Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng
Nguyªn hµm
1. BẢNG NGUN HÀM
STT Nguyên hàm các hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng (a
≠
0)
1
; adx ax C a= + ∈
∫
¡
2
1
1
( 1)dx C
x
x
+
+
= + ≠ −
∫
α
α
α
α
( )
( )
1
1
1
1
ax b

C
x x
α α−
= − +
α −
∫
( 0)x ≠
( )
( )
( )
1
1
1 1dx
C
a
ax b
ax b
α
α
α
−
−
= − +
+
+
∫
thường gặp với
2=
α
→

ax b C
a
ax b
= + +
+
∫
5
x x
e dx e C= +
∫
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
6
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
1
ax b ax b
k dx k C

x dx x C
x
= + = +
∫ ∫
( )
( )
2
1dx
tg ax b C
a
cos ax b
= + +
+
∫
10
( )
2
2
1
dx
cot x dx cot gx C
sin x
= + = − +
∫ ∫
( )
( )
2
1dx
cotg ax b C
a

= +
∫
13
2
dx x
ln tan C
sin x
= +
∫
( )
1
2
dx ax b
ln tan C
sin ax b a
+
= +
+
∫
14
2 4
dx x
ln tan C
cos x
π
 
= + +
 ÷
 
∫

ln C
a a x
a x
+
= +
−
−
∫
1 ( ) ( ) 1
ln , ( )
( )( ) ( )( )
dx x b x a dx x a
C b a
x a x b a b x a x b a b x b
− − − −
= = + <
− − − − − − −
∫ ∫

1
Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng
16
( )
2 2
2 2
dx
ln x x a C
x a
= + + +
+

dx C
−
− −+= − +
∫
Cơng thức đổi biến số (ngun hàm của hàm số hợp):
( )
1
) ( )f ax b dx F ax b C
a
+ = + +
∫
Các cơng thức từ 13-17 cần nhớ để định hướng trước kết quả. Có nhiều cách giải nhưng đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm.
Chứng minh các công thức (13-17) :
13.
ln
sin 2
dx x
tg
x
=
∫
+C 14.
ln ( )
cos 2 4
dx x
tg
x
π
= +

⇒ = + = − +
= − + + = +
∫ ∫ ∫ ∫
14. Ta có :cosx= sin(x+
2
π
)=
2sin( )cos( )
2 4 2 4
x x
π π
+ + ⇒
kết quả
15.
2 2
1
ln
2
dx x a
x a a x a
−
=
− +
∫
+C
+ Ta có :
2 2
1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1
( )( ) 2 ( )( ) 2
x a x a

a x
 
− +
 
= + = − = +
 ÷  ÷
+ − + − −
   
−
∫ ∫ ∫ ∫
16.
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
= + ±
±
∫
+C
Đặt :

2
2
2 2
2
2
2
(1 )

ln
2
a
x x a+ ±
+C
C1 : Đaët:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
xdx
du
u x a
x a
dv dx
v x
x dx x a a dx
I x x a x x a
x a x a

=

 
= +
⇒
+
 
=

( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 x a
ln x x a c
x x a
′
′
+ +
 
+ + + =
 
+ +
=
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1
1
x x a x a x x a x a x a
+ +
 
= + = × =
 ÷
+ + + + + + +
 
3
Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng
II. CÁC DẠNG TỐN

a) (§¹o hµm cã d¹ng lnu). Ta cã :
(x 1) x x 1
(x) 1
(x+ x 1) 1
2 x 1 x 1 x 1
F ( ) .
x+ x 1 x+ x 1 x+ x 1 x+ x 1 x 1
b) Từ kết quả câu 1) ta suy ra F(x) là ngun hàm của
2
1
f(x)=
x 1+
.
Vậy
2
dx
x 1+
∫
=
2
ln x+ x 1 C+ +
.
VD3.
a)
3
dx
1
x
x −
∫

