Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
Phần thứ nhất : MỞ ĐẦU
I.Lý do chọn đề tài.
Trong quá trình dạy học môn Toán của các khối lớp 10,11,12 .Tôi đã rút ra
một số kinh nghiệm về các phương pháp giải toán nói chung và đặc biệt là
phương pháp giải các bài toán đại số như là : phương trình ,hệ phương trình
,bất phương trình ,chứng minh đẳng thức ,bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất , nhỏ nhất của một biểu thức vì nó là một trong những chuyên đề quang
trọng và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra ,thi học kỳ và đặc biệt là các
kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng .
Trong khi đó học sinh thường lúng túng và thường hay mắc sai lầm trong việc
giải các bài toán về phương trình ,hệ phương trình ,bất phương trình ,chứng
minh đẳng thức ,bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu
thức .vì ở đây điều kiện học tập còn thiếu thốn ,tài liệu tham khảo còn hạn chế
,nhiều em ở các xã về đây trọ học nên kết quả học tập chưa cao và tỉ lệ học
sinh ở đây thi vào các trường đại học ,cao đẳng còn hạn chế.vậy làm thế nào
để giúp các em vượt qua trở ngại này? Chính vì những lí do đó mà tôi đưa ra
phương pháp giải cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và tôi đã quyết
định chọn đề tài
“Ứng dụng lượng giác trong đại số”
Với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng ,những
phương pháp và kinh nghiệm quý báu nhằm giúp các em vượt qua những trở
ngại nói trên.Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập ,và đặc biệt là các
kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng .Giúp các em yêu thích và có hứng thú
hơn trong học Toán.
II. Mục đích nghiên cứu
-Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm một phần tài liệu phục vụ trực tiếp
cho quá trình giảng dạy của bản thân ,đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo
cho các đồng nghiệp.Trong đề tài này tôi đề cập đến các dạng bài tập đại số
mà ta ứng dụng lượng giác để giải chúng sao cho phù hợp với từng dạng bài
tập .Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán

cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb
cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb
sin(a − b) = sina cosb − cosa sinb
sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb
tan(a − b) =
tan tan
1 tan tan
a b
b
−
+

tan(a + b) =
tan tan
1 tan tan
a b
a b
+
−

b) công thức nhân đôi
cos2a = cos
2
a − sin
2
a = 2cos
2
a − 1 = 1 − 2sin
2
a

a
c a
=
1 os2
1 os2
c a
c a
−
+
;
2
2
2
os 1 os2
cot
sin 1 os2
c a c a
a
a c a
+
= =
−

d)công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
cosacosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a - b)]
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:3


Sina + sinb = 2cos
2
ba +
sin
2
ba −

** chú ý

1 sinx 1; 1 cos 1x− ≤ ≤ − ≤ ≤

2 2
sin os 1x c x+ =
2 :Các dạng bài tập đại số và phương pháp lượng giác hóa
Dạng 1 : Nếu x
2
+ y
2
=1 thì đặt
sin
os
x
y c
α
α
=


=


thì đặt
[ ]
sin , ;
2 2
os , 0;
x
x c
π π
α α
α α π

−
 
= ∈

 
 


= ∈

Dạng 4 : Nếu
x m≤
thì đặt
[ ]
sin , ;
2 2
os , 0;
x m
x mc

   
∈ ∪
÷ ÷
 
   
Dạng 6 :Nếu
x m≥
hoặc bài toán có chứa
2 2
x m−

thì đặt x =
os
m
c
α
với
3
0; ;
2 2
π π
α π
   
∈ ∪
÷ ÷
 
   
Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức
2
x 1+

 
Dạng 9: Nếu bài toán chứa:
m x
m x
+
−
hoặc
m x
m x
−
+
thì có thể đặt: x=mcos2t.
.
II: NỘI DUNG BÀI TẬP
Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình sau với
(0,6;1)x∈

