380 Vũ Đức Trường, Nguyễn Tăng Cường
VCM2012
Xác định điều kiện giới nội từng phần của
một lớp hệ thống động học phi tuyến đa cấu trúc
Considering the Conditions of Partial Boundedness
for a Class of Multistructural Nonlinear Dynamic System
Vũ Đức Trường
(1)
, Nguyễn Tăng Cường
(2)
Học viện KTQS
e-Mail:
(1)
,
(2)

Tóm tắt
Bài báo này sẽ đề cập đến một số điều kiện giới nội làm cơ sở để phát triển thuật toán điều khiển thích nghi
dùng mạng nơron phản hồi đầy đủ trạng thái cho bộ điều chỉnh điểm đặt thích nghi của một lớp các hệ thống
phi tuyến. Lớp phi tuyến được xem xét là lớp phi tuyến không âm hoặc được phân chia khối. Cách tiếp cận để
xây dựng các điều kiện giới nội dựa trên phương pháp Lyapunov bảo đảm đường giới nội tới hạn của tín hiệu
sai lệch phù hợp với các trạng thái vật lý của hệ thống.
Abstract:
This paper refers to a number of boundedness conditions as a basic for developing a full-state feedback
neural adaptive control framework for adaptive set-point regulator of a class of nonlinear systems.The class of
nonlinear systems considered are nonnegative and compartmental systems. The proposed framework is
Lyapunov- based and guarantees ultimate boundedness of error signals corresponding to physical system
states. Ký hiệu

nx n
A R

là cơ bản không âm và
mx m
ˆ
B R

là
không âm sao cho
ˆ
rank(B ) m

, và hệ thống
động học phi tuyến được mô tả bởi phương trình
(2) dưới đây:




x(t) f t,x(t) G x(t)u(t) ,
 


0 0
x(t ) x,t t
 
(2)
trong đó
n m

về giới nội từng phần và giới nội tới hạn từng phần
đã được đề xuất và chứng minh ở [1,2,3,4,5]. Đây
là cơ cở để xây dựng các thuật toán điều khiển
thích nghi một cấu trúc dùng mạng nơ ron. Tuy
nhiên hiện nay còn để ngỏ chưa có công trình
nghiên cứu về điều kiện giới nội cho nhiều ứng
dụng thực tế có mô hình hệ thống là hệ đa cấu trúc
có thể chứa thành phần bất định chưa biết. Việc
xác định điều kiện giới nội từng phần và giới nội
tới hạn từng phần cho một lớp hệ thống động học
đa cấu trúc cũng cần thiết phải đặt ra. Đây là cơ sở
để phát triển thuật toán điều khiển thích nghi đa
cấu trúc dùng mạng nơ ron.
Trong bài báo này, các lý thuyết đề xuất cho hệ đa
cấu trúc được xây dựng dựa trên phương pháp
Lyapunov bảo đảm đường giới nội tới hạn của sai
số tín hiệu phù hợp với các trạng thái của hệ thống
vật lý cũng như duy trì phần không âm của không
gian trạng thái với các điều kiện ban đầu là cơ bản
không âm.
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 381

Mã bài: 89
1.2. Một số vấn đề cơ sở cho hệ thống động học
đa cấu trúc
Trong phần này thống nhất các kí hiệu và đưa ra
một số định nghĩa, định lý cơ sở tập trung vào các
hệ thống tuyến tính, phi tuyến không âm, đây là
những nội dung cần thiết cho phát triển các kết quả
chính của bài báo.


và
n
R

kí hiệu các thành phần không âm hoặc dương
của
n
R
; tức là nếu
n
x R

thì tương đương
n
x R


và
n
x R


, tương ứng
x 0

và
x 0

. Cuối cùng kí hiệu

. Trong
quá trình hệ thống hoạt động xảy ra việc nhảy giữa
các cấu trúc trong các khoảng thời gian khác nhau
(xem H. 1). H. 1 Hệ thống hoạt động với việc nhảy cấu trúc
theo khoảng thời gian khác nhau
Định nghĩa 1: Xét
( )
T 0


