Bài tập lớn quá trình ngẫu nhiên
Đề 9: tìm hiểu về Random Walk (bước ngẫu nhiên) và ứng
dụng
mục lục
 Random Walk (Nguyễn Trí Quân)
 Chuyển động Brown
 Brown motion (Nguyễn Anh Tuấn)
 Quá trình Winer (Phí Bá Thành)
 nhiễu nhiệt
 tổng quan ( Việt Hà )
 Định lý NYQUYT (Nguyễn Tiến Đông)
1. Random Walk, Brownian motion,Thermal noise
a) Định nghĩa.
Ta tung một đồng xu cân đối sau mỗi T giây và sau mỗi lần tung chúng
ta ngay lập tức được một bước của đường cần vẽ trên đồ thị, lên trên
nếu tung được mặt ngửa (h)), đi xuống nếu được mặt sấp(t). Quá trình
bắt đầu từ t = 0 và vị trí của chúng ta ở thời điểm t là một hàm bậc
thang với các điểm gián đoạn ở thời điểm t = nT. (Figure 11.1).
Do đó chúng ta đã tạo được một quá trình ngẫu nhiên rời rạc x(t) mà
có các mẫu x(t, ζ ) phụ thuộc vào trình tự cụ thể của mặt sấp và ngửa.
Quá trình này được gọi là random walk(Bước ngẫu nhiên).
Định nghĩa: Bước ngẫu nhiên là quá trình ngẫu nhiên rời rạc mà có các
mẫu độc lập với nhau.
Giả sử rằng ở n lần tung đầu tiên chúng ta quan sát được k mặt
ngửa và n-k mặt sấp. Trong trường hợp này, bước đi của chúng ta bao

gồm k bước lên trên và n-k bước xuống dưới. Do đó vị trí của chúng ta
ở thời điểm t = nT là :
x(nT) = ks – (n-k)s = ms m= 2k –n
Do đó x(nT) là một RV (Radom Variable) tamg giá trị ms, với m = n, n-2,
…, -n. Hơn thế nữa:

T) – x(n
3
T) và
x(n
2
T) – x(n
1
T) là độc lập
b) Quá trình Winner:
Chúng ta se xét giới hạn của bước ngẫu nhiên khi n tiến tới vô cùng hay
tương đương với T-> 0. Như chúng ta đã biết:
Do đó để kết quả có nghĩa chúng ta giả sử s hội tụ về 0 tương đương
với
Giới hạn của hàm x(t) khi T-> 0 là một quá trình liên tục (Fig 11.1 b)
được gọi là quá trình Winner.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm mật độ f(w, t) của w (t) là thông
thường với nghĩa 0 và không đúng

(11-4)
c)Tổng quát về bước ngẫu nhiên:

Bước ngẫu nhiên có thể viết thành một tổng:
Trong đó biến ngẫu nhiên mang giá trị s hoặc –s với xác suất như nhau.
Trong trường hợp tổng quát thì biến ngẫu nhiên c
k
nhận giá trị s hoặc
–s với xác suất tương ứng là p và q. Trong trường hợp này thì:
Từ đó ta có:
Với n lớn và quá trình x(t) là không thông thường với
2. Chuyển động Brown

(11.12)
Như vậy với 1 t cụ thể, x(t) là một biến ngẫu nhiên chuẩn với trung
bình =0 và phương sai . Do đó hàm mật độ là :
(11.13)
Hàm mật độ có điều kiện của x(t) giả sử là 1 đường cong với trung
bình là và phương sai P, với :
b) Chuyển động tự do:

ta nói 1 hạt chuyển dộng tự do nếu như lực tác động vào nó bằng 0.
Trong trường hợp này thì phương trình trong 11.9 có dạng
(11.14)
Giải pháp cho phương trình này không phải là 1 quá trình tĩnh. Chúng
ta sẽ diễn tả no trong thuật ngữ của vận tôc v(t) của hạt. Với ta có :
(11.15)
Lời giải của phương trình này là 1 quá trình ngẫu nhiên với
(11.16)
Từ đó v(t) là 1 quá trình chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai ,
hàm mật độ là :
(11.17)
Hàm mật độ có điều kiện của v(t) giả sử là chuẩn với trung bình và
phương sai P thỏa mãn :
Trong vật lí (11.15) được gọi là định lí Langevin, lời giải của nó là quá
trình Ornstein-Uhlenbeck, và phổ của nó là Lorenzian.
Vị trí x(t) của hạt là tích phân vận tốc của nó :
(11.18)
Từ đó ta tính được :
Do đó :
(11.19)
Như vậy vị trí của 1 hạt trong chuyên động tự do là 1 quá trình chuẩn
nhưng không tĩnh với trung bình bằng 0 và phương sai là vế phải của

x
R t t t t
α
=
(11-22)
Từ (11-22), nếu
1 2
t t
<
thì:

Do đó vị trí của một hạt chuyển động với gia tốc không đáng kể có các
thuộc tính sau đây:
+ Nó là quá trình chuẩn với trung bình bằng 0, phương sai
t
α
và tự
tương quan
1 2
min( , )t t
. Đó là một quá trình với gia số độc lập.
+ Một quá trình với các đặc tính như vậy gọi là quá trình Wiener. Như
vậy, nó là mẫu giới hạn vị trí của một hạt trong chuyển động tự do khi

t
→ ∞
,và là mẫu giới hạn của quá trình chuyển động ngẫu nhiên khi
n
→ ∞
.

