BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ NGỌC HẢI
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
LÊ NGỌC HẢI
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TSKH
Nguyễn Mạnh Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình
hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám
hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy
cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành
Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập

2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 22
Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất
đối với phương trình Schrodinger trong miền nón. . . . . . . . 27
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . 27
3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 28
3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 28
3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 31
v
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tam khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỉ thứ 18 trong các công trình toán học của Euler, Dalamber, La-
grange và Laplace như một công cụ để mô tả các mô hình của vật lý
học, cơ học. Đến thế kỉ thứ 19 công trình toán học, đặc biệt là công
trình của Rieman về phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ
mạnh trong các lĩnh vực toán học khác và đặc biệt trong các bài toán
thực tiễn.
Chính vì thế, phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng
của toán học. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ
bản. Thứ nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý vì quá trình
nghiên cứu các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo
hàm riêng. Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm
riêng với các ngành toán học khác nhau như: giải tích hàm, lý thuyết
hàm, tô pô, đại số, giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
hiện đại gồm có: Phương trình loại eliptic, phương trình loại parabolic,
phương trình loại hypebolic. Không gian nghiệm đối với 3 loại phương
trình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng
tuyến tính. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết

luận văn là:
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian
Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng
vào nghiên cứu tính giải được của bài toán.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian
Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của
bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình
Schrodinger trong miền nón.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp xấp xỉ Galerkin.
6. Đóng góp mới của đề tài
Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm.
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các kí hiệu
R
n
là một không gian Euclide n− chiều, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
.
Cho hai điểm x, y ∈ R
n

i
− y
i
)
2

1
2
.
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
, n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên
của nó. Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Kí hiệu Ω
b
a
= Ω×(a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, a < t < b, 0 ≤ a < b < ∞}
là trụ trong R
n+1
và mặt xung quanh của nó là: S
b
a
= ∂Ω × (a, b) =
{(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}.
và Ω
∞
h
= Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}; S
∞
h

∂x
p
n
n
= u
x
p
1
1
x
p
n
n
là đạo hàm
suy rộng cấp p theo biến x = (x
1
, x
n
); u
t
k
= ∂
k
u/∂t
k
là đạo hàm suy
rộng cấp k theo biến t. Ở đây p = (p
1
, , p
n

Cho X là không gian Banach với chuẩn .
X
. Kí hiệu L
∞
(0, T ; X)
là không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không
gian X, xác định trên (0, T) sao cho
u
L
∞
(0,T ;X)
= ess sup
0<t<T
u
X
< ∞.
Một hàm số f đo được trên R
n
được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại
một số k sao cho |f(x)| ≤ k hầu khắp nơi trên R
n
. Cận dưới lớn nhất
các hằng số k được gọi là essential supremum của |f| trên R
n
.
Kí hiệu esssup
x∈R
n
|f(x)|.
Hàm u : U → R là liên tục Lipschitz nếu |u(x) − u(y)| ≤ C |x − y|

p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)
khả tổng cấp p theo nghĩa Lebesgue trong Ω, tức là:

Ω
|u|
p
dx < +∞.
Không gian L
p
(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn:
u
L
p
(Ω)
=



Ω
|u|
p
dx


1
p
.
L
2

Định nghĩa 1.2.2. Cho Ω là một miền trong không gian R
n
. Khi
đó L
∞
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn:
u
L
∞
(Ω)
= esssup
x∈Ω
|u (x)| .
1.2.3. Không gian Sobolev
• Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Một
hàm v (x) ∈ L
1
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u (x) ∈
L
1
(Ω) nếu:

Ω
u (x) D
α
ψ (x) dx = (−1)


1
−1
v (x) .ψ (x) dx, ψ ∈
o
C
∞
(−1, 1) .
T =

1
−1
|x| .ψ

(x) dx =

0
−1
−x.ψ

(x) dx +

1
0
x.ψ

(x) dx.
= −x.ψ (x) |
0
−1


Ω


, Ω

là miền con của Ω. Khi coi ψ (x) = 0 với x ∈ Ω \ Ω

ta nhận được ψ (x) ∈
o
C
∞
(Ω) . Ta có hệ thức:

Ω

u (x) D
α
ψ (x) dx =

Ω
u (x) D
α
ψ (x) dx
= (−1)
|α|

Ω
v (x) ψ (x) dx = (−1)
|α|

v
2
= D
α
(av
1
+ bv
2
), ở đó a,b là các hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng
không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm suy rộng
bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường.
Tuy nhiên không phải tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng
cấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn α.
• Không gian H
m
(Ω)
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian R
n
.
Ta định nghĩa không gian H
m
(Ω) là không gian Hilbert bao gồm các
hàm thuộc L
2
(Ω) với chuẩn:
u
H
m
(Ω)

u
H
1
(Ω)
=


1

|α|=0

Ω
|D
α
u|
2
dx


1
2
.
9
• Không gian H
m
o
(Ω)
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian R
n
.



u : Ω
b
a
→ C
s
|

Ω


k

|α|=0
|D
α
u|
2
+
l

j=1
|u
t
j
|
2



j=1
|u
t
j
|
2


dxdt


1
2
.
Không gian H
k,l

Ω
b
a

là một không gian Hilbert với tích vô hướng được
sinh bởi chuẩn.
• Không gian H
1,1

Ω
b
a


2

dx < ∞

,
là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau
u
H
1,1
(Ω
b
a
)
=


1

|α|=0

Ω

|D
α
u|
2
+ |u
t
j
|

1,0

Ω
b
a

=

u : Ω
b
a
→ C
s
|

Ω
|D
α
u|
2
dx < ∞

,
là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau
u
H
1,0
(Ω
b
a

H
k,l

Ω
b
a

Định nghĩa 1.2.10. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
R
n
, n ≥ 2. Ta định nghĩa không gian
o
H
k,l