2
6 8 1 5( 1 1 )x x x x− − = + + −
Giải :
Điều kiện
1x ≤
Đặt
cosx
ϕ
=
với
0;
2
π

= = >
Suy ra
2 4
α π
<
. Từ đó
0
2 2 4 2
ϕ π π ϕ
α α ϕ
< − < ⇒ − = −
Vậy
cos cos(2 ) sin 2 2sin cos 0,96
2
x
π
ϕ α α α α
= = − = = =
Kết luận : vậy nghiệm của phương trình là x= 0,96
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:5

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
Bài 2: Giải phương trình:
1
1
2
2
=



1sin
sin
cos
−
=
t
t
t

)(0cos.sincossin ctttt =−+⇔
. Đặt u=sint+cost, đk:
2|| ≤u
,phương trình (1)
trở thành:
0
2
1
2
=
−
−
u
u





−=
+=

Do đó phương trình có nghiệm là:






−±−= 12221
2
1
x
.
*** Chú ý khi giải theo phương pháp lượng giác này thì ta thấy việc giải quyết
bài toán sẽ nhanh hơn phương pháp giải thông thường . và ta thực hiện cho
các bài toán tiếp theo
Bài 3: Giải phương trình:
23
134 xxx −=−
(2)
Giải:
ĐK:
11 ≤≤− x
. đặt x=cost, t
∈
[
π
,0
] phương trình (2) thành: 4cos
3
t - 3cost=sint

,
8
5
,
8
πππ
=== ttt
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: :
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:6

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
os
8
x c
π
=
=
2 2
2
+
.
5 2 2
os
8 2
x c
π
−
= =
,

t
1cos
2
2
≤≤ t
, phưong trình trở thành:
tt
tt
2cossin21
2
cos.sin21
2
=−=
+

t
t
2cos
2
2sin1
2
=
+
⇔
(vì
02cos
4
≥⇒≤ tt
π
)

⇒
nghiệm của phương trình là:
2
2
−=x
-Với sin2t =






+=
+=
⇔
π
π
π
π
kt
kt
12
5
12
2
1
, vì
4
π
≤t

điều kiện :
2
x 1 0
0x

− >

>

1x
⇔ >
.
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:7

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
Đặt x=
1
cost
,
0,
2
t
π
 
∈
 ÷
 
Khi đó phương trình có dạng :
1
1

2(u 1) u = −
2
2u 2 0u⇔ − − =

( )
2
1
l
2
u
u

=

⇔
−

=


2u =
sin cos 2t t⇔ + =
2 sin( ) 2
4
t
π
⇔ + =
sin( ) 1
4
t

x
= (1+m
2
)
x
với 0 < m <1. (1)
Giải:
Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho (1+m
2
)
x
> 0 ta có :
x
x
2
2 2
1 m 2
1
1+m 1+m
m
 
−
 
+ =
 ÷
 ÷
 
 
Đặt m=tant với
(0; )

( )
x
2
x
2
sin 2 sin x
1
os2 os x
t
VT
c t c

<

⇒ <

<


, phương trình vô nghiệm.
với x > 2 ta có :
( )
( )
x
2
x
2
sin 2 >sin x
1
os2 os x

)
4
cos(sincos
m
tmtt =+⇔=−⇔
π
.
Vì
[ ]
π
,0∈t

4
5
44
πππ
≤+≤⇔ t
nên suy ra:
2
2
)
4
cos(1 ≤+≤−
π
t
.
Vậy để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
12
2
2

tan
x
y
α
β
=


=

với
, ;
2 2
π π
α β
−
 
∈
 ÷
 
. Khi đó hệ đã cho trở thành :
2
2
2 tan
tan
1 tan
2 tan
tan
1 tan
β

=
thì
sin 0
β
=
và ngược lại nên ta có x = y = 0 là nghiệm của hệ .
Xét
sin 0
α
≠
và
sin 0
β
≠
: Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có :
sin 2 .sin 2 tan .tan
α β α β
=