−
b)
( )
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x+ + − + 
 
∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3
1
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
2 2 2 2
16 16 5 3
x x d x x x c
   
 
= + − + + = + − × + +
 
 
∫
 
c)
( )
( )
( )
dx 1 2 1 1 1 1 2

−
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
3 4
2 3
sin cos
1 sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c= − − = − − +
∫ ∫
BÀI TẬP
4
Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
a)
2 2
sin cos
2sin cos
x x
dx
x x+
∫
Đs :
2 2
1
ln 2sin cos
2
x x C+ +
5

∫
Đs :
2 x+1+C
f) ( x+sin2x)dx
∫
Đs :
2 1
x x- cos2x
3 2
g)
dx
2 sinx cosx+ −
∫
(ĐHBK Hà Nội - 2000) Đs :
π
 
− + +
 ÷
 
1 x
cot C
2 8
2
π π
   
+ +
 ÷  ÷
   
∫
h) tan x .cot x dx

qua điểm M(
6
π
; 0).
Giaûi
Ta có : F(x) =
cotx + C−
.
Theo đề bài :
F( ) 0 cot C 0 C 3 F(x) 3 cot x
6 6
π π
= ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = −
.
VD2. Tìm một nguyên hàm G(x) của hàm số f(x), biết :
f(x)=cos3xcosxdx vµ G 1
4
π
 
=
 ÷
 
.
Giaûi
Áp dụng công thức:
[ ]
1
cosa.cosb= cos(a+b)+cos(a-b)
2
, ta có:

BÀI TẬP
Tìm ngun hàm F(x) của hàm số f(x) :
3 2
2
x +3x +3x-1 1
a) f(x)= biÕt r»ng F(1)=
x +2x+1 3
(TN THPT 2002-2003)
π
 
 ÷
 
b) f(x)=sin5xsin3x biÕt r»ng F =-1.
4
3. TÌM NGUN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức sao cho các biểu thức đó dễ tìm
ngun hàm. Việc phân tích có thể gặp khó khăn. Hãy xem qua ví dụ minh họa rồi rút ra cho mình
một ý tưởng riêng.
DẠNG :
I=
( )
;( 0)x ax b dx a
α
+ ≠
∫
( )
2
,( 0)
x dx
K a

2002 2002 2002 2002 2003
(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x x x x⇒ − − = − − − = − − −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2002 2003 2002 2003
2003 2004
1 1 1 (1 ) 1
1 1
1 1
2003 2004
I x dx x dx x d x x dx
x x C
⇒ = − − − = − − − + −
= − − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
Cách 2. Đổi biến số :
Đặt t=1-x
6
Ngun hàm – Tích phân & Ứng dụng
( ) ( )
2002 2002 2003
2003 2004
2003 2004
1
(1 )
1 1 1 1
1 1
2003 2004 2003 2004
x t dx dt
I t t dt t dt t dt

− + − − − − − −
 
 
− − −
⇒ = − = − − − = +
− − −
∫ ∫
C 2 :
( )
2
2
1 3
ln
4 3 2 1
2 1
dx dx x
K C
x x x
x
−
= = = +
− + −
− −
∫ ∫
VD3 : Tính J =
( )
3
1 3
xdx
x+

2 3
2 3
1 2
1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 1
(1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
9 (1 3 ) 9 (1 3 ) 9 9
1 1
(1 3 ) (1 3 )
9 18
d x d x
I x d x x d x
x x
x x C
− −
− −
+ +
⇒ = − = + + − + +
+ +
= − + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
VD4 : Tính D=
7 5
dx
x x+
∫
Giải. Sử dụng đồng nhất thức : 1= x
2
+1-x
2
( )

⇒ = − + − = − + + − + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
BÀI TẬP
1. Tính J =
( )
2005
1x x dx+
∫
. HD : Xem lại Ví dụ 2
2. Tính K=
2
2
dx
x x− −
∫
. HD : Xem lại Ví dụ 3. Đs :
1 2
ln
3 1
x
K C
x
−
= +
+
3. Tính H =
4 2
4 3
dx

