T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM

I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh
()
xAy =

()
0xA ≥
tgxy
=

π+
π
≠ k
2
x

()
()
xBlogy
xA
=

()
()
⎩
⎨
⎧

e
a
y

)0a(x >∀

()
n2
xAy =

()
()
+
∈
≥
Zn
0xA

⎢
⎣
⎡
=
xarccos
xarcsin
y

1x1
≤
≤
−

xAy =
(
)
0xA >
(
)(
() ()
⎢
⎣
⎡
±
=
xgxf
xgxf
y

)

gf
DDD ∩=

II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}
1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D
Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT
()
()
bxf
axf
≥
≤

2. Đánh giá biểu thức bằng các BĐT:

()
[]
()
()()
2222
2
dcbabdac :skyBunhiacôp .ab2 b a :Côsi BĐT *
đònh. xác xA làm xa, aaxA *
++≤+≥+
∀∀≥+III. HÀM HP g
o
f

[]
() ()
[]
()
{}
()
(){}
⎢
⎣
⎡
⊂∧≠
∈∧∈

⎥
⎦
⎤
∈∀−=
∈∀=−
V. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1: Khử dạng vô đònh
0
0

Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x
0
), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử
số và mẫu số trong
()
()
xg
x
f
lim
0
xx→
với các chú ý:
• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x
0
). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer.
• Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó.

llh llh 3
2

ư
ï th
ư
ù theo 0 (dạn
g
x
g
x
f
li
m
0x
∞
×
→

2. Phương pháp 2: Khử dạng vô đònh
∞
∞

•
PP
1
: Đặt số mũ lớn nhất của các đa thức thành phần ở tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô đònh.
•
PP

-
2
2

2
n
nn 3. Phương pháp 3: Khử dạng vô đònh
∞
−
∞

Cơ sở của phương pháp tìm giới hạn này là:
1/ Sử dụng lượng liên hợp.
2/ Sử dụng biểu thức tiệm cận:
()
x
a2
b
xa~cbxax
2
ε++++ trong đó: a > 0 và
()
0xlim
x
=ε
∞→
3/ Sử dụng các hằng đẳng thức.
4/ Không dùng hàm số tương đương cho dạng tổng.
4. Phương pháp 4: Giới hạn của hàm lượng giác
• TH
1

→
==
−
⎡⎤
=
⎣⎦
⎡⎤
⎣⎦

Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác.

()()
(
)
(
)
llh llh
1 sinu 1 sinu 1 cosu 1 cosu+←⎯→− + ←⎯→−

• TH
2
: Khi hàm lượng giác có dạng vô đònh (x tính bằng rian)
0
xx →
* Đặt:
⎩
⎨
⎧
→⇒→
+=

⎪
⎨
⎧
=⇒
==
∈∀≤≤
→
→→
Lxglim
Lxhlimxflim
x|Vx,xhx
g
x
f
0
00
0
xx
xxxx
0x

6. Hàm chứa giá trò tuyệt đối:
(
)
(
)
() ()
00
00
xx xx

Dx,Rxf
y
0x
0
xx
00
0
0

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
* Liên tục tại x
0
:
() () ( )
(
)
(
)
() ( )
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⇒==
−
+
−+

lim 1
x0
x
tgx
lim 1
x0
x
lim U x 0
x0
sin U x
lim 1
x0
Ux
tgU x
lim 1
x0
Ux
1cosx 1
lim
2
x0
2
x
=
→
=
→
=
→
=

x
0a1
x
lim a
x
=+∞
→+∞
+
=
→−∞
=+∞
→+∞
>
+
=
→−∞
=+∞
→+∞
=
→−∞
+
=
→+∞
<
<
=+∞
→−∞
⎫
⎪
⎪

x
lim x. ln x 0
x0
lim log x
a
x
0a1
lim log x
a
x0
=+∞
→+∞
=−∞
+
→
=+∞
→+∞
>
=−∞
+
→
+
=
→+∞
−
=
+
→
=−∞
→+∞

x'
f
lim
xg
x
f
lim
00
xxxx →→
=

VI. ĐẠO HÀM:
()
()()
x
x
f
xx
f
lim
x
y
limx'f
00
xxxx
0
00
Δ
−Δ
+

−
=
−
+
→
−
→
+
→
0
0
xx
0
0
xx
0
0
xx
0
xx
xfxf
limx'f trái ĐH
xx
xfxf
limx'f phảiĐH
xx
xfxf
limx'f
0
0

