TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016

TẬP 1

TUYỆT KĨ CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP
MÁY TÍNH BỎ TÚI GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH LTĐH

ĐINH VĂN PHÚC
(Cao học viên khóa 2013-2015 ĐHSP Huế)

Huế, Tháng 10 Năm 2015


Mục lục
Lời nói đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Chia đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2



7
8

1.5.1

Các phương pháp đánh giá hay dùng trong giải phương trình-bất phương
trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

9

Một số phương trình vô tỷ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Các phương pháp giải phương trình vô tỷ trong các đề thi Đại học
15
2.1 Phương pháp liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1

Liên hợp khi phương trình chỉ có một nghiệm đẹp . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2

Liên hợp khi đã biết hai nghiệm đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

2.1.3 Liên hợp khi biết một nghiệm xấu của phương trình . . . . . . . . . . . . 22
Phương pháp denta tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

59

1


LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình-bất phương-Hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong các chuyên
đề LTĐH, năm nào bao giờ cũng có một câu về chuyên đề này chiếm 1 điểm và mức độ của nó
thuộc dạng khó, người ta thường nói là câu lấy 9 điểm. Nó khó vì những lí do sau:
+ Người giải chưa nắm được những phương pháp giải nó hoặc chưa nhận dạng được bài toán
giải theo phương pháp nào?
+ Phương trình-bất phương trình-Hệ phương trình là một chuyên đề khá rộng nên khi ôn học
sinh sẽ gặp nhiều khó khăn tổng hợp những kiến thức và kĩ năng nào cần thiết nhất và vừa đủ
để có thể giải những câu Phương trình-Bất phương trình-Hệ phương trình trong các kì thi ĐH.
Thi THPTQG là vấn đề thi ít nhất 4 môn và chọn ra 3 môn để xét vào đại học. Do đó nếu
chúng ta chỉ cắm đầu cắm cổ vào một môn nào đó mà sao nhãn các môn còn lại thì kết quả
của ta đạt được cũng sẽ không cao được. Do đó chúng ta phải có kế hoạch học thế nào vừa
đủ không dư quá nhiều và cũng không thiếu đối với kiến thức từng môn, thì khi đó kết quả
3 môn xét vào đại học mới cao được. Do đó ta cần học những kĩ năng và kiến thức cần thiết
nhất chứ không học tràn lan quá nhiều dẫn đến quá tải. Những phần nào trong đề thi ra dễ
chúng ta cần học ít lại và dành nhiều thời gian cho những phần khó hơn. Đối những chuyên đề
khó ta cũng không thể nào học hết những kĩ năng và phương pháp để giải được tất cả những
bài bài toán thuộc dạng đó mà ta cần biết học chọn lọc vừa đủ và vừa sức với đề thi của chúng ta.
Trong chuyên đề Phương trình-Bất phương trình-Hệ phương trình, thì phương trình là vấn
đề quan trọng nhất, vì khi ta đã nắm được các phương pháp giải phương trình một cách nhẫn
nhiễn thì vấn đề giải bất phương trình và hệ phương trình không còn là vấn đề nữa khó nữa.
Với những lí do trên và sau khi nghiên cứu khá kĩ đề thi ĐH qua các năm trong một thời
gian dài, tôi quyết định soạn ra tài liệu này để viết ra những kĩ thuật và chọn lọc những phương
pháp tốt nhất để giải phương trình-bất phương trình (mà trong rất nhiều tài liệu viết về chuyên
đề này không nói ra kĩ, chắc họ cố ý giấu nghề ấy thì phải.) nhằm giúp cho những em còn gặp

Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này chúng tôi sẽ nhắc lại và đưa ra những kiến thức cần có để các em chuẩn bị
tốt cho việc giải phương trình-bất phương.

