Hướng dẫn giải bài tập Giải tích 1
Giới hạn của dãy số
Ths. Phạm Hồng Phong
Website: violet.vn/phphong84
Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng
Ví dụ 1:
lim 1
1
n
n
n



0

 
1
1
n
n

 

1
1
n

 

1

1
1
1
n
n
n


 
 
 
 
a R
 
1 1
,
2 2
a a
 
 
 
 
Xét khoảng
Chứng tỏ:
1
| | 1
n n
u u

 

2
1
n
n
k
n
u
n k

 


 

 
2
2 2
1
1
1
1
n
n
n
k
n n
u
n n



 
Tìm
Ví dụ 4.
5
lim
n
n
n
n

Ta có
5 5
0 , 6
6
n
n
n
n
n
 
   
 
 
0
5
lim 0
n
n
n
n



1
n
n n
a n
 
   
TH1.
1
a

lim 1
n
n
a

 
TH2.
0 1
a
 
1 1
lim , 1
lim
n
n
n
n
a b

k k
u u

    
là dãy tăng và bị chặn trên.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
Dùng qui nạp, chứng tỏ
2
n
u

Giả sử
: 2
n
n k u
  
Khi đó với
1
n k
 
Vậy dãy bị chặn trên.
2
1
2
n n n n n n
u u u u u u

     
Vậy dãy tăng.
lim

2 3 2
n
n
u
n
u n


 

Vậy dãy bị chặn dưới.
0
n
u

Vậy dãy giảm.
lim
n
u a
  
1
1 1
lim
2 3 2 3
n n
n
n n
u u a a
n n


1
2 1
1
3 2
n
n
n
n



 

 

 
2
4 1 4 1 4 2
( 1)
6 2 6 2 6 3
k
k
k
k k
u
k k

 
    
 



 
1
2) lim 0, 0
ln
n
n



 

1
3) lim 0, 1

n
n
a
a

 
4) lim 1,
n
p
n
n p

 



 
 
 
 

9) lim 1 ,

n
a
n
a
e a
n

 
  
 
 
ln
10) lim 0, , 0
p
n
n
p
n



  

n
n
n


Ví dụ 10. Tìm giới hạn của dãy


2
lim 1
n
n n

 
HD. Nhân lượng liên hợp
Ví dụ 11. Tìm giới hạn của dãy
1 1 1
lim
1 2 2 3 ( 1)
n
n n

 
  
 
   
 
HD. Phân tích
1 1 1
( 1) 1

n



HD. Dùng định lý kẹp.
Ví dụ 15. Tìm giới hạn của dãy
2
3 1
2
2
3
lim
5
n
n
n
n


 

 
 

 
HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e.
Ví dụ 16. Tìm giới hạn của dãy
2
1 2 3
lim