1
4cos . os
os .sin
c
c
α β
α β
⇔ =
1
cos . os
2

2 4 2
k
k k Z
π π π
α π α
⇔ = + ⇔ = + ∈
Khi đó nghiệm của hệ là
0
tan( ) 1
4
1
x y
x y k x y
x y
π
π
= =


= = + ⇔ = =


= =

Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:9

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
Bài 9 :Giải hệ phương trình
2
2

=

−

(I)
Giải :
Nhận xét : Nếu
0xyz ≠
thì hệ (I) trở thành
3
2
3
2
3
2
3
1 3
3
1 3
3
1 3
x x
y
x
y y
z
y
z z
x
z

α
≠

Vậy ta có
tan3
tan9
tan 27
y
z
z
α
α
α
=


=


=


Suy ra
tan tan 27 27 ( )
26
k
k k z
π
α α α α π α
= ⇔ = + ⇔ = ∈

=−−
)2(25
)1(1
1
log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
Giải:
ĐK:



>
>
0y
xy
Với điều kiện trên hệ (II)
⇔





=+
=+−




=
=
,sin5
cos5
ty
tx
(sint > 0 và sint > cost), thay vào phương trình (3) ta được:
( )
⇒=⇒=⇔=−⇔=−
25
16
sin
4
3
cot
4
1
cot1
4
1
sin
1
cossin
2
ttt
t
tt

2 2 2 2 2 2
( ) ( )x a y b x b y a+ = + = − + −
Nhận xét về dạng của hệ phương trình trước khi giải:
Đặt
2 2 2
a R
x a R
x R
 ≤

+ = ⇒

≤


Nên ta đặt
cos
sin
x R
a R
α
α
=


=

với
0 0
0 ;180

2 2 2
0
0
( ) ( )
( cos sin ) ( cos sin )
30
1
sin( )
2
150
R x b y a
R R R R R
α β β α
α β
α β
α β
⇒ = − = −
⇔ = − + −

+ =
⇒ + = ⇔

+ =

với
0 0
0 0 0
30 30
cos(30 ) cos os30 sin sin30 )y R R c
α β β α

2 2
a x
y R
α
= − = −
(3)
0
3
sin(150 )
2 2
x a
b R
α
= − = +
(4)
Từ ( 3 ) và ( 4 ) ta có nghiệm của hệ phương trình là:
2 3, 2 3x b a y a b= − = −
Bài12: Giải bất phương trình :
1 1x x x+ − − ≤
Giải :
Điều kiện :
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:12

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
1 0
1 1
1 0
x
x
x

t t
c c
π π
⇔ + − − ≥
os( )[ os( ) 1] 0
2 4 2 4
t t
c c
π π
⇔ + − − ≥
os( ) 0
2 4
t
c
π
⇔ + ≤
2 2 4
t
π π
π
⇔ ≤ + ≤
3
2 2
t
π π
⇔ ≤ ≤
1 cos 0t⇔ − ≤ ≤
1 0x⇔ − ≤ ≤
vậy tập nghiệm của bất phương trình là s
[ ]

sin sin
1
cos cos
1 1
sin sin cos 2sin sin 1 0 sin 1 tan
2
3
t t
t t
t t t t t t t
⇔ ≥ −
−
⇔ ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≥

3tan3 −≥⇔ t
⇒
3−≥x
Vậy nghiệm của bất phương trình
)
3;s

= − +∞

.
Bài 14 : Giải bất phương trình với
0a ≠
2
2 2
2 2
2

a t
t a
≤ +2
1 sin 2cos tt⇔ ≤ +
2
2sin t - sint -1 0⇔ ≤
1
sin 1
2
t
−
⇔ ≤ ≤
1
tan
3
t
−
⇔ ≥
3
a
x
−
⇔ ≥
Vậy nghiệm của bất phương trình là
3
a
x

t
2)
4
sin(2 ≤+
π
t
.
Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m
2)
4
sin(2 =+≤
π
tMax
Bài 16:Cho
x y≥
chứng minh rằng

