BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
ĐẶNG THỊ THANH HUYEN
QUY TẮC NHÂN TỬ HÓA MỜ CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ RÀNG
BUỘC VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN
VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tác giả đã nhận được sự
động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp, người thân, của các thầy giáo, cô giáo
Khoa Toán, các thầy, cô phòng Sau đại học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn tất cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn thành Luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS. Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng và chỉ bảo tận
tình để tôi có thể hoàn thành Luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, 20 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng em.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này em đã tham khảo một số tài liệu đã
ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu
có ràng buộc và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Đặng Thị Thanh Huyền
Hà Nội, 20 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả
Đặng Thị Thanh Huyền
Mục lục
Một số kiến thức chuẩn bị
Một số khái niệm về không gian Banach

2.
2.2.
1.
2.2
.
2.
5
4
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi những
nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ kiện
không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ kiện chỉ nửa liên tục.
Cho tới nay đã có nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đã được đưa ra và
thường được gọi dưới cái tên “dưới vi phân” như: dưới vi phân suy rộng của
Clark, dưới vi phân Préchet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy
rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra. Tuy nhiên vẫn còn rất
nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu và khai thác. Đặc
biệt là việc mở rộng các tiêu chuẩn, quy tắc đã biết đối với đạo hàm cổ điển
sang cho các đạo hàm suy rộng này.
Toán học tính toán là để tìm ra cái “tối ưu” nhằm phục vụ con người. Một
trong những bài toán tối ưu quan trọng nhất là tìm cực trị có điều kiện của một
hàm vô hướng. Đối với trường hợp hàm mục tiêu và các ràng buộc trơn,
Lagrange đã cho chúng ta một quy tắc nhân tử hóa rất tuyệt vời để chuyển bài
toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự do. Vấn đề đặt ra là khi hàm mục
tiêu và các dữ kiện không trơn, nói cách khác là khi sử dụng dưới vi phân thì
quy tắc nhân tử hóa sẽ là như thế nào?
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề tài
nghiên cứu:
“Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc

trong X

lần lượt là các tập hợp
BỴ

£ X :

||a;|| < 1}, SX ■— {X & X :

||a;|| = 1}.
Ví dụ
1.1
(P3,L3J,L8J)- Ta có:
1. Không gian tuyến tính với chuẩn ||zỊỊ = X
)*=1
I
X

I\

là không gian Banach.
2. Cho Q

c là tập con đo được Lebesgue. Khi đó không gian tuyến tính L

P

(ÍÌ)
1

^

là
không gian Banach. Không gian tuyến tính L°°

(ri) tất cả các hàm số thực
đo được X — X(T

) trên sao cho esssup
n
|a:(í)| <
+00
với chuẩn ||a;|| = sup
n
|
rc (í) Ị là không gian Banach.
3. Không gian tuyến tính l
p
(1 < p < 00
) tất cả các dãy số thực X =
00
\
1
/p (X(I))


và gọi là KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU

của X.

Nếu
X* £ X*

và X G X

thì giá trị của X* tại X được kí hiệu là (X*,X).
Định lý 1.2 (ỊJ|, Định lý 2.6, trang 78 ). Không gian đối ngẫu X* của không
gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi
là một không gian Banach.
Ví dụ 1.3 (P, trang 108, 110). Không gian đối ngẫu của L

P

(ÍÌ), Ỉ

P

(1 < P < 00
)
lần lượt là không gian L

Q



của không gian định chuẩn X

và kí hiệu X**. Như vậy
X** = (X*)*.
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là KHÔNG GIAN PHẢN XẠ,
nếu X = X**.
Ví dụ 1.6 (IU [
8
]). Các không gian L

P

(1 < P

<

00
) là các không
gian phản xạ.
Theo Định lý L2, nếu X

phản xạ thì X

là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach X

được gọi là tách được nếu nó có một
tập con đếm được trù mật.
Ví dụ 1.8 ([
=
Sỉ ||fc||
Khi đó A

được gọi là ĐẠO HÀM FRÉCHET

của / tại X và kí hiệu là
DF(X

) hay v/(x).
Khi Y =

R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi một phần tử
của X*

€ X*

và biểu thức định nghĩa thường được viết là:
9
1- II f(x + h)-f(x)

- (x*,h)

II
=
Í-S \\h\\
Định nghĩa 1.10 Q9J, trang 2). Ta nói chuẩn ||.|| của X


2
là hàm khả vi Fréchet tại mọi X £ H.

Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp ta
có ||.|| khả vi tại mọi X

ф

0 và
D ||ж|| = -—-, ĩ / o .
\\x\\
Định lý 1 . 1 2

(Smulyan, [9J, Định lý 1.4, trang 3). Cho (X, ||.||) ỉà không gian
Banach với không gian đối ngẫu X*. Khi đó chuẩn ||.|| khả vi
Fréchet tại X G Sx khi và chỉ khi với mọi dẫy fn,g
n
£ Sx-, fn{
x
) 1
và g
n
(x) ->• 1

ta đều cóII f
n
- g
n
II ->• 0


= N,
1
sign(:r(i)), nếu ỉ ^ n
*i
—
1
, nếu I

=

N.