1.1

Chia đa thức

Ở đây ta chỉ xét phép chia hết thôi vì mục đích của ta là đưa một biểu thức về tích các thừa
số của nó. Còn phép chia không hết cũng tương tự thôi chỉ là có thêm phần dư nữa.
Ví dụ:
Chia đa thức f (x) = 2x4 + 3x3 + 2x2 + x cho đa thức g(x) = x2 + x ta làm như sau:
2x4
Lấy 2 = 2x2 (Lấy số hạng có bậc x cao nhất của f (x) chia cho số hạng có bậc cao nhất của
x
x3
g(x)). Sau đó Lấy f (x) − 2x2 g(x) = x3 + 2x2 + x = h(x). Bây giờ ta tiếp tục lấy 2 = x (Lấy
x
số hạng có bậc cao nhất của h(x) chia cho số hạng có bậc cao nhất của g(x) ). Sau đó lại lấy
x2
2
h(x) − xg(x) = x + x = k(x). Tiếp tục làm như trên lấy 2 = 1. Tính k(x) − (x2 + x) = 0.
x
2x4
2
2
Vậy f (x) chia cho g(x) được 2x + x + 1 hay f (x) = (2x + x + 1)g(x) [ ở đây 2x2 = 2 ; x =
x
x
x3



Khi đó f (x) = (x − 1)(x − 2).
Ví dụ 2: Phân tích f (x) = 2x2 − 5x + 3 thành nhân tử.

Bấm máy tính phương trình 2x2 −5x+3 = 0, chúng ta được nghiệm 

x=1
3 ⇔
x=
2

x−1=0
2x − 3 = 0

.

Khi đó f (x) = (x − 1)(2x − 3).
Ví dụ 3: Phân tích f (x) = 6x2 − x − 2 thành nhân tử. 

2
x=

3
Bấm máy phương trình 6x2 − x − 2 = 0, ta được nghiệm 
1 ⇔
x=−
2
f (x) = (3x − 2)(2x + 1).


2
x .x = P
1

2

và S 2 ≥ 4P , thì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 − Sx + P = 0. Chúng ta gọi x2 − Sx + P
là biểu thức chứa 2 hai nghiệm x1 , x2 .
Ví dụ: Tìm x1 , x2 thỏa mãn


x + x = 2
1
2
x .x = −1
1

2

Giải. Theo định lí trên thì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 − 2x − 1 = 0. Bấm máy
√
√
tính phương trình x2 − 2x − 1 = 0, chúng ta tìm được x1 = 1 + 2 và x2 = 1 − 2.

1.2.3

Giải bất phương trình bậc 2 bằng máy tính casio fx-570Vn Plus

Mục đích của mục này nhằm giúp chúng ta tìm được chính xác và nhanh nhất điều kiện của
phương trình vô tỷ.

Phương trình bậc 3
ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = 0.

Phương trình bậc 3 chúng ta có thể bấm máy tính và cho ra kết quả nghiệm nhưng trong bài thi
THPT Quốc gia không cho phép chỉ viết ra nghiệm mà không giải, đều đó sẽ bị trừ điểm.Trong
phần này sẽ giúp chúng ta giải phương trình bậc 3, có một nghiệm hữu tỉ ( nghiệm có dạng

m
n

trong đó m, n là các số tự nhiên, n = 0, về sau chúng ta sẽ gọi là nghiệm đẹp). Vì trong những
bài toán giải phương trình vô tỷ mà có xuất hiện phương trình bậc 3 trong các đề thi Đại học,
thì những phương trình bậc 3 đó đều có ít nhất một nghiệm đẹp. Do đó chúng ta chỉ xét những
phương trình bậc 3 có ít nhất 1 nghiệm đẹp.
Cho phương trình bậc 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0,

(1.2)

m
là một nghiệm đẹp của phương trình (1.2). Khi đó chúng ta chia đa thức
n
ax3 + bx2 + cx + d cho nx − m, giả sử được đa thức kx2 + px + l. Bây giờ chúng ta giải phương
trình (1.2) như sau:
giả sử x =

Phương trình (1.2)
⇔ (nx − m)(kx2 + px + l) = 0 ⇔

nx − m = 0

Giải
1
 x= 2

2x − 1 = 0
 x = −3 .
⇔

2
2
6x + 7x − 3 = 0

1
x=
3


12x3 + 8x2 − 13x + 3 = 0 ⇔ (2x − 1)(6x2 + 7x − 3) = 0 ⇔

Nhận xét: Thực chất của việc giải phương trình bậc 3 có ít nhất một nghiệm đẹp là đưa
phương trình đó về tích của phương trình bậc nhất và bậc 2 mà chúng ta đã biết cách giải rồi.
Từ đây cũng cho ta cách biểu diễn biểu thức bậc 3 thành tích của bậc nhất và bậc 2.

