Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon

Page
1

KHÓA HỌC CASIO – ĐÔ-RÊ-MON
Buổi 1: Sử dụng cơ bản
1. Ý nghĩa các nút bấm: Trên máy casio, có nút nổi, ta bấm trực tiếp, nút chìm có hai loại: màu
vàng như STO, SOLVE,…., để bấm nút này, ta cần bấm nút SHIFT trước. Loại màu đỏ, như các
biến nhớ A,B,C,X,Y…ta bấm nút ALPHA trước nhé !
2. Một số nút chức năng cơ bản:
-CALC: Tính giá trị biểu thức chứa biến X, hoặc Y, hoặc cả X và Y. Soạn biểu thức chứa x,y xong,
ta bấm CALC, máy sẻ hỏi X? ta nhập 1 số cho X và nhấn dấu =, máy hỏi Y? ta nhập 1 số cho Y,=,
máy cho giá trị biểu thức tương tứng của x,y mà ta đưa vào. VD: Soạn X
2
+2XY+3,CACL,2,=,1=
máy cho KQ 11
-SOLVE: chức năng giải pt một ẩn X hoặc hai ẩn X,Y ( cho Y tìm X tương ứng ):
VD: Soạn biểu thức X
2
-3X+2,SOLVE, máy hỏi X? (cho X giá trị khởi đầu ), ta nhập 6 chẳng hạn,
máy cho kết quả X=2,R=0 (R là độ sai số ) , như vậy TH này máy cho nghiệm đúng luôn. Muốn
tìm nghiệm còn lại, ta bấm nút
⊲⊳
để sửa biểu thức (khi con trỏ ở cuối dòng bấm
⊳
nó nhảy về
đầu dòng, và nếu nó đầu dòng, bấm nút
⊲
nó sẽ về cuối dòng cho nhanh nhé ), ta thêm () vào
đầu và cuối dòng, để con trỏ cuối dòng, ấn nút phân số, sẽ được phân số, thêm mẫu số là X-2,

x x A
= ⇔ − =

Ta phân tích pt thành tích thôi ( chia đa thức hoặc nhóm nhé )
(
)
(
)
3 2
3 2 2 3 3 1 0
x x x x
− + + + =
,
xong.
Ví dụ 2: PT bậc 4 nghiệm ko đẹp ( nó sẽ dạng tích hai tam thức bậc 2)
4 3 2
6 5 4 1 0
x x x x
+ + + − =

Soạn biểu thức VT và bấm dấu = ( để lưu bt sử dụng lâu dài )
-SOLVE,1,= ra nghiệm lẻ, bấm (SHIFT) STO A
-Bấm AC, và bấm
∆
để trở lại màn hình có biểu thức VT đã soạn
-Sửa bt thành
4 3 2
6 5 4 1
( )
x x x x

(
)
4 3 2 2 2
6 5 4 1 5 1 ax
x x x x x x bx c
+ + + − = + − + +

a ,c ta biết ngay nhờ hệ số đầu cuối ( đầu =đâu.đầu, cuối =cuối.cuối ) ta có a=1,c=1
còn b ta dựa vào hệ số bậc 3 hai vế:
6 1. 5. 1
b a b
= + ⇒ =

Ví dụ 3: Giải pt:
4 3 2
2 5 4 10 3 0
x x x x
+ − − + =

-Soạn bt VT và bấm = ( đừng quên bấm =, ko sau gõ lại ốm ra )
-SOLVE với x=1, ra nghiệm lưu vào A
-Sủa bt thành:
VT
x A
−
, SOLVE ,=, ra nghiệm lẻ, lưu vào B
-Thử AB đẹp ko ?( đẹp thì may mắn cho bạn , ta viet đảo ) lẻ thì A, và B ko phải là hai nghiệm anh
em một nhà.
-Sửa bt thành
( )( )

2
3 2
1) 6 12 48 32 0
2) 2 2 3 0
3) 2 1 3 2 0
4) 3 1 5 4 2 3
5) 1 3 1 5 2 1 6 1 5 5
6) 8 3 8 8
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
+ − − + =
+ − + − + − =
+ − + − − =
+ + + = +
+ + − − + − − = +
+ = − +Buổi 2: Giải PT và BPT vô tỷ
Vd5:
3
2 3 2 3 6 5 8 0
x x
− + − − =