( )
2
39
1
x dx
x−
∫
HD : x
2
= [(1-x)-1]
2
=(1-x)
2
-2(1-x)+1
6. Tính C =
5 3
dx
x x+
∫
HD : Xem lại Ví dụ 4. Đs :
2
2
1 1 1
ln ln 1
2 2
C x x C
x
= − − + + +
7. Tính E =
( )

∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
• Đặt
dttdxtx )()(
'
ϕϕ
=⇒=
•
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
Một số dấu hiệu nhận biết và cách đặt:

−
+
hoặc
xa
xa
+
−

x = a.cos2t
))(( xbax
−−
x = a + (b
−
a)sin
2
t
VD1. Tìm họ nguyên hàm :
( )
3
2
1
1 x
dx
I
−
=
∫
Đặt
sinx t
=

Vậy :
2
1
x
I C
x
= +
−
.
VD2. Tìm nguyên hàm :
( )
3
2
1 x
dx
I
+
=
∫
. Đặt
tanx t=
,
π π
t - ;
2 2
 
 ÷
 
∈
;

Vì
x = tant
và
2
tant
sint = tant.cost =
1+ tan t
2
x
sint =
1+ x
⇒
Do đó :
2
x
I = +C
1+ x
.
BÀI TẬP
1. Tìm nguyên hàm :
2
1
dx
I
x
=
−
∫
2. Tìm nguyên hàm :
2

=
dttfdxxuxuf )()(')].([
Một số dấu hiệu nhận biết và cách đặt:
Dấu hiệu Cách đặt
Hàm có mẫu Nói chung có thể đặt t là mẫu số
( )
1
lnf x dx
x
∫
Đặt
lnt x=
( )
sin cosf x xdx
∫
Đặt
=
sint x
( )
cos sinf x xdx
∫
Đặt
= cost x
( )
2
1
tan
cos
f x dx
x

≠
( )
, ( )f x x dx
ϕ
∫
Đặt
( )t x
ϕ
=
( ) ( )
1
dx
x a x b+ +
∫
 Nếu
0x a+ >
và
0x b+ >
đặt
t x a x b= + + +
 Nếu
0x a+ <
và
0x b+ <
đặt
t x a x b= − − + − −
VD1. Tìm họ nguyên hàm :
sin
dx
I

1 2
1
dt dt x
I t C C
t
t t
t
= = = + = +
∫ ∫
+
+
VD3. Tìm nguyên hàm
2
1
x dx
I
x
=
∫
+
Đặt
2
1 1u x x u
= + ⇒ = −
và
2dx udu=
( )
( )
2
2

I x x dx= +
∫
3. Tìm nguyên hàm :
( )
( )
( )
( )
1 1
1
1
x
x x
x dx e x dx
I
x
xe xe
x xe
+ +
= =
∫ ∫
+
+
4. Tìm nguyên hàm :
( ) ( )
1 2
dx
I
x x
=
∫

=


=

( )sinp x axdx
∫
( )
sin
u p x
dv axdx
=


=

( )cosp x axdx
∫
( )
cos
u p x
dv axdx
=


=

LN
( )lnp x axdx
∫

dx
x
xxx
I
∫
+
++
=
Gi¶i: Ta viÕt l¹i I díi d¹ng:
.
1
)1ln(
2
2
dx
x
x
xxI
∫
+
++=
§Æt:
(
)







xv
x
dx
dx
xx
x
x
du
dx
x
x
dv
xxu
11
Nguyờn hm Tớch phõn & ng dng
Khi đó:
(
)
(
)
2 2 2 2
1ln 1 1ln 1 .I x x x dx x x x x C
= + + + = + + + +