2 2 2 2
x y x y x x y x x y+ + − = + − + − −
( 1 )
Giải
-Nếu x = 0 thì ( 1 ) luôn đúng ,
-Nếu x
≠
0 ta chia hai vế của (1 ) cho
x
ta được

2 2
1 1 1 1 ( ) 1 1 ( )

(3)
Vậy (3) luôn đúng vì vế trái bằng vế phải và bằng hai.
Bài 17: Chứng minh rằng :
Nếu x
2
+ y
2
= 1 thì
2≤+ yx
.
(Bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10 Nâng cao_ NXB Giáo dục).
Giải:
Vì x
2
+ y
2
= 1, nên ta đặt:



=
=
ty
tx
sin
cos
. Khi đó, ta có:
yx +
=
2)

< y
1
≤ y
2
≤ y
3
≤ y
4
<
2
π
< y
5
= π + y
1
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:15

y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
Các điểm y
1

Giả sử 0 ≤ y
2
– y
1
≤
4
π
. Thế thì:
0 ≤ tg (y
2
– y
1
) ≤ 1 ⇔ 0 ≤
ab1
ab
tgytgy1
tgytgy
12
12
+
−
=
+
−
≤ 1
Đặt x = b, y = a ta được điều cần chứng minh.
Bài 19 : Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:
2
1
)b1)(a1(

=
++
−+
= cos
2
α cos
2
β .








βα
βα
−
βα
β+α
coscos
sinsin
1.
coscos
)sin(
= sin (α + β) . cos (α + β) =
2
1
sin (2α + 2β)

và bất đẳng thức (1) được viết thành:
(1 + cos t)
n
+ (1 – cos t)
n
< 2
n
(2)

Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:16

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
Thay 1 + cos t = 2cos
2
2
t
và 1 – cost = 2sin
2
2
t
vào (2) ta được
2
n








n
2
2
t
cos






< cos
2
2
t
∀n > 1. Tương tự ta có:
sin
2n
2
t
< sin
2
2
t
∀n > 1. Do đó
2
n




Vậy bất đẳng thức (3), tức là bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Bài 21 : Chứng minh rằng:
31a
2
+−
≤ 2a

Giải:
Điều kiện: a
2
– 1 ≥ 0 ⇔ a ≥ 1.
Đặt a =
αcos
1
, với α ∈ [0 ;
2
π
).
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:

α
≤+α⇔
α
≤+−
α cos
2
3tg
cos
2
31

0
≠
a
,
( )
)(8
44
4
baba +≤+
⇔
)1(81
4
4
4
a
b
a
b
+≤






+
, đặt




4
44
≥+−+ tttt
.
Thật vậy, ta có:
( )
02sin24cos
2
5
2
9
sincos)sin(cos8
4
44
≥−+=+−+ xxtttt
, (hiển
nhiên) vì
14cos −≥t
và
22sin2 −≥− t
.
B ài 23 : Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
xxA −+−= 41
.
Giải:
ĐK:
41 ≤≤ x
Vì
3)4()1(
22

2
0
π
≤≤ t
nên
6
4
sin631
4
sin
2
2
≤






+≤⇒≤






+≤
ππ
tt
Vậy:

( ) 1
2
x x
y y
x
y
− −
+
Đặt
tan
2
x
y
α
=
với
( ; )
2 2
π π
α
∈ −
khi đó
P =
2 2
2
tan (tan 2)
2( os2 sin 2 ) 2
tan 1
c
α α

8
π
α
=
thì p
2 2 2= +
Vậy
Giá trị nhỏ nhất min
2 2 2P = −
khi
2 2
2
2 2
x
y
−
=
+
Giá trị lớn nhất max P =
2 2 2+
khi
2 2 2
2
2 2 2
x
y
+
=
−
Bài 25: cho


=

Theo bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có
2 2 2 2 2
( ) ( )( ) 16.25xu yv x y u v+ ≤ + + =
20xu yv⇒ + ≤
mà
20( )xu yv gt+ ≥
Nên xu + yv =20
20cos . os 20sin .sin 20
os( ) 1 2 ( )
c
c k k z
α β α β
α β α β π
⇔ + =
⇔ − = ⇔ − = ∈
Từ đó x + v =
4cos 5sin 4cos 5sin
α α α α
+ = +
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:19

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .

41 os( )c
α ϕ
= −
với

, (ĐH Bách Khoa
TP.HCM_2001)
Bài 2: Định m để phương trình sau có nghiệm:
1/
( )( )
mxxxx =+−−++− 2222
2/
mxxxx ++−=−+ 99
2
(ĐH Y_ Dược TP.HCM_1997)
Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau:
1/
( )
( )
( )
( )





+−=−+
+−=−+
21log131log
21log131log
2
3
2
2
2

2
= 1. Chứng minh
16 (x
5
+ y
5
) – 20 (x
3
+ y
3
) + 5(x + y) ≤
2
Bài 5: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh
2
33
z1
z
y1
y
x1
x
222
≥
−
+
−
+
−
Phần thứ 3: KẾT LUẬN
Khi giải các bài toán về “phương trình,bất phương trình, hệ phương trình,

TL: 28,6%
12b5 42
3 HS
TL: 7,1%
8 HS
TL: 19,1%
17 HS
TL: 40,5%
14 HS
TL: 33,3%
Trước tác động hai lớp tương đương nhau về tư duy cũng như kết quả học
tập.
Sau tác tác động: Kết quả khảo sát về bài kiểm tra trên hai lớp như sau:
Lớp Tổng số Giỏi Khá TB Yếu - Kém
12B4
(ĐC)
43
5 HS
TL: 11,6%
11 HS
TL: 25,6%
18 HS
TL: 41,8%
9 HS
TL: 21%
12B5
(TN)
43
13 HS
TL: 30,2%

phân tích kĩ các dạng bài tập .
Đối với học sinh: Để làm tốt bài toán phần này cần đọc và phân tích kĩ
đề bài và vận dung phương pháp đúng, đồng thời nắm vững công thức và hiểu
rõ các công thức, và các dạng bài tập.
Qua đề tài này tôi mong rằng nhà trường đầu tư nhiều hơn nữa những
đầu sách tham khảo về bộ môn Toán cung cấp cho thư viện của trường, tạo
điều kiện cho các em tham khảo để nâng cao thành tích học tập của các em về
bộ môn toán
Chưprông,Ngày 06 tháng 03 Năm 2013.
Người viết sáng kiến kinh nghiệm
Trần Đình Hữu
Giáo viên th ực hiện : Trần Đình Hữu Trang:23

Sáng kiến kinh nghiệm : Ứng dụng lượng giác trong đại số .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số 10-nâng cao- NXB Giáo dục năm 2006
(Đoàn Quỳnh- Nguyễn Huy – Nguyễn xuân Liêm- Đặng Hùng Thắng)
2 . Sách bài tập Đại số 10-nâng cao- NXB Giáo dục năm 2006
(Đoàn Quỳnh- Nguyễn Huy – Nguyễn xuân Liêm- Đặng Hùng Thắng
3. Học và ôn tập toán Lượng giác 11- NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm
2007
(Lê Bích Ngọc- Lê Hồng Đức )
4.Học và ôn tập toán Đại số và Giải tích 11- NXB Đại học quốc gia Hà Nội
năm 2007
( Lê Bích Ngọc- Lê Hồng Đức )
5. Chuyên đề đại số ôn thi đại học NXB Đại học quốc gia Hà Nội năm 1994
(Lê Quang Ánh-Nguyễn Thành Dũng-Trần Thái Hùng)
6.Tuyển chọn 400 bài tập toán 12 NXB Đại học quốc gia thành phố HỒ CHÍ
MINH
(Đậu thế Cấp – Nguyễn văn lộc)