Khi đó F

N

(X)

1 ,G

N

(X)

-» 1 và ||/
n
-
0
n|lỉ» = 2. Theo Định lý 1.12
chuẩn trên L


là không gian có chuẩn trơn
Eréchet. Hơn nữa chúng ta cũng xét các hàm với giá trị thực mở rộng, tức là có
giá trị trong M : = l u

{+oo}.
Cho hàm / : X

—»■ M. Ta gọi
dom/ := {a? € X : F(X

) G M},
epi/ := {(x, Ằ) Gi X E : ĩ Ẽ I, Ằ > F{

X

)}
1
tương ứng là MIỀN HỮU HIỆU

và TRÊN ĐỒ THỊ

của /.
Hàm / được gọi là CHÍNH THƯỜNG

(proper) nếu dom/ Ỷ

0-
Định nghĩa 1.16 ([
8

)-
Hơn nữa ta có:
e) Nếu fi, / 2

nửa liên tục dưới thì / 1

+ / 2

cũng nửa liên tục dưới.
f) Nếu (fi)iei là một họ các hàm l.s.c. thì fix) = sup i
€
j fi{x) củng
Ỉ.S.C
g) Nếu f l.s.c. và E с X là tập compact thì f đạt giá trị lớn nhất trên E.
Ví dụ 1.18. i) Mọi hàm liên tục đều nửa liên tục dưới.
ii) Hàm
nửa liên tục dưới khi và chỉ khi A <

4.
Định nghĩa 1.19 (Ịl
6
j, Định nghĩa 1.3). Cho / : X

—► R là hàm I . S . C . , S

c
X

là tập con đóng. Ta nói, / là DƯỚI KHẢ VI FRÉCHET


Định lý 1 .2 0

([ÕJ, trang 5). Cho X ỉà không gian Banach với chuẩn
trơn Fréchet, f là hàm l.s.c. trên X. Khi đó X* ẽ D~ f(x) khi và chỉ
khi
II /i II —
0
H
Nhận xét 1.21. Khái niệm d ư ớ i

vi phân trong Định nghĩa | 1 . 1 9 |

được gọi
là định nghĩa theo nghĩa nhớt. Định lý|l.20|cho thấy, trong lớp không gian
Banach với chuẩn trơn Eréchet thì định nghĩa đó tương đương với định nghĩa
d ư ớ i

vi phân theo giới hạn trong Ị[TQj. Do vậy theo ỊỊTÕ] chúng ta có rất
nhiều tính chất của dưới vi phân Préchet, mối liên hệ của dưới vi phân Fréchet
và các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Gâteaux, d ư ớ i

vi phân
Clarke, Chẳng hạn
i) Nếu / khả vi Préchet tại X thì D~ F{X)

= {DF(X)};
ii) Nếu / lồi trên X

thì
D~F(X


là không gian Hilbert và F(X

) = |[жII thì ta cũng có
{{ĨPĨĨ-Ị , nếu X ^ 0
I i - Ư - "
B ỵ , nếu X = 0.
Định lý 1.23 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss,[fíJ, Định lý 1.6).
CHO F : X —¥

R L.S.C,

E >

0 VÀ X >

0. GIẢ SỬ

И

£ X THOẢ MÃN:
F(U

) < E +

inf /.
X
Khi đó tồn tại c
1
- hàm lồi g trên X và V G X sao cho:

n
,n = 1,N và Æ* € D~ fn(x
n
) thỏa
mãn
1
{
N
y ^ ỉ n i V n ) : diam(yi,Удг) < Г ]
n=
1
>
N
0

e ^ x*
n
+ E B X *.
n= 1
Nhận xét 1.26. Các điều kiện /i, : X

— >

R là các hàm bị chặn
dưới và
' N
£/n(v») ■

diamY



= ^{Ì}^) cũng không thỏa mãn quy tắc tổng mờ
không địa phương bởi vì thiếu điều kiện
lim inf {/1(2/1) + /2(2/2) : \ \ Y I

— 2/2II < r/} < 00.
77— > 0
Kết quả (1.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự
như trong quy tắc tổng mờ địa phương. Tuy nhiên, kết quả (1.1) chỉ cho
chúng ta biết các điểm X

N

là gần nhau, điều này khác với quy tắc tổng mờ địa
phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần với điểm cực
tiểu của tổng (với một số giả thiết bổ sung). Lưu ý rằng, kết quả (1.1) còn cho
phép ta kiểm soát “cỡ” của các dưới đạo hàm tham gia trong
tổng. Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng. Kết luận (1.2) cho ta
điểm tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới. Trong các ứng dụng, điều
này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm X

N

.