1.4

Giải phương trình bậc 4

Ở đây tôi chỉ xét phương trình bậc 4 có 1 nghiệm đẹp vì trong đề thi ĐH nếu có gặp phương
trình bậc 4, thì nó cũng chỉ ở dạng có 2 nghiệm đẹp, còn những phương trình bậc bốn dạng
khác có thể tìm hiểu những bài viết khác. Bằng máy tính ta có thể giải phương trình bậc bốn

7


tới đây thì đơn giản chỉ cần bấm máy tính.
Ví dụ 3 Giải phương trình x4 − 6x3 + 11x2 − 8x + 2 = 0 (∗)
Hướng dẫn giải bằng máy tính
Bấm máy tính nhập: x4 − 6x3 + 11x2 − 8x + 2, bấm SHIFT, SOLVE, 100 được nghiệm lẻ x =
3, 414213562....., sau đó bấm tiếp SHIFT, SOLVE, -100, được nghiệm lẻ x = 0, 5857864..... Bấm
tiếp mũi tên qua trái,=, AC, ALPHA, X, SHIFT, RCL, A (Để gán nghiệm x = 0, 5857864....
là A), bấm mũi tên đi lên để lấy lại phương trình, bấm SHIFT, SOLVE, 100, SHIFT, RCL, B
(Để gán nghiệm 
x = 3, 414213562..... là B).
A + B = 4 (Bấm ALPHA, A + ALPHA, B)
Bây giờ ta lấy
A.B = 2 (Bấm ALPHA A. ALPHA B)

Suy ra A, B là nghiệm của

phương trình x2 − 4x + 2 = 0. Bây giờ ta lấy x4 − 6x3 + 11x2 − 8x + 2 chia cho x2 − 4x + 2 ta
được x2 − 2x + 1. Do đó
(∗) ⇔ (x2 − 4x + 2)(x2 − 2x − 1) = 0.
Tới đây ta có thể giải hai phương trình bằng cách bấm máy tính rồi.
Nhận xét: Ở Ví dụ 1 ta biết được 2 nghiệm đẹp, Ví dụ 2 biết được 1 nghiệm đẹp, Ví dụ 3
ta chưa biết được nghiệm đẹp nào nhưng từ 2 nghiệm lẻ ta lại có tổng và tích của chúng đẹp.
Trong những trường hợp khác mặc dù phương trình bậc 4 tổng quát có thể giải bằng cách bấm
máy tính cũng không quá khó khăn những ngoài 3 trường hợp như trên tôi không khuyên các
em đưa phương trình vô tỷ về một phương trình bậc 4 để giải về sau.

1.5


Đây là phần khá quan trọng, trong việc giải phương trình-bất phương trình bằng phương
pháp liên hợp và phương pháp hàm số.
1. Đánh giá dựa vào các bất đẳng thức cơ bản
H(x)
A(x)
+
+ L(x) luôn dương hoặc luôn
Cho x ∈ D chứng minh
B(x) + C(x)
G(x) + F (x)
âm.
Trước khi đánh giá chúng ta cần phải biết:
H(x)
A(x)
;
; L(x), ∀x ∈ D
Thứ I: Các biểu thức
B(x) + C(x)
G(x) + F (x)
ta cần biết biểu thức nào luôn âm và biểu thức nào luôn dương.
Thứ II: Với mỗi biểu thức đó thì tử và mẫu của biểu thức luôn âm hay luôn dương chưa,
A(x)
như biểu thức
ta cần biết A(x); B(x) + C(x) luôn âm hay luôn dương.
B(x) + C(x)
Nếu như trường hợp A(x) có khi âm và có khi dương với x ∈ D, thì ta phải xét trường
hợp của x để A(x) luôn mang một dấu xác định hoặc cũng có thể biến đổi A(x) về một
T (x) đã xác định dấu nhất định.
Thứ III: Để đánh giá thật sự chặt thì ta luôn bám sát điều kiện x ∈ D. Đôi khi chúng ta
cũng không cần thiết đánh giá chặt vẫn có thể suy ra điều cần chứng minh.


