ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP THÁC TRIỂN THEO THAM SỐ
GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI
Khuất Văn Ninh
1

Trần Mạnh Cường
2
hương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được
nghiên cứu trong các công trình của Trenoghin V.A., Fonarov A.A. và
Gaponenco Iu. L. Trong bài viết này, chúng tôi đi nghiên cứu ứng dụng của
phương pháp nói trên trong việc giải gần đúng phương trình toán tử loại hai,
với toán tử tích phân Fredholm.

1. MỞ ĐẦU

Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nhiều nhà khoa học
nghiên cứu. Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình toán
tử loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian
Banach tuỳ ý .
Phương pháp này sử dụng quá trình lặp, thông qua một số hữu hạn các bước theo tham
số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co.
2. NỘI DUNG
2.1. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy
biến
Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:

với mọi

(1)
Ta xét hai trường hợp của hạch suy biến:


m
xt
K x t e n m


P với hai hạch (2), (3) là đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số:

Như vậy với hai hạch (2), (3) phương trình tích phân Fredholm (1) có thể giải được bằng
phương pháp thác triển theo tham số.
Ví dụ 1. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

với mọi

(4)
Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:

với mọi
+ Toán tử hoàn toàn xác định.
+ Toán tử đơn điệu. Thật vậy, với mọi ta có:
.
+ Toán tử liên tục Lipschitz với hằng số .
Thật vậy, ta có:
0;
2
x





22
0; 0;
22
:A

   
   
   
LL
 
2
0
Au xtu t dt



0;
2
x




2
0
0t u t v t dt




  





Au
3
24
L


   
2
0;
2
,u t v t




L
       

.
Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương trình (4) ta có quá trình lặp: Lấy xấp xỉ và . Khi đó ta có:
.    
11
22
2 2 2
2
22
0 0 0
.Au Av x t dxdt u t v t dt
  
   
   
   
   

u x x x xtu t dt xtu t dt



   

 
*
sinu t t t
 
0
0ut
   
3
2
1
0
1
sin sin
24 2
u x x x x t t t dt


   

33
1
sin 1
24 2 24
xx



  
 
2
33
1
1 1 1
1
2 2 24 2 24
u x x




     




 
2
33
2
22
11
sin .
2 24 2 24
u x x x x x


   
23
3 3 3
31
22
1 1 1
1
2 24 2 24 2 24
u x u x x
  

   

      
   

   

 
23
33
3
1
sin .
2 48 48
u x x x x x

   
     
   

   
1
1
1
2
x
u x e xe xtu t dt


  

 
1;1x
   
22
1;1 1;1
:A

LL
 
1
1
Au xtu t dt



 
1;1x
Au
Au

   
     
   
   
  
Au
2
3
L 
Au
2
3
q 
Chọn và đặt . Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
trình (5) ta có quá trình lặp: Ta lấy xấp xỉ và chọn . Khi đó ta có: .


   

 
*
t
u t e
 
0
0ut
 
1
1
1
1
1
2.
2
x t x
x
u x e xe x te dt e
e


    

     
11
1
2 * 1

x
u x e
e
   
     
11
1
3 * 2
11
11
2
22
x
u x e xe x tu t dt x tu t dt


   

1
1
11
.
23
xt
x
e x t e t dt
ee


   

x
n
n
u x u x e



   
2
0
sin cos
2
u x x x x xtu t dt


   

0;
2
x





22
0; 0;
22
:A


2
0
Au xtu t dt



0;
2
x





Au
Au
   
2
0;
2
,u t v t




L
,0Au Au u v  
Au
3
24

2
2
0
24
Au Av x dx u v u v


     

2N 
0
1
2


     
22
1*
00
11
sin cos .
2 2 2
nn
u x x x x xtu t dt xtu t dt



    

 

24
u x u x x t t t t dt



   



 
3
2
sin cos
4 48
u x x x x

    
.

Suy ra .
Vậy nghiệm của phương trình (6) là:

.
Ví dụ 4. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

với mọi . (7)
Giải: Xét toán tử định nghĩa bởi:


 
2
3
3
sin cos
4 48
u x x x x


    


 
3
1
sin cos
4 48
n
n
u x x x x



   


   
1
lim sin cos

22
1
Au xt x t u t dt



 
1;1x
Au
Au
   
 
2
1;1
,u t v t

L
       
22
11
2
11
,0Au Au u v x u x v x dx x u x v x dx

   
   
      
   
   
   

2


 
 
 
 
 
11
2 2 2 2 2
1*
11
1 1 1
1.
15 2 2
nn
u x x xt x t u t dt xt x t u t dt


     

Ta lấy xấp xỉ và chọn . Khi đó ta có: Sử dụng phần mềm Maple qua 10 phép lặp, ta có kết quả sau:
1
11
1 1 .
15 2
u x x xt x t t dt

    

 
2
1
7
1
15
u x x
 
2
2
67
1
75
u x x
 
2
3
367
1
375
u x x
 

1171867
1
1171875
u x x
 
2
9
5859367
1
5859375
u x x
 
2
10
29296867
1
29296875
u x x
 
2
1 0.9999997269u x x
   
10
,2 0.0001655423671u x u x
       
,
b
a
u x f x K x t u t dt


, , .
bb
nn
aa
u x f x K x t u t dt x t u t dt
  
  

 
,
n
xt

n
 
n
ux
 
,
n
K x t
       
,
b
n n n
a
u x f x K x t u t dt




4 15
xt
u x x x e u t dt   

 
0;1x
xt
e
xt
0xt 
   
 
 
2
1
1
1! 2! ! 1 !
n
c
n
xt
xt xt
xt e
e xt
nn

     

 
0;c xt


    



 
0;1x
Au
Au
   
 
2
0;1
,u t v t L
           
2 2 2
1 1 1
2
0 0 0
1
,
2
Au Av u v u x v x dx x u x v x dx x u x v x dx
     
     
       
     
     
     
  

Au Av xt x t x t x t u t v t dt


      




   
1
2
2
11
2 2 3 3 4 4
00
1 1 1
1
2 6 24
xt x t x t x t u t v t dt dx




     







1.356769084L 
2N 
0
1
2


   
1
2 4 2 2 3 3 4 4
1*
0
1 1 1 1 1 1
21
4 15 2 2 6 24
n
u x x x xt x t x t x t u t dt


       



 
1
2 2 3 3 4 4
0
1 1 1 1
1
2 2 6 24

34
0.05503460945 0.05556427282xx
 
2
4
0.6230351906 0.7044699779 0.01106065817xu x x  
34
0.06049904933 0.5445083408xx
 
2
5
0.6982070872 0.6632173815 0.02546619590xu x x  
34
0.05679487872 0.05520582659xx
 
2
6
0.6471699148 0.6912787189 0.01565579206xu x x  
34
0.05931945915 0.05469096645xx
 
2
7
0.6819045927 0.6721619675 0.02234303276xu x x  
34
0.05759790522 0.05504215855xx
 
2
8
0.6583932123 0.6850690887 0.01783504328xu x x  

[6]

[8], Fonarov A.A. [4] and Gaponenco Y.L. [5]. In this paper we present some applications of
this method for approximate solutions of operator equation of second kind with the Fredholm integral
operator.