, cần làm 3 bước:
B
1
: Kiểm tra ; tìm số trò f(x
f0
Dx ∈
0
) (1)
B
2
: Tìm
()
Rbx
f
li
m
0
xx
∈=
→
(2)
B
3
: So sánh (1) và (2); nếu
() ( )
bx
f
x
f
li

==⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
−+
−
+
→→
→
→

Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục tại x
0
:
(1) PP
2
: f là hàm sơ cấp xác đònh tại x
0
⇒ f liên tục tại x
0
.
(2) PP
3
:
0
y

2
: f liên tục trên
[]
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇔
btại trái tục liên f
a tại phảitục liên f
ba; trong tục liên f
b;a

2. Tìm đạo hàm tại một điểm:

-
3

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
B
1
: Tính
()
(
)
R bnếu và b

−
+
0
0
0
xx
x'f
xx
xfxf
lim
0
: đạo hàm bên phải điểm x
0
.
*
() ( )
(
−
→
=
−
−
−
0
0
0
xx
x'f
xx
xfxf

y
Δ
Δ

B
3
: Tính
()
Rxg
x
y
lim
0x
∈=
Δ
Δ
→Δ
; thì kết luận: f’(x) = g(x).
Đạo hàm Vi phân
1) Hàm cơ bản:
()
()
()
22
v
'v
v
1
v
'v.uv'.u

o
u)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)]
hay y
0
= y’
u
.u’x.
3) Hàm ngược:
Cho: . Khả đạo hàm theo x và có hàm
ngược: .
()
()
⎩
⎨
⎧
=→
→
xfyx
DfD:f
()
()
⎩
⎨
⎧
=→
→
−
−
yfxy
DDf:f

v
dv.udu.v
v
u
d
dv.udu.vv.ud
dvduvud
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
±
=
±

3) Hàm hợp:
[
]
()
()
[
]
() ()
[
]

⎛
+==⇒
u
'u
vuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm:
Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x)
(
)
nn
u;x

(
)
'u.u.n;x.n
1n1n −−

sinx cosx
C 0 cosx -sinx
x 1 tgx
xtg1
xcos
1
2
2
+=

(

lna

-
4

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
lnx
x
1

cotgx
()
xgcot1
xsin
1
2
2
+−=−

log
a
x
alnx
1 5. Đạo hàm cấp cao:
Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y
(n)

6. Ứng dụng của đạo hàm:
• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x
0
) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thò (C): y = f(x) tại điểm đó:
ϕ
M(x ,y )
00
(h.1)
t
x
(C): y = f(x)
(
0
x'
)
f
t
g
k
=
ϕ
=
(là ý nghóa hình học của đạo hàm)
• Nếu một hàm f có đạo hàm tại x
0
thì hàm f liên tục tại điểm x
0
.
• Nhưng một hàm f liên tục tại x

f
∈
∀
≤
⇔

Để ý trong (2) và (3), đạo hàm thể hiện một hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghòch biến) trong D có thể bằng không
tại những giá trò rời rạc của biến số (xem h.2) nhưng không thể triệt tiêu trong một khoảng tùy ý của (xem h.3).
()
D; ⊂βα
y
x
x
0,1
f'(x )=0
0,1
f'(x )=0
0,2
x
0,2
b
a
B
(h.2)
A
0
C
D
y


f'(x )=0
x0 ( ; )
0,1
∀∈αβ
x
0
β
a
b
(h.3)
A
0
C
D


⎧
⎨
⎩


T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ

• Giả sử hàm f : y = f(x) xác đònh trên đoạn [a;b]
) Hàm f đạt một cực đại tại , nếu tồn tại một lân cận
(
b;ax
0
∈
)
(
)
(
)
b;axV
0
∈
sao cho:
() ( )
00
xx;x
f

* Đònh lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trò)
Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x
0
) và đạt một cực trò tại x
0
đó thì điều kiện cần là f’(x
0
) = 0.

y
a
x
0
b
A
B
0
f'(x )=0
0
(h.9)
f'(x )>0
0
f'(x )<0
0
(C):y=f(x)
x

y
a
x

) = 0 và khi f’(x) đi qua x
0
mà không đổi dấu, ta nói (x
0
;f(x
0
)) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang. Điều kiện
(*) có thể thay thế bằng f’(x
0
) và f liên tục tại x
0
.
• Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ tại đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó.
* Đònh lý 3: (Tồn tại điểm uốn)
Nếu f có đạo hàm bậc hai f” tại V(x
0
) (**) và f”(x
0
) = 0; đồng thời f” đổi dấu khi đi qua x
0
thì M(x
0
;y
0
) là điểm uốn của (C) : y = f(x).
Trong (**) nếu f” không tồn tại thì cần có thêm tồn tại
(
)
00
xVx