. Một hàm thực
( ) ( ) m
u :[0,T ] R

 
,
1,s


là một hàm không
âm (hoặc là dương) nếu
( )
u (t) 0


(hoặc
( )

.
( )
A

là phân chia
khối nếu
( )
A

là cơ bản không âm và
n
( )
(i,j)
i 1
A 0, j 1, ,n

 


.
Tiếp theo xem xét một hệ thống điều khiển động
học tuyến tính :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x (t) A x (t) B u (t),
 
    
( ) ( )


là cơ bản không âm và
( ) mx m
ˆ
B R


là không âm sao cho
( )
ˆ
rank(B ) m


. Định lý sau đây chỉ ra rằng các
hệ thống tuyến tính không âm ổn định sẽ tiệm cận
các động học không với
( ) ( ) ( )
1 m
ˆ
x [x , ,x ]
  

là
đầu ra. Để minh chứng cho kết quả này, xét
Spec(
( )
A

) là kí hiệu phổ của
( )

 

 
(5)
trong đó
( ) mx m
11
A R


là cơ bản không âm,
( ) mx(n m)
12
A R



là không âm,
( ) (n m) xm
21
A R



là
không âm và
( ) (n m)x(n m)
22
A R
 

,
( ) m n
K R



sao cho
( ) ( ) ( )
A B K

  
là cơ bản không âm và ổn định
tiệm cận nếu và chỉ nếu
( )
22
A


là ổn định tiệm cận
Chứng minh:
Trước tiên xét
( )
K

có dạng
( ) ( ) ( )
1 2
,K K K
 


T T
T
T T
A B K A
A B K
A B K A
 

 
 

 
 
   
  
   

382 Vũ Đức Trường, Nguyễn Tăng Cường
VCM2012
Giả thiết
( ) ( ) ( )
A B K

  
là cơ bản không âm và ổn
định tiệm cận và giả sử
( )
22
A


   

A B K p với bất kỳ véctơ
( )
1
m
p R



. Bởi vậy không tồn tại véc tơ dương
( ) ( ) T ( ) T
1 2
p p ,p
 

 
  
sao cho
( ) ( ) ( ) T ( )
(A B K ) .p 0

   

và do vậy theo [2,
Định lý 3.1]
( ) ( ) ( )
A B K

  

( )
K B A

 
  
, trong đó
( )
s
A

là cơ bản
không âm và ổn định tiệm cận
( ) ( ) ( )
spec(A B K ) C

   
  

( ) ( )
s 22
spec(A ) spec(A ) C

    
 
và do vậy
( ) ( ) ( )
A B K

  
là cơ bản không âm và ổn định

 
 
   
nếu
( )
i
f (x) 0



với
i 1,m
  và
( ) n
T
x R


sao cho
( )
i
x 0,i 1,m
 

trong đó
( )
i
x

ký hiệu các thành


.
Trong bài báo này, xem xét hệ thống động học phi
tuyến biến đổi theo thời gian:




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x (t) f t,x (t) G x (t)u (t) ,
 
     


( ) ( )
0 0 0
x (t ) x ,t t
 
 
, (6)
trong đó:
( ) n ( ) m
x (t) R ,t 0,u (t) R ,t 0,
   
 

( ) n n



Định nghĩa 4: Hệ thống động phi tuyến đa cấu
trúc cho bởi (6) là không âm nếu với mọi
( )
(0)
n
x R



và
( )
u (t) 0,t 0



nghiệm
( )
x (t),t 0


của (6) là không âm.
2. Điều kiện giới nội từng phần và giới nội
tới hạn từng phần cho hệ thống động
học đa cấu trúc
Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện
giới nội từng phần và giới nội tới hạn từng phần
dựa trên lý thuyết Lyapunov. Các điều kiện này sẽ
cho phép phát triển đường giới nội tới hạn cho bộ

n
( )
1
x D,D R
 

, với
1,s


là tập
mở sao cho
2 2 1
n n n
( ) ( )
2 1
0 D, x R ,f :D R R
   
 
sao cho
với mọi
2
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2
x R ,f (0,x ) 0,f (.,x )
 