VD2. Tính nguyên hàm I =
cos
x
e xdx



Đặt
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x

= =


= = I
1
=
sin cos cos
x x x
e xdx uv vdu e x xe dx= = +

Thay I
1
vào I ta đợc 2I = e
x
(sinx + cosx) + C
Vậy I =
1
(sin cos )
2
x
e x x C+ +

sin
ax
e bxdx

)
VD. Tớnh
3 2
( 2 3)sinI x x x xdx= +

Gii:
3 2 3 2 3 2
( 2 3)sin (a )cos (a' ' ' ')sinI x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C= + = + + + + + + + +

(1)
Ly o hm hai v ca (1):
3 2 3 2
3 2
( 2 3)sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos
[ (3 ' ) (2 ' ) ' ]sin (2)
x x x x a x a b x b c x c d x
ax a b x b c x c d x
+ = + + + + + +
+ +
ng nht ng thc trờn ta c h :
' 0
3 ' 0
2 ' 0
' 0
a
a b


+ =

Gii h trờn tỡm c :
1; 1; 4; 1; ' 0; ' 3; ' 2; ' 4a b c d a b c d= = = = = = = =
Vy
3 2 2
( 4 1)cos (3 2 4)sin I x x x x x x x C= + + + + + +
.
12
Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
BÀI TẬP
Tìm các nguyên hàm sau đây:
1.
( )
2
ln cos
cos
x
I dx
x
=
∫
Đs :
( )
ln cos tan tanI x x x x C= + − +
2.
( )
os lnI c x dx=
∫

sin
sin cos
x
dx
x x+
∫
. Khi ®ã ta cã:
I + J =
cos
sin cos
x
dx
x x+
∫
+
sin
sin cos
x
dx
x x+
∫
=
1
dx x c= +
∫
I – J =
cos
sin cos
x
dx

xx
x
I
∫
+
=
2
0
33
3
cossin
sin
π

Chọn
dx
xx
x
J
∫
+
=
2
0
33
3
cossin
cos
π


=
−
. Đs :
( )
1
( ) ln
2
x x
F x e e x C
−
= − + +
…………………
13
Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
……………………………………
TÍCH PHAÂN

= = −
∫
b
b
a
a
f x dx f x F b F a( ) ( ) ( ) ( )

I. Phương pháp đổi biến số:
Dạng 1:
Đặt x=u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ]
; α β

v(b)
v(b)
v(a)
v(a)
g(t)dt=G(t)
∫
* Kết luận:
b
v(b)
v(a)
a
f(x)dx=G(t)
∫
II. Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
b
b b
/ /
a a
a
u(x)v (x)dx= u(x)v(x) - v(x)u (x)dx
∫ ∫
14
Nguyờn hm Tớch phõn & ng dng
hay

b
b b
a a
a

2)
1 n 1 m
m m
n 1 n
1 2 n 1 2 n
2 2
1 2 n
1 2
A A B B
= + + + + +
(x+a )(x+b) x+a x+a x+b (x+b)
Tính A , A , , A , B , B , , B bằng ph ơng pháp hệ số bất định.
Q(x)=(x+a )(x+a ) (x+a )(x +px+q) (p -4q<0)
P(x)

(x+a )(x+a ) (x
3)
= +
1 n
2 2
n 1 n
2 2
1 1 2 2 i i
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
A A
Cx+D
= + + +

t 0
4



= = =

2 2
4 4 4
2 2 2 2 2
0 0 0
a(1+tan t)dt a(1+tan t)dt 1
I=
a tan t+a a (tan t+1) 4
dt
a a
15
Nguyờn hm Tớch phõn & ng dng
Bi toỏn 2:
b b
2
2 2
a a
dx (mx+n)dx
Tính tích phân dạng , (p -4q<0)
x +px+q x +px+q