) đồng thời f”(x
0
) # 0 thì hàm f có cực trò tại x
0
. Cụ thể:

f'(x )=0
0
f"(x )<0
0

f'(x )=0
0
f"(x )>0
0* Đònh lý 5: (Điều kiện tồn tại hàm ngược - Điều kiện đủ)
Nếu f là một hàm số liên tục, đơn điệu ngặc trong [a;b] thì f có hàm số f
-1
xác đònh trên [f(a);f(b)].
• Lúc đó f
-1
cũng liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f.
• Xét tính đối xứng của hai đồ thò hai hàm ngược nhau (C) : y = f(x) và (C
-1
) : y = f
-1
(x) qua đường phân giác thứ nhất.
• Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta sẽ biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) sẽ là hàm tăng ngặt). Lúc đó, ta có:

x"g
x"f
lim
x'g
x'f
lim
0
0
Dạng
xg
xf
lim
0
0
0000
n
n
xxxxxxxx →→→→
====
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ -
6


⎝
⎛
∞
∞
;0;
• Tính lồi lõm của hàm số trong đẳng thức Jensen. y

a
x
1

x
2

b
0
x
2

x

x

2

1



f

2

1

+
y
a
x
1
x
2
b
0
x
2
xx
21
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝


12
+++
+++
<⇒ ≥
∈
⎧
⎪
⎛⎞
⎪
⎨
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎩

Dấu đẳng thức trong BĐT xảy ra khi x
1
= x
2
= = x
n
.
* Đònh lý Lagrance:
[]
()
( )() () ( )()
xfabafbf;b;ac
ba; đạo khảf
ba; tục liên f

⎭
⎩

CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU

I. TÍNH TĂNG - GIẢM (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ:
()
()
(
)
(
)
() ( )
⎢
⎣
⎡
∈∀≥
<⇒<∈∀
⇔
biếnđồng số Hàm :b;ax,0x'f
xfxfxx:b;ax,x
ba; trên tăng f
212121

()
()
(
)
(
)

a > 0 và
0≤Δ
a < 0 và
0≤Δ

II. TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG:
1. Hàm bậc 2: . Tăng, giảm trong
bax2'ycbxaxy
2
+=⇒++=
(
)
+
∞
α
;

Hệ số
Hàm f tăng
()
+
∞
α
∈∀≥ ;x,0'
y
Hàm f giảm
()
+
∞α∈∀≤ ;x,0'
y

223
++=⇒+++=
* TH1:
()

[
)
+∞α+∞α ; hay;
Hệ số
f tăng
()
+∞α∈∀≥ ;x,0'
y

Hệ số
f giảm
()
+
∞α∈∀≤ ;x,0'
y

a = 0 Xét dấu y’ a = 0 Xét dấu y’
⎩
⎨
⎧
≤Δ
>
0
0a


21

α≤<⇔
21
xx

⎩
⎨
⎧
>Δ
<
0
0a

[
)
−+−
+
∞
α
∞
−
00'y
;xxx
21

α≤<⇔
21
xx


]
+−+
∞
+
α∞−
00'y
xx;x
21

⎩
⎨
⎧
≤≤α
>
21
xx
0a

−+−
∞+
∞
−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21

xx;x
21

⎩
⎨
⎧
≤≤α
>
21
xx
0a

+−+
∞+
∞
−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21
≤β≤α⇔
≤
β
<
α
≤

(
)(
() ()
)
() ()
()
()

(
)
(
)()
() ()
() ()
()
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤α
α≤−
<
⇔
∞+
−
∞+α−

;x,0xgthì;x,0'y

+

-
8
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥α
α≤−
>
⇔
∞+
+
∞+α−
α=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−⇒≥⇔
∞α∈∀≥+∞α∈∀≥
0g