-Bấm SOLVE ra được x=-2, ta nhóm như sau:

x
x x
− + + − − =
+ +
⇔ + =
− +
− − − +
 
−
⇔ + + =
 
− +
 
− − − +
 

Do
6
5
x
≤ ⇒
biểu thức [] luôn âm. Vậy pt có nghiệm duy nhất x=-2
Cách khác: Đặt
3
3 2
2 3 8 0
3 2
5 3 8
6 5
a b

2 2
3
3
6 18 3
2 3 2 8 3 8 2 8 3
5 5
t t
t t
 
− −
− = − ⇔ − = −
 
 
, pt bậc 3
VD6:
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
+ − − + − − =

-SOLVE ra nghiệm x=5, liên hợp :
(
)
(
)
(
)
2
3 1 4 1 6 3 14 5 0
x x x x

[ ]
1
3 0
3
x
− ≤ ≤ ⇒ >
. Vậy pt có nghiệm duy nhất x=5
VD7:
2
2 2 3 2
x x x x
+ + − − ≤ −

-SOLVE ra nghiệm x=2, thay x=2 vào thấy hai căn = nhau, nên nhóm 2 căn với nhau liên hợp
Cuối cùng được:
( )
2
2 1 0
2 3 2
x x
x x
−
 
− + + ≤
 
+ + −
 

Đặt:
( )

Suy ra:
( )
2
1 0, 441 0
2 3 2
f x x
x x
−
= + + > >
+ + −
(bấm +2/3+1=)
Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon

Page
4

Vậy bpt có nghiệm
2
2
3
x
≤ <

VD8:
( ) ( )
2
13 4 2 3 4 3 5 2 2 8 16 4 15
x x x x x x
− − + − − = + − −




+ =


( hệ đx)
VD9:
( )
(
)
(
)
2 2
2 4 7 1 3 1 0
x x x x x
+ + + + + + + =

Nhìn là biết dạng xét hàm, để tìm quan hệ hàm, ta thay x ở số hạng thức 2 thành y, soạn bt
( )
(
)
(
)
2 2
2 4 7 1 3 1
x x x y y
+ + + + + + +

SOLVE, máy hỏi Y? nhập 100=,máy hỏi solve for x, bấm = để xác nhận, ra x=-102. Đoán x=-y-
2 hay x+2=-y

3 3 4 1 0
x x x x
− − − + =

Soạn bt VT, nhớ bấm dấu = để lưu
SOLVE,với x=1 cho ra nghiệm x=1,6180… STO A
Sửa bt thành
VT
x A
−
, solve tiếp ra x=-0,8284… STO B
Sửa bt thành
( )( )
VT
x A x B
− −
solve tiếp ( chú ý bấm dấu = liên tục đến khi máy hết hỏi nhé )
ra nghiệm-0,61803….STO C
Bấm AC=-1.A+C=1 nên có nhân tử
2
1
x x
− −

Vậy yên tâm khai triển phân tích nhé, kết quả là đây:
(
)
(
)
2


Vd11:
(
)
2
10 1 2 4 3 2 14 0
x x x x
− − + − − + =

Cái này bp khó nhằn, liên hợp thôi. Chú y đk
1
x
≥

Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon

Page
5

SOLVE với x=1 được x=2
Sửa thành
1
VT
X
−
, SOLVE = tiếp ta x=2, vậy bt liên hợp có nghiệm kép x=2
Vậy ta phải liên hợp cho ra
( )
2
2

= ±
− − − −

⇒ = = ⇒

−

=

∼
, hay
1
1
2
x x
 
− −
 
 
( do x=2 là nghiệm nên
thay vào có 2a+b+1=0, thế tìm a.b)
Lớp 12 học đạo hàm rồi thì ta phải có:
( )
( )
1
2 1 2 0
2 0
2
1
0' 2 0

4 3 2
2
3
3.2 2 2 4 0
5
2 3.2 2
c d
c
x x cx d
c
d
− + + =


= −
 
− − + + ⇒ ⇔
 
− + − + =
 
=
−



Hay
( )
4 3 2 5
2
x

 
− + − − + −
 
 

Cách khác:
Nhóm thành các bình phương nhận x=2 làm nghiệm:
(
)
( )
( )
2
2
1 1
2 4 3 2 3 2
x x a
x x x bx c
− → − +
− − → − + +

Do x =2 là nghiệm , nên có ngay
1
a
= −
,
2 2 0
b c
+ + =
….tự nhóm nhé !
VD12:

