= 82 (4.1)
Đặt y = x + 3. Phương trình (4.1) trở thành:
(y + 1)
4
+ (y − 1)
4
= 82
⇔ (y
4
+ 4y
3
+ 6y
2
+ 4y + 1) + (y

2)
4
+ (x + 1)
4
= 33 + 12
√
2
3. (x + 10)
4
+ (x −4)
4
= 28562
4. (x + 1)
4
+ (x −3)
4
= 90
[5] Phương trình dạng x
4
= ax
2
+ bx + c (5)
Đưa (5) về dạng A
2
= B
2
:
(5) ⇔ (x
2
+ m)

+ m)
2
= g
2
(x) (với f(x) = g
2
(x)) ⇔

x
2
+ m = g(x)
x
2
+ m = −g(x)

21
Ví dụ: Giải phương trình: x
4
+ x
2
− 6x + 1 = 0 (5.1)
Ta có:
(5.1) ⇔ x
4

3 = 0
x
2
+
√
3 + 2 +
√
3 = 0
⇔




x =
√
3 −

4
√
3 −5
2
x =
√
3 +

4
√
3 −5
2
Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S =

4. 2x
4
+ 3x
2
− 10x + 3 = 0
5. (x
2
− 16)
2
= 16x + 1
6. 3x
4
− 2x
2
− 16x −5 = 0
Nhận xét: Phương trình dạng x
4
= ax + b được giải theo cách tương tự.
Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước. Phương
trình này có thể cho 3 nghiệm m, cần lựa chọn m sao cho việc tính toán là thuận lợi nhất. Tuy
nhiên, dù dùng nghiệm m nào thì cũng cho cùng một kết quả.
[6] Phương trình dạng af
2
(x) + bf(x)g(x) + cg
2
(x) = 0 (6)
Cách 1: Xét g(x) = 0, giải tìm nghiệm và thử lại vào (6).
Trường hợp g(x) = 0: ⇔ a

f(x)