≤≥∀∈
≥⇒ ≥
⇒⇒
≤⇒ ≤
⎡
⎢
⎣

Nếu BĐT có 2 biến thì:
() ()
β<α
f
f
với
ba
<
β<α<

Xét tính đơn điệu của f(x) trong khoảng
()
(
)
(
)
(
)
() () ()
⎩
⎨
⎧

()
f đạt CĐ f' x 0 đổi dấu ( ) sang (-)
0
f đạt cực trò tại x f ' x 0
00
f đạt CT f' x 0 đổi dấu (-) sang ( )
0
f' a 0
f có đạt cực trò tại x f ' x 0 : Hàm f x nhận M a,b làm cực trò
00
fa b
f đạ
⇔> +
⇒=⇒
⇔< +
=
⇒= ⇔
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
()
{
()
()
()

⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0>
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó f’(x) = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

II. CỰC TRỊ HÀM HỮU TỶ:
()
()
()
22
ax bx c aa'x 2ab 'x bb' a'c
yy'f'x
2
a'x b'
a'x b'
2
y' 0 aa'x 2ab'x bb' a'c 0 (1) aa' 0
*f có CĐ, CT thì (1) có 2 nghiệm phân biệt y' 0

⎠
⎧
⎨
⎩
()
()
()
()
()
y' 0 y' 0
n biệt
y0 y0
y' 0 y' 0
y' 0 y' 0;x x
12
*f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT trái dấu Đồ thò không cắt Ox
y0 y0
y.y 0
max
min
*Điều kiện cần và đủ để tồn
⎧
=Δ>
⎪
⇔
⎨
=Δ>
⎪
⎩
=Δ>

1. Dạng 1:
()
42 2
y ax bx c y' 2x 2ax b
2x 0
y' 0
2
2ax b 0 (1)
f có 3 cực trò (1) có hai nghiệm phân biệt x 0
*
f có 2 điểm uốn ab 0
a0,b0
f có một cực trò a 0, b 0
*
f không điểm uốn (1) vô nghiệm
=++⇒= +
=
=⇔
+=
≠
⇔
<
=≠
≠=
⇔
⎡
⎢
⎣
⎡⎡
⎢⎢

Δ≤
⇔⇔
=
=≠
⎡
⎢
⎣
⎡
⎡⎡
⎢
⎢⎢
⎣⎣
⎣ 3. Dạng 3:
()
()
()()
()
()
()
432 3 2
yaxbxcxdxey'4ax3bx2cxd
2
y' x Ax Bx C x g x 0 y' có nghiệm thực
g x 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép
0
* f có một cực trò
g0

∈αβ
[]
CT tại điểm ngoài x ; y ' 0 thỏa x x
01
∈αβ⇔ = α≤ ≤β≤
2IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ:
1. Dạng 1: Đường thẳng qua 3 điểm cố đònh của (C
m
) : y = f
m
(x) có bậc ba:
1/ Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cố đònh hệ phương trình đặc trưng của các điểm cố đònh tương ứng từ y
0
= f
m
(x
0
) (I) là:
()
()
⎪
⎩
⎪

khôngbằng
000
xxgxfy
β
+
α+
γ
==
()
β+α=⇒ xy:d : là đường thẳng đi qua ba điểm cố đònh của (C
m
); ∀m.
Hay ba điểm cố đònh của (C
m
) đi qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể của ba điểm cố đònh đó).

2. Dạng 2: Đường thẳng đi qua hai cực trò của hàm bậc ba (C
m
) : y=f
m
(x)
1/ Gọi (x
0
,y
0
) là các điểm cực trò của (C
m
) thì nó thỏa hệ:

-

(x
0
) : g(x
0
) để đưa (I) về dạng:
()( )()

quả hệtrình phương
0
khôngbằng
000m0
xxgxxfy ξ+
γ
+
β+α==

()
trò cực điểm haiqua thẳng đường là:Dm ;xy:d
m0
∈∀ξ+γ=⇒ .

3. Dạng 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trò của hàm hữu tỷ
() ()
()
()
xv
xu
xfy:C
1
2

0II
phương trình hệ quả
vx
0
=
⇒= =α+
′
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎛⎞
⎪
⎜⎟
⎪
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
  
β

2/Ta có:
()
β
+α= x
y
:d là đường thẳng qua hai cực trò của (C

0
0m0

Với g(x
0
)=0 là phương trình đặc trưng cho điểm uốn và đã được chứng minh là có 3 nghiệm phân biệt.
2/ Thực hiện phân tích: Biến đổi thêm bớt để rút ra:
(
)

quả hệtrình phương
0
không bằng
00
xxgy
β
+
α
+
γ
=

3/
()
m
Dm ;x
y
:d ∈∀
β
+α=⇒ : là đường thẳng qua ba điểm uốn.