1
− (2x + 1) ≤
x−2+1

1
1 − 5 = −4 < 0 ⇒ f (x) < 0 (Do − √
< 0. Một số nhỏ hơn 0 mà cộng thêm
4−x+1
một số nhỏ hơn 0 thì lại còn nhỏ hơn 0 nữa).
x+2
x+2
Ví dụ 2: Với x > −2 chứng minh f (x) = √
−√
− 3 < 0.
2
2
x + 12 + 4
x +5+3
+ Với x > −2 ⇒ x + 2 > 0. Do đó biểu thức đầu dương, biểu thức 2, 3 âm.
√
√
√
Cách 1: Ta có x2 + 12 > x2 ⇒ x2 + 12 > x2 = x ⇒ x2 + 12 + 4 > x + 4 ⇒
x+2
x+2
x+2
√


Cách 1:
+ Xét −1 ≤ x ⇒ x + 1 ≥ 0.
√

x+1
x+1
x+2+2>2⇒ √
≤
(1)
2
x+2+2
√
x+6
x+6
x+7+3>3⇒ √
≤
(2)
3
x+7+3
Từ (1) và (2) suy ra
f (x) ≤

x 3
1 3
x+1 x+6
+
− x − 4 = − − ≤ − < 0.
2
3
6 2

(Do x ≥ −2 ⇒ −2x ≤ 4 ⇒
≤ ).
3
3
Vậy cả hai trường hợp ta luôn có f (x) < 0.
f (x)
2⇒ √
(1)
2

10


Cách 3: Có thể xem đáp án của BGD câu bất phương trình đề thi ĐH D-2014.
Ví dụ 4: Với x > 0 chứng minh rằng
√
x+1
x−1
√
> 0.
f (x) = √
+√
3
2
x+2
x − 4x + 5x + x3 − 3x2 + 4
Lời giải
Ta có x − 1 có khi âm có khi dương nên ta phải xét khoảng cho nó.
+ Nếu x ≥ 1 ⇒ x − 1 ≥ 0 ⇒ f (x) > 0.
+ Nếu 0 < x < 1.
Ta có
√
√
x+1
x+2−1
1
1
2
√
= √

1
1
√
⇒√


đúng.
3. Đánh giá dựa vào khảo sát hàm số

11


Ví dụ 1: Chứng minh rằng f (x) = x5 + 3x3 + 3x + 8 > 0, ∀x ∈ [−1, 1]
Lời giải
4

2

Ta có f (x) = 5x + 3x + 3 > 0, ∀x ∈ [−1, 1]. Suy ra hàm f (x) đồng biến trên
[−1, 1] ⇒ f (x) ≥ f (−1) = −7 + 8 = 1 > 0, ∀x ∈ [−1, 1].
Ví dụ 2: Chứng minh f (x) = x (5 − x)3 − 11 < 0
Lời giải
Hàm số f (x) liên tục trên [0, 5] (chính là tập xác định của f (x))
√
√
f (x) = x(5 − x) 5 − x − 6 = (5x − x2 ) 5 − x
√
(5x − x2 )
⇒ f (x) = (5 − 2x) 5 − x − √
, ∀x ∈ [0, 5)
2 5−x
√
x√
5x √
⇒ f (x) = (5 − 2x) 5 − x −
5 − x = (5 − ) 5 − x

1
⇒ f (x) > f ( ) =
− 2 3 > 0, ∀x ∈ [0, ]. Suy ra hàm f (x) đồng biến trên [0, ]
3
3
3
3
1
⇒ f (x) > f (0) = 0, ∀x ∈ (0, ]
3

1.6

Một số phương trình vô tỷ cơ bản

1)
f (x) = kx + p,

(1.3)