    
là
lipchitz cục bộ theo

,
0
x x

  

là chu kỳ lớn nhất tồn tại
nghiệm
10 20
( ) ( ) ( )
1 2 x ,x
x (t),x (t), t I
  
của (7), (8).
Lưu ý rằng với giả thiết ở phần trước nghiệm
( ) ( )
1 2
x (t),x (t)
 
của (7), (8) tồn tại và duy nhất trên
10 20
( )
x ,x
I

.
Định nghĩa 5:
Hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội
với
( )

tức là


( )
1
x t ,t 0
  

. Hệ thống
động học phi tuyến (7), (8) là giới nội toàn cục với
( )
1
x

đơn điệu theo
( )
20
x

nếu với mỗi


0,
 
tồn tại


0
    
sao cho

0


sao cho với mỗi
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 383

Mã bài: 89


0,
 
tồn tại


( ) ( )
T T , 0
   
 
sao cho
( )
10
x
 

tức là


( ) ( )
1
x t ,t T

sao cho
( )
10
x
 

tức là


( ) ( )
1
x t ,t T
  
 
.
Lưu ý rằng nếu một hệ thống động học phi tuyến
là giới nội toàn cục với
( )
1
x

đơn điệu theo
( )
20
x

thì
tồn tại
0


giới nội toàn cục với
( )
1
x

đơn điệu theo
( )
20
x

.
Các kết quả sau đưa ra các định lý giống như lý
thuyết Lyapunov về giới nội từng phần và giới nội
tới hạn từng phần.
Với các kết quả này định nghĩa






( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
V x ,x (V ) x ,x f x ,x

        


trong đó:


x

với bán kính

và
( ) ( )
B (x )

 
là đường bao của
( ) ( )
B (x )

 
.
Định lý 2: Xét hệ thống động học phi tuyến đa cấu
trúc (7), (8). Giả thiết tồn tại các hàm khả vi liên
tục
2
n( )
V :D R R
 

và lớp hàm




( ) ( )
. , .

   
    
2
n
( )
2
x R


(10)
Trong đó
0


sao cho
 
( ) 1
( )
( )
B (0) D

 



với
( )

trong đó

 










( ) 1 ( )
( ) 1
( ) , ,
( ) , 0,




      


 


    





là một lớp hàm
K

thì
hệ thống mô tả bởi (7), (8) là giới nội toàn cục với
( )
1
x

đơn điệu theo
( )
20
x

và với mỗi
1
n( ) ( )
10 1
x R , x (t) ,t 0
   
 
trong đó

xác
định từ (11),
( )
10
x

1
x (t) ( ) ( ) ,
 
        
   

t 0


Đồng thời nếu tồn tại
( )
T


>0 sao cho
( ) ( )
1
x (T )
 
 
thì theo tính liên tục của
( )
1
x (.)


tồn tại
( )
T
 

1 2
V x ( ),x ( ) ( )
       
   
tức là:
( ) ( ) 1
1
x ( ) ( ) ( )

   
 

Tiếp theo xét


,
  
 và coi
( ) ( )
10
x B (0)


 
và
với mỗi
ˆ
t 0

sao cho




( ) ( ) 1 ( )
1
ˆ
x (t) ( ) ,t 0,t

 
    
 
  

Tiếp đến nếu tồn tại
( )
T 0


sao cho
( )
1
x (t)
 

thì như chứng minh trường hợp đầu
tiên ở phần trước


( ) ( ) 1 ( )
1



( )
.


là một lớp hàm
K

thì
( )
(.)


cũng là lớp hàm
K

, do vậy
  
. Do đó
hệ thống động học phi tuyến đa cấu trúc (7), (8) là
giới nội toàn cục với
( )
1
x

đơn điệu theo
( )
20
x

  
  
và




( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1
V x ,x W x ,
 
    


2
n
( ) ( ) ( )
1 1 2
x D, x ,x R
   
  
(12)
Trong đó:
0


sao cho
 
( ) 1
( )