(d):y = x +
α
β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b
0
x

y
A
(d):
y
= x +
αβ
x
A
y
A
(P )
A

B
(d):y = x +
α
β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b
0
x

y
A
S
(d):
y
=
y
A
(
)
:

β+−−λ=
λ
2
AA
xxxxy:P

•
Tập hợp các Parabola (P
λ
) đi qua nhiều nhất hai điểm cố đònh A và B gọi là chùm Parabol (P
λ
); với là tham số đặc
trưng của chùm.
0≠λ
•
Khi chùm (Pλ) qua đúng hai điểm A, B phân biệt ta được chùm có hai điểm đế, đường thẳng (AB) được gọi là đường đế của
chùm (Pλ) lúc đó.
•
Phương trình của chùm (P
λ
) đi qua hai điểm đế A, B và nhận
(
)
q
x
y
:ABd
+
α
=

≠
α
≠ , là trường hợp tổng quát của (*).
) Khi đường đế nằm ngang:
(
0hayyy
BA
)
=
α
= , ta có trường hợp (P
λ
) có đường đế bằng
()
β
=
=
A
yy:d
(vuông góc với các trục đối xứng của (P
λ
)).
()
(
)
(
)
)1(
y
xxxx

))
()
(
)
)3(yxxy:P
A
2
A
+−λ=⇒
λ

•
Chùm Parabola:
()
(
)
(
)
()


đế đường cho
trưng đặc Phần
qua điP mà đònh cố điểm
lượng số cho trưng đặc Phần
BA
xxxxxy:P
β
+
α

2
: Họ (P
λ
) thỏa các cặp thứ tự (I, III); phương trình (P
λ
) có dạng tổng quát như ở (*).
) Khi (Pλ) thỏa (I, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (1).
) Khi (Pλ) thỏa (II, III): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (2).
) Khi (Pλ) thỏa (II, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (3).
B
B
3
: Đưa các giá trò cụ thể của giả thiết vào phương trình của (P
λ
), ta sẽ xác đònh được
0
λ
=
λ
bằng các phương trình đặc trưng.
Lấy x
0
thay vào các phương trình (P
λ
) ta có ngay ycbt.

VI. TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ CỰC TRỊ HÀM SỐ:
1. Nằm cùng phía với trục hoành
⎩
⎨

>>
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
hoặc
0y;0x
0y;0x
0'y
'y
21
22
11

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=<
<<
>Δ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<>
><
>Δ

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
α==++
=++
⎩
⎨
⎧
=
=
x nghiệm 0cbxax
képnghiệm 0cbxax
chung nghiệm có
0'y
0y
2
2

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

(*) không có nghiệm đặc biệt
cbx2ax3'y
2
++=

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
=
=
=
chung nghiệm
0'y
0y
0yy
minmax

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧

Hoành độ
Hoành độ dương Hoành độ âm
Lớn hơn α Nhỏ hơn α
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
>
<
>Δ
0yy
0x
0x
00af
0'y
minmax
CT
CĐ

()
⎪
⎪

<<α
<α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
α<<
>α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21

CHỦ ĐỀÀ 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT

,a
f
maxMba; trên tụcliên
f
min
f
maxf,
∈
∈
=
=
⇒⇔∃

2. Dùng MGT tìm max, min:
M
y
m
0
≤≤
.
3. Dùng BĐT Côsi, Bunhiacôpsky. 13

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Chú ý 2:
1. Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a;b) có điểm cực trò
(
)


2. f(x) tăng hoặc giảm trên [a;b]
()
∞+
=
+
∞+
afy min
y
'y
xx
0

()
∞−
=
−
∞+
bfy max
y
'y
xx
0II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM BẬC 2 TRÊN
[
]
β
α

) Nếu
[]
()
(
)
(
)
{
}
x ;:max yfx; min ymaxf ,f
00
∈αβ = = α β

) Nếu
[]
() ()
x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.
0
∉αβ α β
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1:
()
(
)
(
)
(
)
GTLN fx max fx và GTNN fx min fx
xD xD xD xD

đn
max f x M
xD:fx M
xD
0f 0
f
≤∀∈
=
∃∈ =
∈
⎧
⎪
←⎯→
⎨
⎪
⎩
y
A
B
a
b
0
x
xfminy
bxa
CT
≤
≤
=
xfmaxaf