ở đây f (x) có thể là bậc nhất, bậc hai hoặc bậc 3.
2)
3

f (x) = kx + p,

ở đây f (x) có thể là bậc nhất, bậc hai hoặc bậc 3.
3)
√
ax + b = kx + p + l

3 (bậc 3 có ít 1 nhất nghiệm đẹp). Do đó tất cả các phương trình ở trên phải đưa về 1 trong 3
phương trình: bậc 1, bậc 2 hoặc bậc 3.
1) ĐK:
f (x) ≥ 0 (mọi căn bậc chẵn phải có đều kiện ≥ 0 đối với biểu thức dưới căn)
kx + p ≥ 0
(1.3) ⇔
Tới đây thì chúng ta biết cách giải rồi.
f (x) = (kx + p)2 .
2) (1.4)⇔ f (x) = (kx + p)3 ( Vì căn bậc lẻ không cần điều kiện gì và muốn mất căn bậc 3,
thì phải mũ 
3 hai vế lên thôi). Tới đây chúng ta cũng giải được.
ax + b ≥ 0
3) ĐK:
Nếu l ≥ 0 thì bình phương hai vế của (1.5) (Vì khi hai vế ≥ 0,
kx + p ≥ 0.
bình phương không cần đặt thêm điều kiện, còn nếu một vế chưa ≥ 0 thì phải đặt điều kiện
cho vế đó ≥ 0, rồi giải thêm điều kiện đó cũng hơi mệt), rút gọn sẽ đưa về dạng phương trình
(1.3). Nếu l < 0 thì chuyển l qua trái và làm tương tự. Vậy khi đó chúng ta được một phương
trình đã biết cách giải.

4) Đk:


f (x) ≥ 0

(1.6) ⇔ f (x) = g(x), sẽ đưa về phương trình bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất.

g(x) ≥ 0.
5) Mũ ba hai vế (1.7), sẽ đưa về phương trình bậc 3, bậc 2 hoặc bậc nhất.
Chú ý: Khi giải được nghiệm, đối với những bài toán nào có điều kiện phải đối chiếu lại với

Điều kiện: 2x + 4x − 1 ≥⇔ x ∈ (−∞,
]∪[
, +∞).
2
2
Phương trình tương đương với


x ≥ −1
x + 1 ≥ 0
⇔
x = −1 + √3 hoặc x = −1 − √3 < −1(l).
2x2 + 4x − 1 = (x + 1)2 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0
√
So với điều kiện phương trình có nghiệm x = −1 + 3.
√
2. 3 x2 + x − 4 = x − 1
Phương trình tương đương với
2

x2 + x − 4 = (x − 1)3 ⇔ x2 + x − 4 = x3 − 3x2 + 3x − 1
⇔ x3 − 4x2 + 2x + 3 = 0 ⇔ (x − 3)(x2 − x − 1) = 0

x=3
√
√
⇔
5
1
−



x ≤ 5
x = 3 hoặc x = 15 > 5(l).

Vậy so với điều kiện phương trình có nghiệm x = 3.
√
√
4. x2 + 2x −1 = x + 2

x2 + 2x − 1 ≥ 0
x ∈ (−∞, −1 − √2] ∪ [−1 + √2, +∞)
Điều kiện:
⇔
x + 2 ≥ 0
x ≥ −2
√
⇔ x ∈ [−1 + 2, +∞)
Phương trình tương đương với

√
√
−1 − 13
−1 + 13
x + 2x − 1 = x + 2 ⇔ x =
hoặc x =
.
2
2
√

4. Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình đồng bậc.
5. Phương pháp đặt 1 ẩn phụ hoàn toàn đưa về bậc 2, bậc 3.
6. Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2, bậc 3, bậc nhất đi
với hệ.
7. Phương pháp hàm số đơn điệu
Trong 7 phương pháp trên thì chỉ cần dùng các phương pháp 1, 2, 3, 4, 5 đã giải được tất cả các
đề thì Đại học về phương trình, bất phương trình, từ 2009 − 2015. Còn phương pháp 6 cũng
khá hay trong việc giải phương trình và được sử dụng nhiều trong việc giải hệ phương trình.
Phương pháp 7 thường dùng kèm với phương pháp liên hợp. Quan trọng nhất vẫn là 4 phương
pháp đầu tiên.

2.1

Phương pháp liên hợp

Đẳng thức thường dùng:
√
A − B2
1. A − B = √
A+B
√
Ở đây ta sẽ gọi B là biểu thức liên hợp của A
√
√
A−B
√
2. A − B = √
A+ B
√
√

2.1.1

Liên hợp khi phương trình chỉ có một nghiệm đẹp
√
√
Ví dụ 1: Giải phương trình: x − 2 + 4 − x = 2x2 − 5x − 1.