24
) 5 20 3 16 60 5 5 100
)7 3 4 5 6 3 1 0
) 7 2 3 2 4 5 14
)16 6 6 13 3 5
) 2 3 1 4 6 2 4
d x x x x x x
e x x x x
f x x x x x x
g x x x x
h x x x x x x
− + + + + − = − + +
+ + + + + =
− − + − + + − = −
+ = + +
− + + = + − + + −

VD13:

( )
( ) ( )
2 2
3
2 3
2 2
2
2
2
2
2

− + − + − = −
+ + + + + =
− + − = +
+ + − = +
+ + + + + = + +
− + = −
− − +
+ = −
+
+ +

Buổi 4: Kĩ thuật tìm nghiệm kép của pt Vô Tỷ ( bí quết của MON)
ĐK: Nếu
(
)
(
)
' 0
f a f a
= =
thì x=a là nghiệm kép của pt, và pt sẽ phân tích được dạng
( )
2
. 0
x a A
− =

B1: Soạn bt f(x), solve, ra được nghiệm đẹp x=a.
Tính f’(x) và kiểm tra f’(a)=0 suy ra nghiệm kép là x=a.
B2: Trình bày bài giải: Biến đổi về dạng

− + − − − −


∼

VD:
(
)
(
)
4 2
6 47 2 4 5 6 9 106 0
f x x x x x x
= − − + + + + =

Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon

Page
7

( )
(
)
3
5 2 4
' 24 94 2 5 6 9
2 5 6
x
f x x x x
x

= −


+ + + =
  
+ + + = ⇒ ⇒
  
− − −
= =
+ − + ≡ −
  

= −
 −


∼

Vậy bt liên hợp là:
5 11
5 6
8 4
x x
+ − −

Giải: Ta có

(
)
(

⇔ − + + + = ⇔ =
 
 
 
 

Bài luyện: a)
( )
2 2
7 2 2 5 4 2 9 0
x x x x
− + + + + =
b)
5 4 3 2
16 64 36 44 18 4 2 3 19 0
x x x x x x
+ + − − − + + =

Buổi 5: Phân tích nhân tử pt hai ẩn x và y ( để giải hệ ) ( nguồn bài tập từ ĐVH)
Máy tính giải được pt một ẩn, nên với pt nhiều(n) ẩn, máy đòi nhập (n-1)ẩn, và tìm ẩn còn lại. Sự ưu
tiên cac bạn tự tìm hiểu ( vd x và y thì máy yêu cầu cho y, tìm x)
Đối với bt hai ẩn: f(x,y) ,ta thay một giá trị Y, và máy sẽ tìm ra giá trị X tương ứng. Từ mối quan hệ này ta
có thể dự đoán mối quan hệ giữa X và Y.
Chú ý khi cho Y , và giá trị khởi đầu X, phải thuộc đk xác định ( nếu ko máy báo lỗi )
B1: Soạn bt f(x;y)
B2: SOLVE, máy hỏi Y? ta nhập Y một giá trị, rồi nhấn dấu =, máy hỏi tiếp giá trị đầu của X, ta nhập 1 giá
trị rồi bấm dấu =
Máy sẽ tìm ra X ( nếu có )
Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon


0, 0
x xy xy y
− = − =
, vậy ta liên hợp hai căn này cho nhau:
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 0
1
1 0
x y
x x xy y xy xy y x y
x xy xy y
x y x y
x xy xy y
−
+ − + = + − ⇔ − + =
− + −
 
⇔ − + = ⇔ =
 
 − + − 
 


)
( )
2 2
2 2
2 2 4 ( 2) 0 2 2 4 2 0
2 2 1 1
0 2 0
2 4 2 2 4 2
2 2
x y y x y y x y y y x y
x y x y
x y
x y x y
x y y y x y y y
x y
− + + − + − + = ⇔ − + − + − + − =
 
− −
⇔ + = ⇔ − + =
 
− + + − + +
− + +  − + + 
 
⇔ =

Vd3:
( )
( )
2
2 2 2

x y
= +

Vậy pt đầu có:
2
2
y x
= +

Lại nhận thấy với y-2=0 hay y=2 thì mẫu số =0, vậy chúng có nhân tử chung
B2: Biến đổi về tích:
( )
2
2 2 2 2 2 2
2
3 2 1 2 2 1 2 1 0
2 1
y
x y y x y x y y y x y
y y
−
+ + + = + ⇔ + − + + − − =
− −