Tìm f(a), f(b): là các số trò biên của hàm f.
B
B
()
()
3
: So sánh f(a), f(b) và các y
0
, ta có:
() ()( ){}
() ()( ){}
xf miny các;bf;afminm
x
f
max
y
các;b
f
;a
f
maxM
bxa
0
bxa
bxa
0
bxa
≤≤≤≤
≤≤≤≤
==

y" 0
y Lồi Uốn Lõm
−
∞+
−+
∞ Dấu hiệu điểm uốn:
Dấu hiệu 1:
() ()
(
)
(
)
000
f x 0 ; f x đổi dấu - ,x ; x ,
′′ ′′
=∞
0
+∞

Dấu hiệu 2:
()
()
()
()
fx 0 fx 0
00
hoặc

000
i
f x đổi dấu khi x đi qua x
0
I x ; f x : là điểm uốn của C : y f x
00
′′ ′
0
∃
∈=∃
′′
⇒=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
≠

I
(T)
(C)
f"<0
f">0

()
()
(
)
()

()
()
()
()
()
()
()
x a; b :gt mở rộng f x
3
00
i:
f x đổi dấu khi x đi qua x
0

giá trò mở rộng f x
0
4
i : f x không đổi dấu khi x băng qua x hoặc
0
f x đổi dấu khi x đi qua x
0
Ix,fx : là
00
′′
∃∈ =∞
′′
′
=∞
′
′′

∞=
→
y
li
m
0
xx

0
x
y
y
li
m
=
∞→

()
[]
()
[]
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

Chú ý:
() ()
xiêncậntiệ
m
làbax
y
thì 0xli
m
với xbax
y
x
+=
=
εε++=
∞→

-
15

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
1. Hàm phân thức
()
()
xQ
xP
y =

y
2
2
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+==
+
++
=

TCX:
'a
'abb'a
x
'a
a
y0
'bx'a
'a
'b
P
lim

2a
b
Nhánh phải : y a x
2a
=+
⇒=+=
=+
⎡
⎛⎞
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
⎢
⎛⎞
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣

•
Nếu
() ()
x
2
p
xbaxqpxxbaxxf
2
ε++++=++++=
p

x
C y f x g x x mà T y g x là tiệm cận cong.
lim f x g x lim x 0
xx
=∞
→∞
==+ε ⇒ =
−=ε=
→∞ →∞
⎧
⎪
⎨
⎡⎤
⎪
⎣⎦
⎩
CHỦ ĐỀÀ 6: KHẢO SÁT HÀM SỐ

I. HÀM BẬC HAI:
() ()
(
)
0acbxaxxfy:P
2
≠++==

•

1
; x
2
(quy ước x
1
< x
2
)
thuận) Viete lý (Đònh
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
−=+=


T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ

⎣
⎡
<⇒>−=
>⇒<−=
21
21
xx0
a
b
S
xx0
a
b
S

) Nếu
0xx
0
a
b
S
0
a
c
P
21
<<⇔
⎪
⎪
⎩

Tính chất đồ thò
()
(
)
cbxaxxfy:P
2
++==

là một Parabola (đứng) có đỉnh
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
−
a4
;
a2
b
S

) Để ý
a2
b
x
S
−=
; là nghiệm kép của tam thức bậc hai, thì

b
af0 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⇒=Δ

) Nếu
()
(
)
21
x;xx;0xa
f
0 ∈∀
<
⇒<Δ

0>Δ

•
Tồn tại (x
1
;x
2
) mà trong đó f(x) trái
dấu a

) mà trong đó f(x)
trái dấu a
•
[]
{}
0x;x
21
=
⇒ Sự trái dấu bò suy biến
()
b
xxx
12
2a
|
Cùng Cùng
2
f x ax bx c dấu 0 dấu
aa
|
−
∞==−
=++
+∞ -
17

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ

Giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của tam thức bậc hai:
Dấu a

Dấu Δ
a>0 a<0
Δ > 0
y
(P)
S
x
1
x
2
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

y
(P)
S
x
1
x
2
0

Δ
−

Δ = 0
y
(P)
S
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

y
(P)
S
0
x
a2
b
−
a4
Δ
−

max
min

thỏa
<
αα , thì tam thức B
2
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và
21
xx <
α
<
.
) Hệ quả:
Nếu tồn tại hai số thì tam thức B
()()
0ffcho sao và <βαβα
2
có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
và có một nghiệm nằm trong
khoảng .
()(
β<αβα với ;
)
Chẳng hạn:
2121


