TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN
CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN
Hà Nội, 5/2015
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN
CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN
Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Xuân Bính
2
Hà Nội, 5/2015
3
MỤC LỤC

4
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GTVT
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Nghiên cứu ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.
- Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Xuân Bính
2. Mục tiêu đề tài:
- Xây dựng lý thuyết tính ổn định thanh chịu nén có liên kết phi tuyến.
- Ứng dụng hàm solver để giải bài toán.
3. Tính mới và sáng tạo:
- Lần đầu tiên xây dựng lý thuyết tính ổn định thanh chịu nén có liên kết phi tuyến.
- Lần đầu tiên ứng dụng hàm solver để giải bài toán ổn định thanh bị nén có liên kết
phi tuyến.

đang học):
* Năm thứ 1:
Ngành học: Cầu đường bộ Khoa: Công Trình
Kết quả xếp loại học tập: Trung Bình
Sơ lược thành tích:
* Năm thứ 2:
Ngành học: Cầu đường bộ Khoa: Công trình
Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lược thành tích: Học bổng giỏi kì I và học bổng khá kì II

Ngày 14 tháng 4 năm 2015
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)
7
NGHIÊN CỨU
ỔN ĐỊNH THANH BỊ NÉN CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN
I. Đặt vấn đề
Trạng thái mất ổn định của kết cấu chịu nén là hiện tượng rủi ro có thể gây
biến dạng lớn hoặc phá hủy công trình nhanh chóng vì vậy nghiên cứu ổn định của
thanh chịu nén có vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật nói chung và xây dựng công
trình nói riêng.
Ta đã biết thanh chịu nén có thể ở một trong hai trạng thái ổn định và mất ổn
định. Vậy nghiên cứu ổn định thanh chịu nén chính là xác định ranh giới giữa trạng
thái ổn định và trạng thái mất ổn định hay chính là trạng thái tới hạn, mà đại lượng đặc
trưng thể hiện cho trạng thái này là lực nén tới hạn tác dụng vào thanh chịu nén hay
chính là lực nén lớn nhất P
th
cho phép tác dụng vào thanh mà thanh vẫn ổn định. Việc
nghiên cứu ổn định của thanh chịu nén có thể theo các tiêu chí khác nhau để giải quyết

tuyến có thể xảy ra với những mô hình sau: lò xo làm việc một chiều ( chỉ chịu kéo
hoặc chỉ chịu nén ) ( hình 3, hình 4), lò xo đàn hồi dị hướng làm việc theo hai chiều
kéo- nén là khác nhau, mô hình nhiều lần tuyến tính hoặc mô hình phi tuyến với quan
hệ giữa phản lực và chuyển vị của điểm tựa liên kết là 1 đường cong bất kì (hình 6).
Cụ thể trong nghiên cứu này sẽ đi tính toán ổn định cho thanh có liên kết lò xo đàn hồi
dị hướng và thanh có liên kết phi tuyến (đường cong quan hệ bất kì ). Với thanh có
liên kết phi tuyến ta có mối quan hệ giữa phản lực liên kết và chuyển vị của điểm tựa
liên kết như sau:
( )N f= ∆
(1)
Trong đó:
N là phản lực liên kết
Δ là độ dịch chuyển của điểm tựa liên kết so với gốc tọa độ (so với vị trí cân
bằng ban đầu)
9
Hình 3. Lò xo chỉ chịu kéo Hình 4. Lò xo chỉ chịu nén
Hình 5. Lò xo chịu kéo và nén khác nhau Hình 6. Lò xo phi tuyến gồm nhiều lần tuyến
tính
Hình 7. Lò xo phi tuyến có đồ thị
N
−∆
là đường cong bất kì
2. Phương pháp năng lượng về tính ổn định thanh bị nén
Nếu như sử dụng tiêu chí Ơ le ta đi lập phương trình vi phân của biến dạng tại
trạng thái tới hạn thì việc lập cũng như giải những phương trình vi phân này để tìm lực
tới hạn nhiều khi rất khó khăn. Vì vậy, người ta đi tìm cách giải quyết bài toán bằng
phương pháp năng lượng, bằng cách viết biểu thức biến thiên năng lượng của hệ khi
10
N
N

và bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.

2
2
2
2
0 0
1 1
EJ
2 EJ 2
l l
x
x
x
M
d v
U dz dz
dz
 
= =
 ÷
 
∫ ∫
(3)
Công của ngoại lực:
.
th
A P
δ
=

(6)
Hình 8.
Tuy nhiên, bài toán lại gặp khó khăn khi tại trạng thái tới hạn ta lại chưa biết
hàm độ võng hay đường đàn hồi của thanh mà muốn có hàm này ta phải giải một hoặc
một hệ phương trình vi phân và đó là điều mà phương pháp năng lượng muốn tránh
bởi đây chính là khó khăn của tiêu chí Ơ le khi giải quyết bằng phương pháp giải tích
truyền thống. Cách giải quyết tốt nhất là dựa vào quan sát thí nghiệm ta chọn một hàm
v(z) gần đúng với đường đàn hồi và thỏa mãn các điều kiện liên kết. Đây cũng chính là
hướng đi để giải quyết bài toán ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến mà nghiên
cứu này sẽ dùng.
11
δ