Ω
b
a

là bao đóng của C
∞
0
(Ω)
trong chuẩn của không gian H
k,l

Ω
b
a


b
a

.
• Không gian
o
H
1,0

Ω
b
a

11
Định nghĩa 1.2.12. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian
R
n
, n ≥ 2. Ta định nghĩa không gian
o
H
1,0

Ω
b
a

là bao đóng của C
∞
0
(Ω)

u : Ω
b
a
→ C
s
|

Ω


k

|α|=0
|D
α
u|
2
+
l

j=1
|u
t
j
|
2


e
−2γt

j=1
|u
t
j
|
2


e
−2γt
dxdt


1
2
.
Không gian H
k,l

−γ, Ω
b
a

là không gian Hilbert với tích vô hướng được
sinh ra bởi chuẩn như trên.
• Đặt L
2

−γ, Q
b

b
(2)
1
2
12
Áp dụng Cauchy

(2)
1
2
a

.
b
(2)
1
2
≤
2a
2
2
+

b
2
2

2
= .a
2


2
|v|
2
.
Cực tiểu hóa vế trái, đặt  =
|u|
|v|
với v = 0.
Ta có
|uv| ≤
1
2
|u|
|v|
. |u|
2
+
|u|
|v|
2
. |v|
2
⇔ |uv| ≤
1
2
. |u| |v| +
1
2
. |u| |v|

0
, T ) thì
u (t) ≤ Φ (t
0
) + L

t
t
0
e
L(t−s)
Φ

(s) ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Chứng minh
Đặt y(t) =

t
t
0
u(t)dt, ta có
y

= u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t), ∀t ∈ [t
0
, T ) ,
hay
y

, T ) ,
Suy ra
y(t) ≤

t
t
0
e
L(t−s)
Φ(s)ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Do đó
u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t) ≤ Φ(t) + L

t
t
0
e
L(t−s)
Φ(s)ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
14
Nếu Φ(s) có đạo hàm Φ

(s) khả tích trên [t
0
, T ) thì bằng cách tính tích
phân từng phần, ta có


t
t
0
e
L(t−s)
Φ

(s)ds.
Từ đó ta suy ra:
u (t) ≤ Φ (t
0
) + L

t
t
0
e
L(t−s)
Φ

(s) ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Chú ý:
Nếu Φ ≡ C ≡ const trên [t
0
, T ) thì từ bất đẳng thức trên ta suy ra
bất đẳng thức Gronwall - Belman thông thường, tức là
u (t) ≤ Ce

n

i,j=1
∂
∂x
i

a
ij
(x, t)
∂
∂x
j

,
ở đây a
ij
≡ a
ij
(x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên Ω
∞
h
,
a
ij
= a
ji
(i, j = 1, , n).
Đặt
B (u, v) (t) = −

H
1,0
(Ω
∞
h
) và t ∈ [h, ∞).
Bây giờ ta xét bài toán sau trong trụ Ω
∞
h
iL (x, t, ∂) u − u
t
= f (x, t) trong Ω
∞
h
(2.2)
với điều kiện ban đầu
u|
t=h
= 0, x ∈ Ω, (2.3)
và điều kiện biên
u|
S
∞
h
= 0. (2.4)
Bài toán (2.2) − (2.4) được gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ
nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón.
2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Định nghĩa: Cho f ∈ L
2

h
uη
t
dxdt =

Ω
T
h
fηdxdt, (2.5)
xảy ra với ∀η (x, t) ∈
o
H
1,1
(−γ, Ω
∞
h
) , η (x, t) = 0 với t ≥ T .
Ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.1. Giả sử điều kiện (2.1) thoả mãn. Khi đó tồn tại 2 hằng số
µ
0
> 0, λ
0
≥ 0 sao cho với mọi hàm cố định u = u (x, t) ∈
o
H
1,0
(−γ, Ω
∞
h

2
(Ω)
≤
n

i=j=1

Ω
a
ij
u
x
j
u
x
i
dx
= −B (u, u) (t) −

1≤i,j≤n

Ω
a
ij
u
x
j
u
x
i

2
(Ω)
≤ −B (u, u) (t) + C (ε) u
2
H
0
(Ω)
,
hay là
n

i=1
u
x
i

2
L
2
(Ω)
≤ −
1
µ − ε
B (u, u) (t) +
C (ε)
µ − ε
u
2
H
0

0
(Ω)

.
Vậy nên
u
2
W
1
(Ω)
≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1) u
2
H
0
(Ω)
.
Ta thấy tồn tại C
2
= C
2
(ε) sao cho
u
2
H
0
(Ω)

(Ω)
+ C
2
u
2
L
2
(Ω)

≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1) ε u
2
H
1
(Ω)
+ (C
1
+ 1) C
2
u
2
L
2
(Ω)
.
Điều đó chỉ ra rằng
−B (u, u) (t) ≥


và đặt
µ
0
=
1 − (C
1
+ 1) ε
C
1
> 0, λ
0
=
(C
1
+ 1) C
2
C
1
,
ta được
−B (u, u) (t) ≥ µ
0
u
2
H
1
(Ω)
− λ
0

(t)|d
k
(t) ∈ H
1
(h, T ), d
k
(T ) = 0

,
o

H
1,1
(−γ, Ω
∞
h
) =

η(x, t) ∈
o
H
1,1
(−γ, Ω
∞
h
) |η(x, h) = 0

,
Khi đó tập hợp M trù mật trong
o