-
18

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
) TH3:
() ()
0
af 0 x x xem hình 1
12
S
0
2
Δ>
α> ⇔α< <
−α>
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

x
1
x
2
α

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<α−
α<<⇔>α
>Δ

x

1

x
2
α
x

/
/
/
/
(hình 2)

2
xx
2
S
21
+

2
T
2II. HÀM BẬC BA:
() ()
(
)
0adcxbxaxxfy:C
23
≠+++==
Học sinh xem phần này trong Sgk
() () ( )
0adcxbxaxxfy:C
23
≠+++==

•
MXĐ:
()
+∞∞−= ;D
•
Các đạo hàm:
2b6axy và cbx2ax3y
2
+=
′′
++=
′

′
=Δ
′

0
0a
<Δ
′
>

∞+
∞−
+
′
∞
+
∞
−
y
y
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

a3
b
−

0
0a
=Δ
′
>

∞+
∞−
++
∞+∞−
y
'y
a3
b
x

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

0

=
′
<Δ
′
>

∞+
∞−
+−+
∞
+
∞−
CT
CĐ
y
00'y
xxx
21

y
I
(C)
0
x
a3
b
−

)xx
nghiệm 2 có 0y(

−

Chú ý: Xem thêm phần 7 CHỦ ĐỀà 3
1. Điều kiện cần và đủ để đồ thò (C) ở trên có điểm cực tiểu và điểm cực đại (hàm số có cực trò) là:

() ()
0ac3b có cbx2ax3xgx'f'y
2
g
2
>−=Δ
′
++===
2. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò. Ba điểm A, I, B thẳng hàng.
•
Gọi (x
0
;y
0
) là tọa độ các điểm cực trò ở trên nó thỏa:
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++=
+++==

(
)
dI ∈ hay A, I, B
thẳng hàng.

-
20

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
• Do đó tọa độ các điểm cực trò và điểm uốn là:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
β+
α
−=
−=
⎩
⎨
⎧
β+α=
=
⎩
⎨
⎧

) Quỹ tích của A, B hay I là
()
β
+
α= x
y
:d
4. Đònh tham số để hàm bậc ba cắt trục hoành trong các trường hợp
TH
1
: (C) tiếp xúc Ox thì hệ sau có nghiệm:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
⇔
⎩
⎨
⎧
=
′
=
0cbx2ax3
0dcxbxax
0y
0y
2

′
⇔
0xxy.y
0ac3b
CTCĐCTCĐ
2
g
TH
4
: Luôn cắt Ox tại ít nhất một điểm hay phương trình:
(
)
0a0dcxbxax
23
≠=+++
: không thể vô nghiệm.
TH
5
: (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất:
()()
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎩
⎪
⎨

>
>
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
<
>
⇔
0x
00f
0yy
0a
hoặc
0x
00f
0yy
0a
CT
CTCĐ
CĐ
CTCĐ
y

x
CT
x
3TH
7
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 3 nghiệm âm:
() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
<
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

f
CĐ
f(0)
x
CĐ
x
3

y
(C)
0
x
x
1
x
2
f
CT
f
CĐ
f(0)
x
CĐ
x
3
-
21

>Δ
>
⇔
0x
0yy
0'
0a
hoặc
0x
0yy
0'
0a
CT
CTCĐ
g
CT
CTCĐ
g
y
y
0
x
x
1
x
2
f(0)
x
CĐ
x

3TH
9
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có đúng 2 nghiệm âm:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<
>Δ
<
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<

x
CT
y
CĐ
y
CT
x
3

y
y
0
x
x
1
x
2
f(0)
x
CĐ
x
CT
y
CĐ
y
CT
x
3

5. Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng

⎜
⎝
⎛
−
∃>−=Δ
⇔
OxI uốnđiểm:0
a3
b
f
CT;CĐ:0ac3b'
2
g

TH
2
: Đònh lý Viete: Khi ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có ba nghiệm x
1
, x
2
, x
3
và không chỉ đúng một nghiệm đơn thì:
⎪
⎪
⎪

() ( ) ( )
⎢
⎣
⎡
=ϕ++αα+α++=
α=
⇔
0baxbaxxg
x
2
) Có 3 nghiệm đơn
()
⎩
⎨
⎧
>Δ
≠
⇔
0
0xg
g

-
22

T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
) Có đúng hai nghiệm
()
(

0
g
g
7. Dạng không đặc biệt của hàm bậc 3
TH
1
: Phương trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (*) không tìm được nghiệm đặc biệt thì (*) có nghiệm kép:
(
0a ≠
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
⇔
0cbx2ax3
0dcxbxax
:nghiệm có sau Hệ
2
23