Thử thay
2
2
y x
= +
vào hai căn thấy chúng = nhau, nên chúng “nên duyên “ liên hợp :

4
3 12 3 2 1
y
x y x
x
y x y x
x
−

− + + =

+



+ + = + + −


Vd4:
( ) ( )
2
2 1 2 3 4 1
2 6 3 2
y x y x y x y y
x y x x y x

− + + − + + = −


+ − + + = + +

( )
2
3
2 2
3 5 2 1
3 5 2 3 2 5
y x
x y x y x x

− = − +


+ − + + = − +



B1: Soạn bt VT-VP của pt hai, solve với y=100-x=10000, suy ra x=y
2
hay 2x=x+y
2

Vậy hàm số đặc trưng là:
(
)
(
)
3 5
f t t t
= − +
, pt có dạng

DVH
y x x y y

+ = +


− + + = + +



B1: Khai thác pt một bằng casio: y=100-x=100, vậy dự đoán x=y
B2: -Phân tích thành nhân tử ( lớp 10)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
6 2 2 3 3 3 6 3 3 2 2 2 3 3 3 2
3 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 0 3 0
3 0 3 0
0
x x y x y xy x x y x y xy x x y xy x y

+ = + ⇔ = ⇔ = ⇔
     

=

     

VD3:
( )
2 2
3
3
2
2
4
7 4 9 9 0
4
4 1 4 0
x y x
y
x xy y

+ + + + + =

+


+ + + =

(ĐVH)

2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
2
16 1 4 0 16 1 4 0
4 4 0
4 4 4
4 4
4 4 0
4 0
x y
x
x x y y xy x xy
x y
xy xy x
x
y
y
⇒
+ + + = ⇔ + + − =

+ + =
⇔ + +
 
+ +
 
 
+ + + =
+

x y y
y
x
y x y y
+

+ + = − +

+


− + + + = +


B1: Casio pt1: cho y=100x=9999, vậy
2
1 1
x y x y
= − ⇔ + =

Đặt
2
1 1
a x x a
= + ⇒ = −

Pt1 trở thành:
( ) ( )
2
2 2 2 2

3
2
4 1 3
6 2 10 16 4 0
x x y x y
x y x x

+ + = + +



− + + − + =


Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon

Page
11

2)
2
2
2
2 1 1
2 3
12 8
3 2 3
9 16
x x x
y y



− = + − +


3)
3
3
2
3
2 2 3 3
3
2 3 2 1
2
6 5
y
x y
x
y x y
x

+
− + =


+

− + +

=


Vậy ta nhóm:
( )
( )
( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
5 5 2 2
5 2 3 3 3 1 1
2 2 2
3 1
3 1 3 1 2 3 1 0
2
x x x x x
x x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x x x
x
+ + −
+ = + + ⇔ + = ⇔ + − − = − − =
+ + +
+ − +
⇔ + − − = − ⇔ + − − + + + + + =
+

Khi giải ta chỉ cần trình bày:


VD2:
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 4 1
x x x x x x x
− − + + − + − − = +

Quan sát ta thấy có tham gia vào pt là :
2 , 2 1
x x
− −
, và tích của chúng.
Ta giảm căn bằng cách đặt
2
2 2
t x x t
= − ⇒ = −

Pt trở thành:
(
)
2 2 3 2
2 2 6 3 2 4 9
t t t t t
− + + − = − +

Solve ra được hai nghiệm đẹp
1
1;
3




Nhân tử sẽ là:
2
2 3 2 3
t t
− + −

Ta biến đổi:

(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2 3 2
2 2 3 2 2
2 2
2 2 6 3 2 4 9
3 2 3 2 3 4 9 3 3
3 2 3 2 3 0
t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t OK
− + + − = − +

,
f x ax b a b Z
+ + ∈

VD: Giải pt:
( )
2 2
3 5 2 1 4 6 3 0
x x x x
− − + − + =

Soạn bt VT, solve với x=1, ra được nghiệm lẻ gán vô A.
Bấm MODE 7, nhập hàm số
2
2 1
A AX
− +
, bấm =,=, nhậ p giá trị đầu x=-5 và giá trị cuối x=5,
bước nhảy step là 1, bấn =, ta được bảng giá trị của hàm số trên ứn với x=-6 đến x=5
Trong bảng đó chú ý, với x=2 thì giá trị tương ứng là 4 ( là số hữu tỉ là OK)
Điều đó có nghĩa là
2 2
2 1 2 4 2 1 2 4 0
A A A A
− + = ⇔ − + − =
hay A là nghiệm của biểu
thức:
2
2 1 2 4
x x