Gii

ữ


2
Đặt x-1=tant, t - ; dx=(1+tan t)dt
2 2
i cn:
x 0 1
t -
4

0





= =

0 0
2
0
2
4
-
4 4
(1+tan t)dt
I= dt= t
tan t+1 4
.
0
2




= = =

= = =

2
4 4 4 4 4 4
2
0 0 0 0 0 0
4
0
(4tant-2)2(1+tan t)dt sintdt d(cost)
I= (2tant-1)dt=2 tantdt- dt=2 2
4tan t+4 cost 4 cost 4
1
2 ln cost 2 ln ln 2
4 4 4
2

b
a
P(x)
Tích phân các hàm hữu tỉ dx (P(x), Q(x) là các đa thức)
Q(x)
Bài toán 3.
Gii bng phng phỏp h s bt nh.
tớnh tớch phõn dng
n m

2A+B=1 B=-1
 
⇒
 
 
Từ đó ta thu được cách phân tích sau:
= = −
2
1 1 1 1
(x+1)(x+2) x+1 x+2
x +3x+2
 
⇒ − = + − = − − + = −
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
1 1 1 1 1 1
1 1
2 2
0 0
0 0 0 0 0 0
1 1 dx dx dx 1 1 dx dx 2
I= 2 - 2 2 4ln2+2ln3.
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2 x+1 x+2 3
(x+1) (x+2)
BÀI TẬP
∫
3
2

+
 ÷
 
1 1135
9ln2-3ln3 .
625 288
Dạng toán 2: Tích phân các hàm vô tỉ : có hai phương pháp
I. Phương pháp hữu tỉ hóa:
Dạng 1: Đối với tích phân dạng
n
ax+b
f x;
cx+d
 
 ÷
 ÷
 
∫
là hàm vô tỉ, ta hữu tỉ hóa bằng cách đặt
n
ax+b
t=
cx+d
Ví dụ 1: Tính tích phân
2
3
0
x+1
I= dx
3x+2

I= dt= (28 3 4)
3 3 5 2 10
 
+
+ = −
 ÷
 ÷
 
∫
Ví dụ 2. Tính tích phân
3
0
I= x x+1dx
∫
Giải.
+
2
§Æt t= x+1 t x+1 2tdt=dx⇒ = ⇒
và ta cũng có x=t
2
-1
+ Đổi cận:
x 0 3
t 1 2
17
Nguyên hàm – Tích phân & Ứng dụng
+
2
2 2
5 3

= (x+1) d(x+1)- (x+1) d(x+1)= (x+1) (x+1)
5 3 15
BÀI TẬP
1. Tính tích phân
5
4
5
3
x+1
I= dx
x-1
∫
. Đs :
− −
7
ln 2 ln3
12
2. Tính tích phân
2
0
sin2x+sinx
I= dx
1+3cosx
π
∫
(TSĐH Khối A-Năm 2005) Đs :
34
27
Để tính tích phân dạng
asin2x+bsinx

, ta có thể đặt t=
x
ae b+
.
4. Tính tích phân
0
3
-1
1- x+1
I= dx
1+ x+1
∫
Đs:
π199 3
I= +3ln2-
70 2
Dạng 2. Tích phân của hàm f(x) chứa các căn dạng
1 2 m
n n n
k
1 2 m
ax+b ax+b ax+b ax+b
, , , , ta ®Æt t= , trong ®ã k lµ béi sè chung nhá nhÊt cña n , n , , n .
cx+d cx+d cx+d cx+d
Dạng 3. Tính tích phân
f(x)dx
∫
với các dạng sau :
2
2 2

* §æi cËn: x=1 t= 3, x= 3 t=1
4-x t(-t)dt t
Ta cã: dx= =-
x
x 4-t
 
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1 1 1 1
2 2
1
2 2 2
3
3 3 3 3 3 3
-t -t +4-4 dt (2-t)+(2+t) 1 1
* I= dt= dt= dt-4 = t - dt=1- 3- + dt=
(2-t)(2+t) 2+t 2-t
4-t 4-t 4-t
 
 
1
3
=1- 3-(ln 2+t -ln 2-t ) =1- 3- ln3-ln(2+ 3)+ln(2- 3) =1- 3-ln3+2ln(2+ 3).