) Qua mọi
()
I
y
;x
00
≡
(điểm uốn của (C)) chỉ kẻ đúng được một tiếp tuyến với (C).
) Xét điểm tùy ý
()(
C
)
y
;xM
thì qua M kẻ đúng được hai tiếp tuyến với (C).
00
∈

III. HÀM BẬC BỐN - HÀM TRÙNG PHƯƠNG: (Xem thêm Phần 8 CHỦ ĐỀà 3)
1. Dạng 1: Hàm bậc bốn
()
(
)
0acdxcxbxaxy:C
234
≠++++=

•
Đạo hàm: y’ = 4ax
3

3
+ cx
2
+ dx + e
Phương trình hoành độ giao điểm của (t) và (C) là:

(
)
(
)
432 432
ax bx cx dx e x ax bx cx d x e 0 1++++=α+β⇔+++−α++β=

) B
2
: Áp đặt (t) tiếp xúc (C) tại hai tiếp điểm T
1
(x
1
;y
1
) và T
2
(x
2
;y
2
) hay tạo điều kiện cho (1) có 2 nghiệm kép

21

.
Kết luận:
()
β
+α= xy:
t
0
là tiếp tuyến cần tìm.
(d)
y
0
x
(C)
AB
CD
•
Đồ thò hàm bậc bốn và trục đối xứng song song Oy:
Xét đồ thò
()

cdxcxbxaxy:C
234
++++=
(
0a
)
≠
với giả sử
thì điều kiện cần để AB = BC = CD là (C) nhận (d) : x = α là
một trục đối xứng song song Oy. Hay:


T.s Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt LHQ
Trích từ
) Nếu chỉ có một nghiệm và đổi dấu khi x qua nghiệm ⇒ Hàm số có cực trò, đồ thò không có điểm
uốn.
0'y0ab =⇒≥
) Nếu có ba nghiệm, hàm số có ba cực trò, lúc này đồ thò có hai điểm uốn. Đồ thò nhận một trong
bốn dạng sau:
0'y0ab =⇒<

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥
>
0ab
0a

y
0
x
(C)
⎩
⎨
⎧
≥

Bài toán đồ thò
() { }
CDBCAB:D;C;B;AOxC
=
=
=
∩
hay phương trình:
()
(
)
0a * 0dbxax
24
≠=++
có 4
nghiệm tạo thành cấp số cộng.
Đặt: . Lúc đó:
x;0xt
2
∀≥=
()
()
⎩
⎨
⎧
=++=
≥
⇔
0cbtattg
0

==

() () ()
0bcad0c kiệnđiều
dcx
bax
xfy:C ≠−∧≠
+
+
==

•

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−∪
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∞−= ;
c
d
c


bc-adD của dấu là dấu có :
c
d
xc
bcad
'y
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=

Giao điểm của hai tiệm cận đứng
()
c
d
x:d
1
−=
và tiệm cận ngang
()
c

c
a
y
||'y
c
d
x
∞−
∞+
++
∞+−∞−

y
0
x
(C)
a
b
−
d
b
()
c
a
y:d
2
=
()
c
d

c
a
y
:d
2
=
()
c
d
x:d
1
=

y
(t)
I
A
S
Δ
d
1
d
2
B
M (tùy ý)
x
(C)

y
I

x:dMH
21
=⊥−=⊥
theo thứ tự đó. Xác đònh các giao điểm:
(
)() ()
(
)
;Bd
t
;Ad
t
21
=
∩=
∩
(nếu
có), thì:
• AB luôn nhận M làm trung điểm.
•
Diện tích tam giác: SΔAIB = const.
•
Tích số MH.MK = const.
•
Diện tích tứ giác IHKM = const.
•
Đường thẳng tùy ý (Δ): y = αx + β có phương trình hoành độ giao điểm với (C) là:
⎟
⎠
⎞

d
g0bdxadcxcxg
2

•
M, N ở hai nhánh phân biệt thì các hoành độ x
M
= x
1
; x
N
= x
2
nằm về hai phía của tiệm cận đứng.
()
1
dd
d : x ag 0
cc
⎛⎞
=− ⇔ − <
⎜⎟
⎝⎠

•

()
00
c
d

cbxax
cx'b
xP
xfy:C
2
2
+
++
=
+
== -
25