ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ BÍCH THẢO
PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội- Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình
hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa
học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan
tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên
cứu tại Khoa.
Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học
vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận văn.
Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trƣờng Đại
học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
nghiên cứu của tác giả.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,
những ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận
văn này.
Tác giả
Đào Thị Bích Thảo
MỤC LỤC
TỔNG QUAN 1
Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản 3
1.2. Phép biến đổi tọa độ 5
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các 5
1.2.2. Hệ tọa độ cong 7
phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng -
chuyển vị. Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa
độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các
giáo trình cơ học nói chung thƣờng chỉ nêu ra trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ
thức Côsi mà không nói rõ các bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi
của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phƣơng
trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phƣơng trình cân bằng- chuyển động trong
hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu đƣợc các
phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng nhƣ hệ phƣơng trình cân bằng
trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
- Chƣơng 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính
của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời
tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric
hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé
trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc
xác định các phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến
dạng- chuyển vị ở chƣơng 2.
2
- Chƣơng 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phƣơng trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phƣơng trình liên hệ
biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài
toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.
Nội dung của luận văn sẽ đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây:
3
Chƣơng 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
,
12
,
13
,
21
,
22
,
23
,
31
,
32
,
33
.
Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lƣợng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Nhƣ
phụ thuộc
vào một chỉ số nên
là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử.
phụ thuộc vào 2
chỉ số(, ) nên
là hệ thống hạng 2 bao gồm 3
2
Xét hệ thống hạng hai
Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay
đổi dấu giá trị thì hệ thống
gọi là hệ thống đối xứng.
=
.
4
Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu
mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống
là hệ thống phản đối xứng.
=
.
Ví dụ hệ thống Kronecker
=
1 ,
0 ,
Cụ thể:
123
=
231
=
312
= 1 ,
132
=
213
=
321
= 1,
Cách thành phần còn lại của
= 0.
Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số.
Hệ thống hạng hai
gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.
Hệ thống hạng hai
gọi là tenxơ phản biến hạng hai.
Hệ thống hạng hai
gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai
=
(
1
,
2
,
3
) là véctơ bán kính của
điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác.
Véc tơ
đƣợc biểu diễn dƣới dạng
=
1
1
+
2
2
+
=
+
=
. (
= 0)
2
là độ dài bình phƣơng vô cùng nhỏ của
2
=
là các véctơ đơn vị và
trực giao nên tích vô hƣớng
.
=0 nếu ,
.
= 1 nếu = nên
.
=
.
Suy ra:
2
=
.
=
trong hệ cơ sở
.
Phép cộng
+
=
+
=
+
=
1
2
1O
Hình 1.
6
=
=
.
=
=
=
1
1
+
2
2
+
3
3
.
Nhân véctơ
3
3
2
1
+
3
1
1
3
2
+
1
2
2
=
1
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
1
1
3
2
+
1
2
2
1
3
.
Tích hỗn hợp
=
=
=
1
2
3
1
3
2
2
1
1
+
3
1
2
1
3
2
2
1
3
3
2
1
.
Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là )
1
2
+
1
3
1
3
+
2
1
2
1
+
2
2
2
2
+
3
b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng đƣợc thực hiện tƣơng
tự nhƣ đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng đƣợc với các tenxơ cùng hạng và cùng
loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : =
7
Phép cộng
+
=
.
Phép nhân vô hƣớng
.
=
.
.
=
=
.
Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các
phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dƣới vẫn là chỉ số dƣới, chỉ số trên vẫn là chỉ số
trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong
1
,
2
,
3
với hệ véc
tơ cơ sở
1
,
2
+
2
2
+
3
3
=
. (1.2)
Lấy điểm
+
là lân cận của điểm
.
Hình 2
8
Độ dài bình phƣơng của véc tơ vô cùng nhỏ
đƣợc xác định bằng
2
=
.
=
=
và
=
=
Phép cộng, trừ
=
=
=
.
=
.
=
.
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ
Bán kính
của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác
2
+
3
3
.
Với các véc tơ cơ sở
là không đổi.
Trong tọa độ cong
1
,
2
,
3
bất kỳ, các biến
liên hệ với tọa đồ Đề các
trong
miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị.
=
1
,
0.
Ta có:
=
=
1
1
là nghịch đảo của nhau.
Ta kí hiệu :
9
1
=
1
;
2
=
2
;
3
=
,
2
,
3
thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là
hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó
1
là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ
1
;
2
là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ
2
;
3
là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ
3
.
Cùng với hệ véctơ cơ sở
, ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến
liên hệ theo hệ
thức sau
=
1
1
+
2
2
+
3
3
1
,
2
,
3
sang hệ tọa độ cong khác
1
;
2
;
3
.
=
=
=
(1.6)
Thay
ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
Khai triển cụ thể sẽ đƣợc kết quả:
1
=
1
1
1
+
2
1
2
+
3
2
3
(1.8)
3
=
1
3
1
+
2
3
2
+
=
=
=
2
+
3
1
3
2
=
1
2
3
=
1
3
1
+
2
3
2
+
.
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ không đổi.
Biểu diễn với các thành phần phản biến
=
.
=
.
=
=
=
(1.11)
Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:
11
1
=
1
1
1
+
1
2
2
2
3
3
(1.12)
3
=
3
1
1
+
3
2
2
+
3
.
=
=
từ đó suy ra
=
1
3
,
2
=
1
2
1
+
2
2
2
+
3
3
.
Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng:
=
=
=
.
Trong đó
là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ.
là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ.
12
=
=
=
=
22
,
33
,
12
,
13
,
21
,
23
,
31
,
32
.
Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần
11
ta sẽ đƣợc
1
1
1
3
13
+
1
2
1
1
21
+
1
3
1
1
31
+
1
3
1
2
32
+
1
22
+
1
3
2
33
+
2
1
1
1
2
12
+ 2
với chú ý là
12
=
21
;
13
=
31
;
23
=
32
.
Nếu biểu diễn dƣới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
=
.
.
=
.
.
.
.
=
. (1.17)
Hệ thống
gồm có 9 phần tử
11
,
12
,
13
,
21
,
22
,
23
.
Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ đƣợc:
22
=
1
2
2
11
+
2
2
2
22
+
3
2
13
+
2
2
3
2
23
.
Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
=
=
.
.
=
.
Vậy:
=
.
=
.
có thể biểu diễn thông qua
hệ véctơ cơ sở
và ngƣợc lại.
Ví dụ:
1
=
1
1
+
2
2
+
3
3
, (1.19)
Nhân cả hai vế của (1.19) với
1
ta đƣợc
1
.
1
=
1
+
3
3
.
1
(1.20)
Vì
1
2
,
3
nên
2
.
1
=
3
.
1
= 0 (1.21 )
14
Thay (1.21) và ( 1.20) có
11
12
=
2
.
Tƣơng tự tính đƣợc
13
=
3
.
Thay các
1
;
2
;
3
vào ( 1.19) suy ra
1
=
11
1
+
12
2
+
13
3
sẽ đƣợc
1
.
1
=
1
1
1
+
2
2
1
+
3
3
1
11
=
1
.
Do
3
13
=
3.
Thay
1
,
2
,
3
vào ( 1.23)
1
=
11
.
1
+
12
.
2
+
13
.
3
Hay
2
=
.
=
.
+
2
2
+
3
2
.
Xét trong tọa độ cong
1
,
2
,
3
2
=
.
là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong.
Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi
2
=
=
=
=
1
1
+
2
2
+
3
3
22
=
1
2
2
+
2
2
2
+
3
2
2
,
33
=
=
1
1
1
2
+
2
1
2
2
+
3
1
3
2
3
3
,
16
12
=
1
2
1
3
+
2
2
2
3
+
=
1
2
3
hay =
.
Đặt:
1
=
2
3
;
2
=
3
;
3
=
1
2
.
Trong đó :
=
1
2
3
=
1
.
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (
1
=
1
2
=
3
Suy ra :
3
,
3
cùng hƣớng, khác nhau về độ lớn.
Tƣơng tự các cặp
1
,
1
;
2
,
2
cũng cùng chiều và khác độ lớn.
Trong trƣờng hợp này:
=
13
21
22
23
31
32
33
=
11
0 0
0
22
0
0 0
33
=
11
=
1
11
Thực hiện tƣơng tự ta cũng nhận đƣợc
22
=
1
22
;
33
=
1
33
.
=
.
=
33
,
1
=
11
;
2
=
22
;
3
=
33
.
c. Ví dụ:
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao. Ta đi xác định tenxơ
metric trong hai hệ tọa độ này.
Tọa độ trụ
1
,
Ta tính đƣợc
1
1
=
1
= ;
2
1
=
2
= ;
3
1
=
3
= 0
=
1
= 0 ;
2
3
=
2
= 0 ;
3
3
=
3
= 1
Suy ra từ công thức (1.31)
1
=
, , 0
0,0,1
.
Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa
độ trụ
11
=
2
+
2
= 1
22
=
2
2
+
2
2
=
2
33
= 1
Suy ra
= .
Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu đƣợc các thành phần của tenxơ metric phản biến
trong hệ tọa độ trụ
2
3
=
; ; 0
3
1
=
; ; 0
1
2
=
0 ; 0 ;
11
= 1,
22
=
1
2
,
33
= 1 ,
12
=
21
=
13
=
31
=
23
=
32
= 0.
Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
3
=
1
3
= .
19 Ta tính đƣợc các đạo hàm riêng
1
= ,
2
= ,
3
= ,
1
= ,
2
, , 0
(1.34)
3
=
, ,
Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ
cầu
11
=
2
2
+
2
2
+
2
= 1 ,
22
=
2
2
2
=
2
12
=
21
=
13
=
31
=
23
=
32
= 0 .
=
1 0 0
0
2
2
0
0 0
2
3
=
2
2
;
2
2
;
2
,
3
1
=
; ; 0
, (1.35)
1
2
=
3
=
,
,
.
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong.
11
= 1,
22
=
1
2
2
,
33
=
Gọi các véc tơ
,
là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
.
Suy ra: =
=
.
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao,
=
.
Ta gọi
là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất.
Kí hiệu:
=
1
=
2
,
21
gọi là hệ số Lamé. Thành phần vật lý của véctơ có dạng :
=
=
=
=
1
1
( không tổng theo , )
là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.
Tƣơng tự nhƣ trên ta có thể xác định đƣợc thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.
1.3.3. Khai triển cụ thể
1
=
11
=
1
1
1
,
2
=
2
2
,
3
=
3
3
. (1.37)
11
=
11
1
2
2
,
21
=
21
1
2
,
23
=
23
2
3
,
33
=
33
3
= 1 ,
2
= ,
3
= 1 .
Đối với hệ tọa độ cầu
, ,
1
= 1 ,
2
= ,
3
= .
Copyright: Tài liệu đại học ©