Ví dụ 2. Tính tích phân
1
2
0
dx

+ − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2
2
dt dt 1 dt
I=-
2
2t 2t+1
1 1 1 1
t 1 1 t
t t 2 4
1 1 1
§Æt t- t u (Xem d¹ng to¸n 4 trong phÇn nµy)
2 2 4
 
 
 ÷
− + +
 ÷
 ÷
 
⇒ ⇒
 ÷
   

+
⇒ + ⇒
⇒ = − = =
∫
1
1
2
2
1 2
1 2
2
2
1 2 1 1
§æi cËn: t=1 u= ; t= u=
2 2 2 2
1 du 1 1 1 1
I=- ln u - ln ln(1+ 2)
u
2 2 2 1+ 2 2
Dạng 4 . Tích phân dạng:
2
dx
(x+b) a+
∫

2
2 2
2
2
x+b dx dt

+ +
 
⇒ ⇒
2
2 2
2(x+2) dx dt
§Æt x+2+ (x+2) 6=t 1+ dx=dt
t
2 (x+2) 6 (x+2) 6
x=0 t=2+ 10; x=1 t=3+ 15
= = =
∫
3+ 15
3+ 15
2+ 10
2+ 10
dt 3+ 15
I= ln t ln(3+ 15)-ln(2+ 10) ln .
t
2+ 10
BÀI TẬP
1) Tính tích phân:
3
2
1
J= x 4dx+
∫
Đs :
−
+

∈
 
 
   
> ∈ ∪
÷ 
 
   
 
∈
÷

 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
* a -x ( 0) ®Æt x=asint, t - ;
2 2
a
* a -b x ®Æt x= sint, t - ; (hoÆc ®Æt t= a -b x )
b 2 2
a
* x -a ( 0) ®Æt x= , t 0; ;
cost 2 2
a
* b x -a ®Æt x= , t 0;
bcost 2
a
a

−
∫
a
2
2 2
0
dx
a) I= ( 0)
a x
a
+
∫
2 3
2
2 3
3
dx
b) L=
x x 4
Giải.
a) §Æt x=asint, t - ; , ta cã: dx=acostdt
2 2
a
§æi cËn: x=0 t=0; x= t=
2 6
π π
π
 
∈
 



ữ

2
óa
dt 2 3
Đặt x=2tant, t - ; , ta có: dx=2 . Đổi cận: x= t= ; x=2 3 t=
2 2 cos t 3 6 3


= = = =
+

2 3
3 3 3 3
2 2 2
2 3
6 6 6 6
3
dx 2dt 1 dt 1 dt 1 dt
I=
1 t t
2 2 sint 4
x x 4 cos t.2tant. 4tan t+4
cost.sint. sin .cos
cost 2 2








= = =
ữ

+

+
2
1 cos
1 1 2 3
6
ln3 ln tan . Tính tan
2 2 12 12
2 3
1+cos
6
1 1 2 3
Vậy I=- ln3 ln .
4 4
2 3
BI TP

a
2 2 2

3) M=
x x 1
s :

.
12

1
2 2
0
dx
4) N=
(1+3x )
s :


+
ữ
ữ

1 3
.
3 4
2 3
Dng toỏn 3: Tớch phõn cỏc hm lng giỏc
Phng phỏp:
1) Hm di du tớch phõn l hm l i vi cosx, t t = sinx
2) Hm di du tớch phõn l hm l i vi sinx, t t = cosx
3) Hm di du tớch phõn l hm chn i vi sinx, cosx, ta t t = tanx
21