3. Ứng dụng phương pháp năng lượng để tính ổn định thanh bị nén có liên kết
phi tuyến
Từ hướng đi chung để giải quyết các vấn đề của bài toán ổn định là sử dụng tiếu
chí năng lượng nêu trên. Ở đây, ta cũng sẽ tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi
tuyến theo tiêu chí năng lượng. Đầu tiên ta phải xác định hàm độ võng gần đúng với
độ võng của thanh tại trạng thái tới hạn để từ đó tính được lực tới hạn của thanh bị nén
bằng công thức (6).
Hàm xấp xỉ được sử dụng để mô tả gần đúng đường đàn hồi của thanh tại trạng
thái tới hạn khi thanh đã bị cong đi. Hàm xấp xỉ có thể sử dụng một trong hai dạng cơ
bản là đa thức và chuỗi lượng giác. Ở đây hàm độ võng sẽ được giả định là một đa
thức bậc cao vì đa thức là một hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm, việc
tính giá trị cũng đơn giản. Bậc và số lượng các số hạng các đa thức không bị hạn chế.
Đa thức xấp xỉ của hàm độ võng có thể tổng quát như sau:

2
0 1 2
( )

(8)
Trong đó:
P
th
là lực tới hạn của thanh được xác định bằng công thức (6).
EJ
x
là độ cứng chống uốn của thanh theo phương biến dạng.
Để hàm xấp xỉ độ võng v(z) thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản (8), ta sử
dụng phương pháp bình phương tối thiểu. Với mọi giá trị của z trong miền xác định
của hàm xấp xỉ các tham số a
i
của hàm đảm bảo sao cho tổng bình phương vế trái của
(8) ứng với các giá trị khác nhau của z trong miền xác định của hàm xấp xỉ
2
[ (8)]VT
∑

phải đạt cực tiểu với điều kiện ràng buộc của thanh.
Có thể phát biểu bài toán tối ưu hóa xác định các tham số của đa thức xấp xỉ
12
hàm độ võng như sau:
Hàm mục tiêu: f(a
i
)=
2
[ (8)]VT
∑
=> min.
Biến số: a

Biến và tham số (Changing Cells). Địa chỉ của các ô trong bảng tính Excel ghi
trong khung Changing Cells xác định các biến của hàm mục tiêu. Giá trị các biến này
13
2
0 1 2
( )
n
n
v z a a z a z a z
= + + + +

sẽ bị thay đổi để đạt được giá trị hàm mục tiêu mong muốn.
Ràng buộc (Constraints). Trong quá trình biến đổi các biến số để đạt được giá
trị hàm mục tiêu mong muốn, các biến hoặc các tham số của bài toán phải thoả mãn
những quan hệ ràng buộc nhất định nào đó. Các ràng buộc này được mô tả trong
khung Subject to the Constraints. Việc thêm vào, thay đổi hay loại bỏ bớt đi một ràng
buộc được thực hiện nhờ các chức năng Add, Change hay Delete.
Hình 10. Solver Parameters Hình 11. Solver Options
Các lựa chọn trong hộp thoại "Solver Options" được thể hiện trong hình10.
Độ chính xác (Constrain Precision). Con số nhập vào ô này xác định giá trị
tính toán của vế trái ràng buộc phải xấp xỉ phù hợp với vế phải như thế nào để các ràng
buộc được thoả mãn. Độ chính xác không nên nhỏ quá và không nên lớn quá. Thông
thường nằm trong phạm vi 1.0E-6 đến 1.0E-4.
Sử dụng tỷ lệ tự động (Use Automatic Scaling). Khi khung này được đánh
dấu, Solver sẽ cố gắng định tỷ lệ giá trị hàm mục tiêu và ràng buộc để giảm thiểu ảnh
hưởng của mô hình có các đại lượng với giá trị độ lớn khác biệt.
Hiển thị kết quả bước tính lặp (Show Iteration Results). Khi chức năng này được
lựa chọn, kết quả từng bước lặp sẽ được hiển thị trong bản tính của Solver.
Thời gian tính lớn nhất (Max time).Giá trị trong khung Max Time xác định
thời gian lớn nhất tính theo giây để Solver sẽ chạy trước khi dừng. Thời gian này bao

z d(z) J
x
(z) EJ
x
(z) v(z) v’(z) v”(z) v”’(z) v””(z) VT(8)
2
0 … …. … …. … …… …… ……. …….
… …. … …. … …… …… ……. …….
z
i
… …. … …. … …… …… ……. …….
… …. … …. … …… …… ……. …….
l … …. … …. … …… …… ……. …….
Hàm mục tiêu f(a
i
)
2
[ (2)]VT
∑
Điều kiện biên của thanh chịu nén có một đầu liên kết khớp một đầu liên kết lò
xo phi tuyến
( )N f= ∆
có.
15
Tại z = 0 ta có:
M(0) = - EJ
x
v”(0). = 0
v(0) = 0
Tại z = l ta có:

Đa thức xấp xỉ: V(z)= a
0
+ a
1
z+a
2
z
2
+a
3
z
3
+a
4
z
4
+a
5
z
5
Hình 13. Thanh bị nén 2 đầu liên kết khớp
Bảng 3. Kết quả tính toán thí dụ 01
a
0
a
1
a
2
a
3

đúng.
- Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho thấy
đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như là đường
cong bậc 3. Do đó không cần phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá cao.
17
2. Tính toán ổn định của thanh tròn có liên kết dị hướng
Thí dụ 02: Tính lực tới hạn của thanh tròn có 1 đầu liên kết khớp, 1 đầu liên kết
lò xo đàn hồi dị hướng
Bảng 4. Số liệu tính toán thí dụ 02
Sơ đồ thanh 1 đầu khớp 1 đầu lò xo
Chiều dài thanh l 200 cm
Đường kính d 4cm
Vật liệu thanh Thép
E 2000000 daN/cm
2
Độ cứng chống kéo k
+
1500 daN/cm
Độ cứng chống nén k
-
500 daN/cm
Quy ước đơn vị
Chiều dài: cm
Lực : daN
Đa thức xấp xỉ: V(z)= a
0
+ a
1
z+a
2

140 12.57 52.79 -0.53 -0.01 0.00 0.00 1.80E-14
160 12.57 39.93 -0.75 -0.01 0.00 0.00 3.22E-13
180 12.57 23.41 -0.89 -0.01 0.00 0.00 2.40E-12
200 12.57 4.83 -0.95 0.00 0.00 0.00 7.91E-12
Hàm mục tiêu f(a
i
)= 1.51E-10
Kết quả cho thấy với liên kết như trên lò xo chịu kéo thanh sẽ bị mất ổn định với lực
nén lớn hơn 6201.496 daN.
Giả sử thanh bị phá hoại theo chiều lò xo chịu nén.
Hình 15. Thanh mất ổn định về phía lò xo chịu nén
Bảng 6. Kết quả tính toán trường hợp lò xo chịu nén
a b c d e g Pth
0 0.998882 0 -3.9E-05 5.34E-08 1.3E-10 6131.312
19
z Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)
2
0 12.57 0.00 1.00 0.00 -0.0002 1.28E-06 1.64E-12
20 12.57 19.68 0.95 0.00 -0.0002 1.59E-06 2.79E-13
40 12.57 37.63 0.83 -0.01 -0.0002 1.91E-06 4.93E-15
60 12.57 52.36 0.63 -0.01 -0.0001 2.22E-06 2.33E-13
80 12.57 62.68 0.39 -0.01 -0.0001 2.53E-06 4.59E-13
100 12.57 67.78 0.12 -0.01 0.0000 2.85E-06 3.92E-13
120 12.57 67.22 -0.17 -0.01 0.0000 3.16E-06 8.76E-14
140 12.57 61.03 -0.44 -0.01 0.0001 3.47E-06 1.17E-13
160 12.57 49.76 -0.68 -0.01 0.0002 3.79E-06 1.74E-12
180 12.57 34.49 -0.84 -0.01 0.0003 4.10E-06 7.12E-12
200 12.57 16.93 -0.90 0.00 0.0003 4.41E-06 1.95E-11
Hàm mục tiêu f(a
i


Quy ước đơn vị
Chiều dài: cm
Lực : daN
Đa thức xấp xỉ: v(z)= a
0
+ a
1
z+a
2
z
2
+a
3
z
3
+a
4
z
4
+a
5
z
5
20

Hình 15. Thanh chịu nén có liên kết lò xo phi tuyến với
( )N f
= ∆


12.57
37.523 -0.535 -0.0065 0.00016 -4.4E-07 4.79E-12
160
12.57
25.743 -0.632 -0.0033 0.00014 -1.9E-06 7.96E-12
180
12.57
12.604 -0.674 -0.001 8.83E-05 -3.4E-06 1.34E-11
200
12.57
-0.975 -0.681 0 5.63E-06 -4.9E-06 2.37E-11
Hàm mục tiêu f(a
i
)=
1.42E-09
Nhận xét: Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết
quả tính cho thấy đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này
gần như là đường cong bậc 3. Do đó không cần giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá
cao.
V. Kết luận
21
Như vậy nghiên cứu đã xây dựng được một phương pháp tính ổn định thanh
chịu nén có liên kết phi tuyến dựa trên phương pháp năng lượng với sự hỗ trợ của hàm
solver để tìm lời giải cho bài toán.
Thuật toán và chương trình tính đã được kiểm chứng qua thí dụ tính toán đơn
giản và so sánh với phương pháp Ơ le với sai số nhỏ.
Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong công tác tính toán thiết kế ổn
định các cấu kiện công trình chịu nén, đồng thời đây cũng là tài liệu tham khảo thú vị
cho các nghiên cứu về bài toán ổn định của thanh và hệ thanh chịu nén.
Tài liệu tham khảo