= −


C2: Cho hai giá trị x ta có hệ bậc nhất c và d
C3: Tiếp tục dò nghiệm bt
( )
2 2
2
3 5 2 1 4 6 3
2 1 2 4
x x x x
x x
− − + − +
− − −

Tóm lại: pt tương đương
(
)
(
)
2 2
2 1 1 2 1 2 4 0
x x x x
− + − − + − =

Nhận xét: Bảng giá trị có tác dụng với giá trị nguyên, nên dạng
( )
m c
f x x
n d

Đến đây ta có phân tích:
(
)
(
)
2 2
2 2 3 2 0
x x x a x x bx c
+ + + − + + + + =
, Từ tìm a,b,c các
bạn nhé !
Hạn ché: Dạng
( )
2
f x ax bx c
+ + +
thì Table được ko ?
Luyện : Giải các phương trình:
(
)
( )
( )
2
2 2 3 2
2 2 3 2
1) 2 7 3 1 4 7 0
2) 3 7 1 2 6 5 17 0
3) 3 5 11 8 2 13 10 32 0
x x x x
x x x x x x


. Do vậy để tìm nghiệm chung hai bt f(x) và g(x) ,
ta đi dò nghiệm pt : solve
( ) ( )
2 2
f x g x
+

VD1:
2
4 8 3 3 1 0
x x x x
− + + − − =
một bài khá đơn giản, nhưng mang tính minh họa cao.
Soạn:
( )
(
)
2
2
2
4 8 3 3 1
x x x x
− + + − −
, solve được x=2
Vậy ta biết hai biểu thức trên có nhân tử chung, từ dò ép tích lh nhé.
VD2:
3
2 3
2 2 1 14 2

x x x
x x x x
x x
+ + + −
> + + + − + +
+ + −

Ta không thể quy đồng, mà nghĩ tới việc rút gọn phân thức vế trái.
Lấy máy tính bấm SOLVE mẫu số
2 3 1 2
x x
+ + −
được 1 nghiệm gán vào A ( SHIFT STO A).
Bấm AC ( xóa ), soạn biểu thức bấm = được 0 ( gán nghiệm trên vào bt được ko, hoặc thay x bởi
A bấm =0 ), như vậy chứng tỏ MS và TS có nghiệm chung hay có nhân tử chung.
Vậy ta có:
(
)
( )( )
(
)
2
2
2
2
4 3 1 9 4
3 3 6 3 3 10 3
2 3 1 2
2 3 1 2 3 1 3
3 3 6 3 3 10 3

x x x x x x
+ − − − +
≤
− − + −
− − − − − + + + +

Ta cần xem TS và MS mỗi phân thức có nhân tử chung hay ko , hai TS và hai MS có nhân tử
chung hay ko ?
Nhận thấy TS bên trái có nghiệm x=-2 thay vào MS bên trái thấy =0, nên ta phân tích MS vế trái
theo tử số.
Tương tự, đối với phân thức bên phải và giữa hai MS. Vậy ta có:

( )
( ) ( ) ( )( )
3 1 2 2
1
2 2 1 3 1 2 2 1 2 1
x x x
x x x x x x
+ − − − +
⇔ ≤
− − − + − − − − − +

Khóa học CASIO – Fb: Đô Rê Mon

Page
15

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 
⇔ ≤ ⇔ ≤
 
− − − − + − − + −
 
− ≤ ≤

−
⇔ ≤ ⇔

≠ −

+
− +

Vấn đề nghiệm hệ:
(
)
( )
( ) ( )
2 2
, 0
, , 0
, 0
f x y
f x y g x y
g x y
=

⇔ + =

+ + =


Ta rút thế và soạn nguyên bt:
2
2 2
7 1 7 1
. 1 13
1 1
y y
y y y
y y
 
− −
+ + −
 
+ +
 
, SOLVE ra y=1, y=1/3. Từ đó suy ra
nghiệm hệ.
VD2:
(
)
( )
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
2010
4 2 3 4 7

   
+ + − − + + + − −
   
….
Chúc các bạn mùa thi QG THPT thành công !