Dùng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tìm nghiệm đẹp của phương trình. Chúng ta bấm
như sau:
√
√
Nhập x − 2 + 4 − x − 2x2 + 5x + 1 (Chuyển về một vế rồi mới bấm, ở đây chúng tôi chuyển
vế phải qua vế trái), bấm SHIFT, SOLVE, 100. Chúng ta được nghiệm x = 3. Bây giờ bấm tiếp
SHIFT, SOLVE, -100. Chúng ta được "can’t solve" tức là không giải được. Vậy phương trình
√
√
chỉ có duy nhất nghiệm là x = 3. Bây giờ chúng ta thay x = 3 vào 2 căn thức x − 2, 4 − x
ta được:

√
√

x−2=1
4−x=1

√
⇔

√


x−2+1
4−x+1

1
1
⇔ (x − 3)[ √
−√
− (2x + 1)] = 0
x−2+1
4−x+1

x−3=0

⇔
1
1
√
−√
− (2x + 1) = 0
x−2+1
4−x+1
1
1
Đặt f (x) = √
−√
− (2x + 1), 2 ≤ x ≤ 4. (Do phương trình chỉ có một
x−2+1
4−x+1
nghiệm x = 1 nên f (x) > 0 hoặc f (x) < 0 với mọi x : 2 ≤ x ≤ 4. Để biết f (x) luôn dương
hay luôn âm, chúng ta chỉ cần tính giá trị của f (3) = −7 < 0 nên chúng ta sẽ chứng minh

(2.2)

1
Từ (2.1) và (2.2) chúng ta có √
− (2x + 1) ≤ 1 − 5 = −4 < 0. Do đó f (x) < 0, 2 ≤
x−2+1
x ≤ 4, nên phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x = 3.
Ví dụ 2: Giải phương trình

√

x2 + 12 −

√

x2 + 5 = 3x − 5.

Dùng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tìm nghiệm đẹp của phương trình. Chúng ta bấm
như sau:
√
√
Nhập x2 + 12 + x2 + 5 − 3x + 5 (Chuyển về một vế rồi mới bấm, ở đây chúng tôi chuyển vế
phải qua vế trái), bấm SHIFT, SOLVE, 100. Chúng ta được nghiệm x = 2. Bây giờ bấm tiếp
SHIFT, SOLVE, -100. Chúng ta cũng được x = 2 (Khả năng phương trình có duy nhất nghiệm
là rất cao, tuy nhiên để cho chính xác chúng ta bấm tiếp như sau). Chúng ta bấm mũi tên qua
√
√
trái (để lấy lại phương trình) và sửa phương trình thành ( x2 + 12+ x2 + 5−3x+5) : (x−2),
(Tức là ta lấy phương trình đó chia cho nghiệm của nó, nếu chỉ phương trình ban đầu có duy
nhất nghiệm, thì phương trình sau khi chia sẽ vô nghiệm) nhấn SHIFT, SOLVE, 100 thì chúng


(Ở VT chúng ta đã liên hợp nhờ công thức 2)
(x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2)
⇔ √
− √
− 3(x − 2) = 0
x2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
17


(Ở đây chúng ta đã dùng hằng đẳng thức a2 − b2 = (a − b)(a + b), còn nếu ai không nhớ hằng
đẳng thức này thì chúng ta vẫn có thể đưa x2 − 4 về tích xem lại mục phân tích một biểu thức
bậc 2)
x+2
x+2
⇔ (x − 2)[ √
−√
− 3] = 0
2
2
x + 12 + 4
x +5+3

⇔

x−2=0
x+2
x+2
√

√
5
Vì x2 + 12 > x2 + 5 nên 0 < x2 + 12 − x2 + 5 = 3x − 5 ⇒ x > .
3
x+2
x+2
x+2
5
> 0; − √
< 0 (Bây giờ chỉ cần chứng minh √
−
Với x > , thì √
3
x2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
x2 + 12 + 4
x+2
5
x+2
√
< 0 hoặc √
− 3 < 0, x ≥ là xong).
2
3
x2√+ 5 + 3
√ x + 12 + 4
2
2
Do x + 12 + 4 > x + 5 + 3 và x + 2 > 0 nên
√

