Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Bài giảng số 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b
Tính chất 1: Hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b được gọi là:
i) Đồng biến nếu
'( ) 0 ( ; )f x x a b  

ii) Nghịch biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b  
Tính chất 2: Hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b được gọi là:
i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b   , và ( ) 0f x  tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; )a b
ii) Nghịch biến nếu
'( ) 0 ( ; )f x x a b  
và
( ) 0f x 
tại hữu hạn điểm thuộc khoảng
( ; )a b

Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường dùng tính chất 2 để
áp dụng.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( )y f x
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm
Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
2 3
3sin cos
2
x
y x x

   trên khoảng 0( , ).


Giải
Tập xác định: .D R

Ta có
' 3cos sin 1y x x  
, khi đó phương trình

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
' 0 sin 3cos 1 sin( ) sin
3 6
2
2
7
2
6
y x x x

(0; )
2

.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
Phương pháp 1:
Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng ( )f x m
Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
 


đồng biến với mọi x > 3.
Giải:
Tập xác định:
 
1\D R
Khi đó, ta có
 
2
2
2 4 3
1


Xét hàm số
2
2 4 3( )f x x x   trên miền x > 3, ta có 4 4 0 3'( ) .f x x x    
Vậy f(x) là hàm số đồng biến với
3x 
suy ra 3 9( ) ( )f x f  , vậy để
2
2 4 3 3x x m x     thì
3 9( ) .m f 
Phương pháp 2:

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet
Ví dụ 4: Tim m để hàm số
3 2
3 (4)   y x x mx m là nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
Giải:
Tập xác định:
.D R

Ta có
2
3 6'y x x m  
. Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng bằng 1 thì
phương trình:


Ta có
2 2
3 2 2 7 7' ( )y x ax a a     . Điều kiện để hàm số đồng biến trên

2;

 

là


2 2
3 2 2 7 7 0 2

         

' ( ) (*) ;y x ax a a x

Ta có
2
' 7 21 21 0a a a     
Gọi
1 2 2 1
, ( )x x x x là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là
1 2
( ; ] [ ; )x x    . Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng

2

 

5
1
5
2
1
2 3 5 0
2
a
x x
x x
theo viet
x x x x x x
a a a
a
a
a
a
a a



 

 

 
 
  
      
 

tan , (0; )
3 2
x
x x x

   

Giải:
Xét hàm số
3
( ) tan ,
3
x
f x x x  
ta có
2 2 2
2
1
'( ) 1 tan
cos
f x x x x
x
    
Dễ thấy tan (0; )
2
x x x

   nên '( ) 0 (0; )
2
f x x

Xét hàm số
2
( ) cos 2 ( ).
2
x
x
f x x e x x R       Ta có

'
( ) sin 1
x
f x x e x     và
''
( ) cos 1 1 cos 0,
x x
f x x e x e x R         

Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Hotline: 0987.708.400 –

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Vậy
'
( ) 0f x  có nghiệm duy nhất 0.x 
Bảng biến thiên

x


0

Bài 3: Cho hàm số
4mx
y
x m




a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )

c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1)

Bài 4: Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x      . Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R.
b. Tăng trên khoảng (2; )
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi
2
0

 x ta có

xxx  tan
3
1
sin