Phương trình này được gọi là phương trình khuếch tán.
Nó được thiết lập lại ở Sec. 16-4 trong phạm vi quá trình Markoff.
3. nhiễu nhiệt (Thermals noise)
a) tổng quan
nhiễu nhiệt là loại nhiễu gây ra bởi hiện tượng chuyển động của các
electron do nhiệt độ trong vật dẫn. Loại nhiễu này có trong mọi thiết bị
điện tử và các môi trường truyền dẫn. Nó là một hàm của nhiệt độ.
Nhiễu nhiệt được phân bố một cách đồng đều trên toàn bộ trải phổ tần
số và do đó người ta gọi nó là “nhiễu trắng” (white noise).
Không thể nào loại trừ hay hạn chế được loại nhiễu này và do đó nó
nằm phía ngoài biên của hiệu năng của các hệ thống truyền thông.
Lượng nhiễu nhiệt có trong 1 Hz dải thông của bất kỳ một vật dẫn nào
đều được tính theo công thức: N0 = kT
Trong đó:
N0 là độ đo cường độ nhiễu, đơn vị: watts/hertz.

k là hằng số Boltzmann = 1.3803 x 10-23 J/0K
T là nhiệt độ, tính bằng độ đo Kelvin.
Theo công thức trên, ta thấy nhiễu nhiệt phụ thuộc vào tần số. Do đó,
đối với một tín hiệu có dải thông là W (Hz) thì cường độ nhiễu nhiệt tác
động vào tín hiệu sẽ là:
N=k T W (watts/Hz)
Nếu tính theo đơn vị decibel-watts thì:
N = 10log k +10logT +10logW = −228.6 dBW+10logT +10logW
Tiếp theo ta thảo luận về các đặc tính thống kê của nhiễu nhiệt bỏ qua
các tính chất vật lý cơ bản. Phân tích được dựa trên một mô hình bao
gồm các phần tử phản kháng không có nhiễu và các điện trở có nhiễu.
Một điện trở có nhiễu được mô hình hóa bởi một dãy điện trở không
nhiễu R mắc nối tiếp với một nguồn điện áp n
e

với một ví dụ
Ví dụ: Mạch điện trong hình dưới đây bao gồm một điện trở và một tụ
điện. Chúng ta sẽ quan tâm đến phổ của điện áp v(t) trên tụ điện gây
bởi nhiễu nhiệt. Điện áp v(t) được xem như đầu ra của một hệ thống
với đầu vào là điện áp nhiễu n
e
(t) và hàm hệ thống:
H(s)=

Áp dụng công thức (10-136) ta có
222
2
1
2
|)(|)()(
TR
kTR
HSS
e
nv
ω
ωωω
+
==
RC
v
e
C
KT
R

)(Re2)(
ωω
jZkTS
v
=

222
1
)(Re
CR
R
jZ
ω
ω
+
=
)()(
ττ
kTzR
v
=

0
>
τ

)0()0(
+
=
kTzR

(11-27)
(Hình 11-5)
R
kT
S
i
n
2
)(
=
ω

)(
)(
)(
ω
ω
ω
I
V
H
=

R
H
jZ
2
|)(|
)(Re
ω

|)(|
|)(|
2
2
2
ω
ω
ω
ω
jZR
I
V
H
==
Và (11-27) là kết quả, bởi vì:
2
|)(|)()(
ωωω
HSS
i
nv
=

R
kT
S
i
n
2
)( =

ω
jZj
C
∞→
=
(11-29)
Với C là điện dung đầu vào.
Chứng minh:
Như ta biết ( giá trị định lý ban đầu):
)(lim)0( ssZz
=
+

∞→
s
và công thức (11-29) được suy ra từ (11-28) bởi vì:
)0()0()}({
2
+
==
kTzRtvE
v

Dòng hiện hành: Theo định lý Thévenin, cuối cùng, một mạng lưới bị
nhiễu là tương đương với một mạng không nhiễu với trở kháng Z(s)
mắc nối tiếp với một điện áp nguồn V(t). Phổ năng lượng S
v
( của v(t) là
vế phải trong công thức (11-27). Điều này dẫn tới biến thể của định lý
Nyquist:

 Mô phỏng với Mathlab

Phần này ta sẽ mô phỏng dao động của 1 hạt trong chuyển động
Brown
 Chuyển động Brown 1 chiều:
ta chỉ giới hạn xét chuyển động của hạt trên tọa độ 1 chiều không
gian 1 chiều thời gian. Hình dưới cho kết quả độ dời của hạt so với
vị trí trước đó. Code:
N = 1000;
% N là số lượng mẫu
displacement = randn(1,N);
% displacement: vector
chuyển vị
% ngẫu nhiên kích thước 1*N
plot(displacement);
•  !"#$!%!&!'()*+(
hist(displacement, 25);

• )$!,-*.!,/0(1,+*'++!2$!,-
,/0#3&!4/05#36!7!8'9$1
:%*;#3<.',/0"2=,-7!8
'9$#,+(*+(
x = cumsum(displacement);
plot(x);
ylabel('position'); %nhãn của Oy
xlabel('time step'); %nhãn của Ox
title('Position of 1D Particle versus Time'); %tiêu đề

 Mở rộng ra chuyển động 2 chiều:
2>?!$!%!-#.(@A!@A!,B