x2 + 12 + 4
x2 + 12 + 4
f (x) < −2 < 0 ).
√
√
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x − 2 − x + 1 + x2 − 4x + 3 = 0
Bấm máy tính chúng ta biết được phương trình có duy nhất nghiệm x = 3. Thay x = 3 vào 2
√
√
căn thức 2x − 2, x + 1 ta được:
√
√
√
2x − 2 = 2
⇒ 2x − 2 − x + 1 = 2 − 2 = 0.
√
x+1=2
Dó đó chúng ta không cần phải chèn thêm số để liên hợp mà chúng ta có thể liên hợp 2 căn
thức lại với nhau (Nếu liên hợp bằng cách chèn số như 2 Ví dụ trên vẫn được nhé!)
Lời giải
ĐK: x ≥ 1.
Phương trình trở thành
√
√
( 2x − 2 − x + 1) + x2 − 4x + 3 = 0
(2x − 2) − (x + 1)
√
⇔√
+ (x − 3)(x − 1) = 0
2x − 2 + x + 1

√
√
(x + 1)( x + 2 − 2) + (x + 6)( x + 7 − 3) = x2 + 7x + 12 − 2(x + 1) − 3(x + 7)
√
x + 2 nhân với x + 1 khác số 1 nên chúng ta phải lấy x + 1 ra làm nhân tử chung rồi
√
mới chèn, tương tự với x + 7. Vì VT chúng ta đã cộng cho −2(x + 1) − 3(x + 6) nên VP cũng
(Do

phải cộng cho −2(x + 1) − 3(x + 6))
⇔

(x + 1)(x − 2) (x + 6)(x − 2)
√
+ √
= (x − 2)(x + 4)
x+2+2
x+7+3

⇔ (x − 2)[ √

⇔

(x + 1)
(x + 6)
+√
− (x + 4)] = 0
x+2+2
x+7+3


và

√
(x + 6)
x+6
≤
.
x+7+3≥3⇒ √
3
x+7+3

Nên suy ra
f (x) ≤

x+1
(x + 6)
x 3
1 3
+√
− (x + 4) = − − ) ≤ − < 0
2
6 2
6 2
x+7+3
19


1
x
≤ ).

4
≤ ).
3
3

(x + 1)
Do x + 1 < 0 nên √
< 0, suy ra f (x) < 0, −2 ≤ x < −1. Vậy ta luôn có f (x)

√
2[ x − 1 − (x − 1)] + [ 5x − 1 − (x + 1)] = x2 + 1 − 2(x − 1) − (x + 1)
(Cũng không khác gì với cách liên hợp 1 nghiệm, chỉ khác ở đây chèn một biểu thức bậc nhất
trong khi liên hợp một 1 chèn một số).
(x − 1) − (x − 1)2 (5x − 1) − (x + 1)2
⇔2√
+ √
= x2 − 3x + 2
x − 1 + (x − 1)
5x − 1 + (x + 1)
−x2 + 3x − 2
−x2 + 3x − 2
+√
= x2 − 3x + 2
⇔ 2√
x − 1 + (x − 1)
5x − 1 + (x + 1)
20


⇔ (x2 − 3x + 2)[1 + √

2
1
+√
]=0
x − 1 + (x − 1)
5x − 1 + (x + 1)

(Ở đây chúng ta đã chuyển VT qua phải, sau đó lấy x2 − 3x + 2 làm thừa số chung)

√
√
x 4
⇒ x + 2 liên hợp với + . Thay x = 2 và x = −1 vào 22 − 3x ta được 4 và 5. Từ chú ý
3 3
ở trên ta chỉ cần sửa lại VP của hệ phương trình ở trên 2 thành 4 và 1 thành 5. Khi đó chúng
√
14
1
x 14
ta tìm được a = − và b = . Suy ra 22 − 3x liên hợp với − + .
3
3
3
3
Lời giải
22
Điều kiện: −2 ≤ x ≤ .
3
Phương trình trở thành
√
√
x+4
−x + 14
4(x + 4) −x + 14
4[ x + 2 −
] + [ 22 − 3x −
] = x2 + 8 −
−
3

3
3
Vậy suy ra
4
1
3+ √
+ √
> 0)
3 x + 2 + (x + 4) 3 22 − 3x + (−x + 14)
21


⇔ x = 2 hoặc x = −1.
So với điều kiện phương trình có tập nghiệm S = {−1, 2}.
NHẬN XÉT. Chúng ta thấy rằng trong liên hợp đã biết hai nghiệm, thì vấn đề chứng
minh cái biểu thức còn lại dương hoặc âm là khá nhẹ nhàng so với trong bài toán liên hợp một
nghiệm.
2.1.3