. Thêm nữa,


( ) ( ) 1 ( )
t 1
limsup x (t) ( ) ( )


   
  
. Nếu
n
D R

và
( )
(.)


là một lớp hàm
K

thì hệ
thống động học (7), (8) là giới nội tới hạn toàn cục
với
( )
1
x




,
  
 trong đó:
 
 
 


( ) 1 ( )
( )
( ) r
sup r 0:B 0 D

 
  
 

 và coi
( ) ( )
10
x B (0)


 
và
( )
10
x

( ) ( ) ( )
1
x (t) O B 0 \ B 0 ,


 
  


 
  

t 0


Khi
O
là tập đóng và
( )
W (.)

là liên tục và
( ) ( )
1
W ( ) 0

 
x ,
( ) ( ) 1
1

t 0

(13)
Tức là:




( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 10
x (t) x kt ( ) kt,
       
    

t 0

(14)
Xét


( )
t k
  

, theo đó


( ( )
1
x (t) 0


( ) 1
( ) ( )

  

,
( )
t T


, điều này chứng tỏ rằng hệ
thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội tới
hạn với
( )
1
x

đơn điệu theo
( )
20
x

với đường biên tới
hạn
( ) 1
( ) ( )

   


cũng là lớp hàm K


  

Kết luận: Hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là
giới nội tới hạn toàn cục
Kết quả tiếp theo về giới nội tới hạn của các hệ
thống có mối liên hệ với nhau là cần thiết cho việc
phát triển các lý thuyết điều khiển nơ ron thích
nghi.
Mệnh đề 1: Xét hệ thống động học phi tuyến đa
cấu trúc (7), (8) liên hệ lẫn nhau.
Nếu (8) là ổn định theo trạng thái đầu vào với
( )
1
x


là đầu vào và (7), (8) là giới nội tới hạn với
( )
1
x

đơn điệu theo
( )
20
x

thì nghiệm

( ) ( )
1
x (t) ,t T
  
 
. Thêm nữa (8) là ổn định
theo theo đầu vào
( )
1
x

, khi đó:
( )
2
x (t)

là hữu hạn
Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 385

Mã bài: 89
bởi vậy tồn tại một lớp hàm KL
( )
(.,.)


và lớp
hàm
( )
K (.)


      
   



 
( ) ( ) ( ) ( )
x (t) ,0 ,t T
     
   
(15)
Chứng tỏ
( ) ( )
1 2
x (t),x (t),t 0

 
trong đó: (7), (8) là
giới nội tới hạn

3. Kết luận
Bài báo này đưa ra các điều kiện giới nội từng
phần và giới nội tới hạn từng phần và chứng minh
cho một lớp hệ thống động học đa cấu trúc phục
vụ cho việc phát triển thuật toán nơ ron thích nghi
được áp dụng trong các ứng dụng sử dụng mạng
nơ ron. Sử dụng cách tiếp cận tương tự như
phương pháp Lyapunov, các lý thuyết đưa ra trong
bài báo bảo đảm đường giới nội tới hạn của sai số
tín hiệu phù hợp với các trạng thái vật lý của hệ

KTQS. Tốt nghiệp kỹ sư điều
khiển tên lửa phòng không và
tiến sĩ tại Minsk – Liên Xô,
và học tập nâng cao tại đại
học kỹ thuật Bauman CHLB
Nga. Viết, công bố trên 80
công trình khoa học về về tự
động hóa, kỹ thuật máy tính, xử lý tín hiệu, điều
khiển thiết bị bay và điều khiển công nghiệp.

Vũ Đức Trường, nhận bằng
kỹ sư Tự động hóa tại ĐHBK
Hà nội năm 2003, Thạc sỹ Tự
động hóa tại Học viện KTQS
năm 2009. Tham gia giảng
dạy tại Học viện KTQS từ
năm 2003 đến nay. Hiện là
Giảng viên Bộ môn Tự động
và KT Tính, Khoa Kỹ thuật
Điều khiển, Học viện KTQS.