Ta
sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau.
1
> < 00
(1.

= X và do đó X i phải thuộc phần trong của X
+ B
x
nên D ~ f i ( x i ) = D ~ f ( x 1). Chứng tỏ, dom( D ~ f ) trù mật
trong dom/.
Đây là một kết quả khá mạnh. Cụ thể vì dưới đạo hàm của hàm lõm tự
động là đạo hàm nên từ đây suy ra các hàm lõm liên tục trên các không gian
trơn Fréchet là khả vi Fréchet trù mật.
Tiếp theo ta đề cập tới QUY TẮC TỔNG MỜ ĐỊA PHƯƠNG

, một kết
quả quan trọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng
các quy tắc tính dưới vi phân. Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa
phương cần phải có các giả thiết bổ sung.
Định nghĩa 1.28 (Nửa liên tục dưới đều, [i
6
J, Định nghĩa 2.4). Cho /i) Ỉ N ' ■
X —■► là các hàm nửa liên tục d ư ớ i

và E là một tập con đóng của X.

Ta nói
bộ (/
1
, là NỬA LIÊN TỤC DƯỚI ĐỀU TRÊN
E

nếu
N
inf yZfni

lim inf
Nhận xét 1.29. Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ (/i, /jv) là nửa liên tục
dưới đều địa phương tại X là
(a) Tất cả, chỉ trừ ra một trong các hàm f
n
liên tục đều trong một lân cận của X]
(b) Có ít nhất một trong các hàm F

N

có các tập mức compact trong một lân cận của
X.
Định lý 1.30 (Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh, [
6
J, Định lý 2.6). CHO

/i,
F

N

: X

—> M LÀ CÁC HÀM NỨA LIÊN TỤC DƯỚI. GIẢ SỨ

(/i, /jv)
NỨA LIÊN
N
tục dưới đều địa phương tại X và fn đạt cực tiểu địa phương tại X. Khi
n= 1

—>■ M LÀ CÁC HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI. GIẢ SỬ

X* €
U-(EỈLi fn){x). Khi đó với bất kì E > 0 và bất kì lân cận yếu * V của
1
x
<
0 trong X*, đều tồn tại x
n
€ X + sB, x *
n
€ D fn(x
n
),n = sao
CHO

IFN{X

N

) - FN{X

)I < e, IKIIdiamda:!, ,^}) < £, N =

1,2, ,7V VÀ
Định nghĩa 1.32 (Tính nửa liên tục dưới đều theo dãy, [6], Định nghĩa 2.9). Cho
/i, '■

X



oo, tồn tại một
dãy {U

R

}

các phần tử thuộc hình cầu sao cho \\X

N R

— U

R

\\

—>•
0
và
N
lim inf Ỵ] {FN{X

N R

) - FN(U

r
)) >

A:= {E

K

/L:K,L= 1
,
2
, } u {
0
},
B := {{e
k
+
ei
/k)/l : k,l — 1,2, } u {0}.
Khi đó cả A

và B

đều là các tập con đóng và A

n B

= {0}. Đặt /i := ỎA

và /2 :=
Ỗ

2

R

= (e
r
+ ei/ R ) / L

thì ||a:
lr
— £27-11 —>• 0
và F I (

X

I R

) = /2(^2 R )

= OVr. Nếu U

R

là dãy sao cho \ \ X

N R

— U

R

) ) =

-00 < 0.
r— ÌOC
ể

^
71=1
Tuy nhiên, (/1, /2) là nửa liên tục dưới đều địa phương, theo Định nghĩa
1.28 bởi vì vế phải luôn không âm trong khi vế trái bằng 0.
Ví dụ 1.34. Lấy X := l
2
và e ỵ là một cơ sở trực chuẩn trong X . Khi
đó X € X

có thể biểu diễn duy nhất X = 'Y^

=

IX{K)E

K

.

Đặt P

N

(X

00
là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng 2.
Đặt F

N

=

{X :

ỊỊa^ll < 3, X(I

) >
0
và X(I

) =
0
khi I

mod 3
7
^
0
và
khi I

< 3N}.

Ta xét hai hàm

Ж
nếu
X
=
^е
3 п
_
2
+
Y,Y
&
F

N

;

nếu
trái
lại.
\
R
õ
ràng
dom/
i П
dom
/2 =
{0}
nên

—7
vì II
• Il^
là
Lips
chitz
với
hằng
số
Lips
chitz
bằng
2.
B
ây
giờ
chún
g ta
chỉ
ra
/1
là
nửa
liên
tục
d ư ớ
i .
Giả
sử
X

e ^ k
_1 +
K
n

n
Y

N

,Y
N

E
F

K N

.
Do
K

N
->
00
và
Y

N
-> 0