Liên hợp khi biết một nghiệm xấu của phương trình
√
Ví dụ 1: Giải phương trình x2 + x − 1 = (x + 2) x2 − 2x + 2

Chúng ta nhập phương trình và khi nhấn SHIFT, SOLVE, 100, thì được nghiệm x = 3, 82847...,
(vì chúng ta không biết chính xác nghiệm là bao nhiêu nên để sử dụng chúng ta gán cho nó
là A như sau:) Bấm SHIFT, RCL,A (Bây giờ chúng ta sẽ tìm biểu thức bậc nhất liên hợp
√
với x2 − 2x + 2. tương tự như trường hợp có nghiệm đẹp, thay x = A vào phương trình
√
√

]=0
x2 − 2x + 2 + 3
x2 − 2x + 2 + 3

(Chúng ta chuyển VP qua trái và lấy x2 − 2x − 7 làm nhân tử chung)

x2 − 2x − 7 = 0 (2)
⇔
.
x+2
1− √
= 0 (∗)
x2 − 2x + 2 + 3


22


√

Chúng ta có (∗) ⇔

⇔

x2 − 2x + 2+3−(x+2) = 0 ⇔

√

x2 − 2x + 2 = (x−1) ⇔


cột F (X) chúng thấy khi X = 0, F (X) = 2 tức là a = 0, b = 2. Vậy x2 − 2x + 3 = ax + b = 2
√
tức x2 − 2x + 3 liên hợp với 2.
Lời Giải
Phương trình trở thành
√
x2 − 2x − 1
2
2
√
(x + 1)[ x − 2x + 3 − 2] = x + 1 − 2(x + 1) ⇔ (x + 1)
= x2 − 2x − 1
2
x − 2x + 3 + 3
⇔ (x2 − 2x − 1)[ √

x+1
− 1]
x2 − 2x + 3 + 3

(Chuyển VP qua trái và lấy x2 − 2x − 1 làm nhân tử chung)

√
√
x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 + 2 hoặc x = 1 − 2
⇔
.
x+1
√
− 1 = 0 (2)

4
23



Phương trình trở thành
√
4x + 5 − (2x − 3)2
2x2 − 6x − 1 − (2x − 3) = [ 4x + 5 − (2x − 3)] ⇔ 2x2 − 8x + 2 = √
4x + 5 + (2x − 3)
−4x2 + 16x − 4
−2(2x2 − 8x + 2)
⇔ 2x2 − 8x + 2 = √
⇔ 2x2 − 8x + 2 = √
4x + 5 + (2x − 3)
4x + 5 + (2x − 3)
2
] = 0.
⇔ (2x2 − 8x + 2)[1 + √
4x + 5 + (2x − 3)
Tới đây chúng ta biết cách giải rồi nhưng có một điều mà nhiều em không biết hay không để ý là
√
lời giải trên bị sai một chổ rất tinh tế đó là từ chổ liên hợp dẫn đến xuất hiện 4x + 5+(2x−3)
ở mẫu, vì biểu thức này chưa khác 0, có thể bấm máy tính để thấy điều đó. Do đó mẫu chưa
xác định. Bây giờ chúng ta có hướng chỉnh sửa lại để có lời giải đúng.
Cách 1: Xét trường hợp
Lời giải đúng
5
Điều kiện: x ≥ −
4

√
√
lại kết quả 4x + 5 + (2x − 3) = 0 ⇔ x = 2 − 3 ]
Phương trình (1) trở thành
√
4x + 5 − (2x − 3)2
2
√
2x − 6x − 1 − (2x − 3) = [ 4x + 5 − (2x − 3)] ⇔ 2x − 8x + 2 =
4x + 5 + (2x − 3)
2

−2(2x2 − 8x + 2)
−4x2 + 16x − 4
2
√
√
⇔ 2x − 8x + 2 =
⇔ 2x − 8x + 2 =
4x + 5 + (2x − 3)
4x + 5 + (2x − 3)
2
⇔ (2x2 − 8x + 2)[1 + √
] = 0.
4x + 5 + (2x − 3)
Tới đây chúng ta biết cách giải rồi nhé!
2

Cách giải 2
Lời giải đúng