1 1
6 6 2 2
cosxdx cosxdx dt 1 1 1
Ta có: I= + + dt=
sin x.cos x sin x.(1-sin x) t (1 t ) t t 1-t= + + = + +
ữ3
3
2
2
3
1
1
2
2
1 1 1 14 26
- - ln(1 )- ln 1- - ln(2 3) - ln 3.
3 2 3
9 3
t t
t t
BI TP
1)



6
4
sin x
3) K= dx
cos x



(H Giao thụng Vn ti-2000 ) s :
42 3 8
.
15
Phng phỏp :
2
2 2
2
x 2t 1- t
4) Tr ờng hợp tổng quát ta đặt t = tan và sử dụng nhóm công thức : sinx = ; cost = ;
2 1+t 1+t
2t
tanx = ta biến đổi về tích phân hàm h ữ u tỉ.
1- t
Vớ d: Tớnh tớch phõn:
2
0
dx
2+cosx


Gii





ữ= = = =

2
1
6 2
2
0 0 0
Đặt t= 3tanu, u - ; , ta có: dt= 3(1+tan u)du
2 2
Đổi cận: t=0 u=0; t=1 u=
6
dt 3 3 3 dx 3
du
3+t 3 3 6 18 2+cosx 9
Phng phỏp :
5) Hm di du tớch phõn cú dng sinax.sinbx, sinax.cosbx, cosax.cosbx, ta dựng cụng thc bin
i tớch thnh tng bin i v tng cỏc tớch phõn c bn.
4 4
4
0 0

2 2 n n-2 2 n-2
d(tanx)=(1+tan x)dx, d(cotx)=-(1+cot x)dx, và biến đổi nh sau: tan x=tan x(1+tan x)-tan x
b b
n n
a a
6) Tích phân dạng tan xdx, cot xdx (n là số nguyê n d ơng không nhỏ hơn 2) tính nhờ công thức sau :
=

n n-2 n-2
tan xdx tan xd(tanx)+ tan xdx
Vớ d 1: Tớnh tớch phõn:


4
3
0
tan xdx

Gii





= = = =

= + = + =


4 4 4 4 4

6 4 2 4
0 0
a) tan xdx tan x(1+tan x)-tan x dx



= = =


4 4 4
4
4 4 5 2 2 2
0
0 0 0
1
tan xd(tanx) tan xdx tan x tan x(tan x+1)-tan x dx
5



= + = + +


4 4 4 4 4
4
2 2 3 2
0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
tan xd(tanx) tan xdx tan x (tan x+1)-1 dx= d(tanx)- dx

4
0
cosx 1 (cosx+sinx)+(cosx-sinx) 1 1 d(sinx+cosx)
dx dx= dx
sinx+cosx 2 cosx+sinx 2 2 sinx+cosx
1 1
ln sinx+cosx ln 2.
8 2 8 2
Ví dụ :
1) Trong bi toỏn tớch phõn trờn, ta chỳ ý rng d(sinx+cosx)=(cosx-sinx)dx, s dng
phng phỏp h s bt nh ta phõn tớch:
cosx=a(sinx+cosx)+b(sinx-cosx)=(a+b)cosx + (a-b)sinx
Ta cú:
1
a=
a+b=1
2
Ta có lời giải nh đã trình bày ở trên.
a-b=0 1
b=
2











(H Cụng on - 1999)
2)
3
4
6
dx
sin x.cosx



(Hc vin K thut Mt mó-1999)
3)
2
3
6
cos xdx



(H Cn Th - 2000)
4)



3
4
4
tan dx
(H Y H Ni - 2000)

ữ

2
dt
Đặt x=tant, t - ; , ta có: dx=
2 2 cos t




+ =

+ +

= = =

+
4 4
2
2 3
0 0
4
3
0
2
3 2 2
Đổi cận: x=0 t=0; x=1 t=

du du
u)(1 u) 4 1 u 1 u
1 1 1 1 1
du
4 (1 u) 1 u 1 u (1 u)
2
Đổi cận: t=0 u=0; t= u
4 2
25