CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!

BÀI 1
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) :
x y 2 0
sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) :
2x z 6 0
x2

y2

2x 2y 2z 1 0 là đường tròn có bán kính r = 1.

z2

Câu 2:
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần
lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B
và B'C'.
GIẢI
Câu 1:
Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0
(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0
Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2.
(P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

R2

d(I; P)


22m 17

Vậy, có 2 mặt phẳng (P):

0

m

17
5

1 hay m

(P1 ) : x y z 4

0

(P2 ) : 7x 17y 5z 4

0

Câu 2:
.

A/

Cách 1:
Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông
AB BC CA A / B/ B/ C/ C/ A / a
các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác đều.

/

1
1
4
/ 2
2
A F FD
3a2
a 21
Vậy, d(A/ B; B/ C/ ) FH
7
Trang 1
A/FD vuông có:

1
FH2

FH

C/
B/

d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))
BC FD
BC (A / BC)
Ta có:
/
/
/

2 2
2 2

z
a

A

C/

/

B/

C

A

a a 3
a a 3
;
; a , C/
;
;a
2 2
2 2
Ta có: B/ C/ // BC, B/ C/ // (A/ BC)
B/

x

0; a ;
a2 0; 1;
a2 .n, với n
0; 1;
2
2
2

/
/
Phương trình mp (A BC) qua A với pháp vectơ n :
3
0(x 0) 1(y 0)
(z a) 0
2
3
a 3
(A/ BC) : y
z
0
2
2
a 3
3
a 3
a 3
.a
a 21
2
2

CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng
cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) vuông góc nhau.

GIẢI
Câu 1:
1. Phương trình tham số của (D):

x 1 2t
y
2 t

z 3 2t
M ( )
M(1 2t; 2 t; 3 2t)


AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)
 
[AB; AC] ( 3; 6; 6)
3(1; 2; 2)



3.n , với n (1; 2; 2)

Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.
1  
1

15 9 11
Vậy, có 2 điểm M cần tìm là: M
;
;
hay M
; ;
2 4 2
2 4 2
N(1 2t; 2 t; 3 2t)
2. N ( )
1  
1
2
3 2
SABN
[NA; NB]
32t 2 128t 146
(4t 8)2 9
2
2
2
2
3 2
maxSABN
4t 8 0
t
2.
2
Vậy, điểm N cần tìm là N(-3; 0; 1).
Câu 2:


C
O
B

M


CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
SOA vuông có: SA

2

SO

2

OA

2

h

2

a2
3

3h2


AM
SA

(SAC)

3ah

h.

2 3h2 a2
IBC cân tại I.
1
IM
BC
IBC vuông cân tại I
2
3ah
1
a
3h
3h2 a2
2
2
2
2 3h a

9h2

3h2 a2


SA

0;

 
[SA; SB]


với n1

H

M

z

y

B

a a 3
a 3
a 3
;
; 0 , H 0;
; 0 , S 0;
;h .
2 2
2
3

6

ah a2 3
;
2
6

a
(3h 3; 3h; a 3)
6

a 
.n 2 ,
6

ah 3 ah
; ;
2
2

(3h 3; 3h; a 3)

 
[SA; SC]


với n2

C


3a2

h

0

a 6
.
6

a 6
.
6

BÀI 3
Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S):
(d) :

2x 2y z 1 0
;
x 2y 2z 4 0

(S) :x 2

y2 z2

4x 6y m

0

HN 4

13 m 16

y 1
z

1
;1
2

N

I

m 3 , với m < -3.
x t

Phương trình tham số của đường thẳng (d):


(d) có vectơ chỉ phương u 1;

 
AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6;

H

1
t

12 (thỏa điều kiện)

m

Câu 2:
Cách 1:
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.
Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)
OM // (ABN)
d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
Dựng OK
Ta có: AO

BN, OH

AK (K BN; H AK)

(OBC); OK

BN

AK

BN

BN

OK; BN

AK

OK2

1
OA2

Vậy, d(OM; AB) OH

1
OB2

1
ON2

1
3a2

1
a2

1
3a2

5
3a2

OH
z

a 15
.


a 3

M
a

x

là trung điểm của AC.
MN là đường trung bình của ABC
AB // MN

AB // (OMN) d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).


a a 3
a 3 a 3
OM
;
; 0 , ON
0;
;
2 2
2
2
 
[OM; ON]

3a2 a2 3 a2 3
;


a 3
5

a 15
5

a 15
.
5

BÀI 4
Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua giao tuyến của ( ) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng
125
tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
.
36
Câu 2:
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a
(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ABC. Đặt SG = x
(x > 0). Xác đònh giá trò của x để góc phẳng nhò diện (B, SA, C) bằng 60o.

GIẢI
Câu 1:
Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0
Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác đònh bởi ( ) và (xOy) có dạng:
(P) : 2mx my (m n)z 5m 0
m(2x – y + z – 5) – nz = 0

Câu 2:
. Cách 1:
Gọi M là trung điểm của BC
AM BC ( ABC vuông cân)
Ta có: SG

(ABC)

Suy ra: BC (SAM)
IM
Dựng BI SA

SG

2)
4)
S

I

C

BC .

SA và IC

SA

Trang 7


SG.
x.
.
AS
2
SG 2 AG 2

BC a 2; AM BM MC
AIM ~ AGS

IM

IM

 60o
Ta có: BIC

Vậy, x

3ax 2
2 9x2

2a2

 30o
BIM
9x 2

2a2



2a2

27x 2

9x 2

a2

x

2a2

a
.
3
z

Cách 2:
x
BC a 2
Gọi M là trung điểm BC
a 2
a 2
AM
; AG
2
3
F
A

3 3
3
3
3 3
 
a2
a

a

[SA; SB]
0; ax;
a 0; x;
a.n1 , với n1
0; x;
3
3
3
 
a2
a
a


[SA; SC] ( ax; 0; )
a x; 0;
a.n 2 , với n2
.
x; 0;
3

2

2

9x a
a
.
Vậy, x
3

2

a a
3 3

a2 2
x
9
9x 2

a2

a2
0
9
2a2

a2
9


GIẢI
Câu 1:
Gọi A(a; 0; 0)

Ox .

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) : d(A; )

2a

22 12

( ) qua M 0 (1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương u (1; 2; 2)
 
Đặt M0M1 u
Do đó: d(A; ) là đường cao vẽ từ A trong tam giác AM 0 M1
 
[AM0 ; u]
2.SAM0M1
8a2 24a 36
d(A; )

M0 M1
u
3
Theo giả thiết: d(A; ) = d(A; )

Trang 9

22

AF) SEM
SAE vuông tại A có:
SE2 SA2 AE a2 2a2

AF

2a 2. 3
2

S

SA2 AB2

A

H

SE a 3

a 6

EM BM MF

SB2

3a2

K

Vì AF // ME

2
AH
SA AK2
a 3
Vậy, d(SE; AF)
.
3
Cách 2:
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
SAK vuông có:

C
E

SF2 SA2 AF2 a2 6a2 7a2
SF a 7
Áp dụng đònh lý đường trung tuyến SM trong SBF có:
1 2
SB2 SF 2 2.SM 2
BF
2
1 2
15a2
9a2 7a2 2SM2
.2a
SM2
2
2
Gọi là góc nhọn tạo bởi SE và AF

3
a2

2
.
2

(SME)

a 3
3

AH

z
a S

C
A

Trang 10

x

E

M
B

F

Gọi

là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

cos

 
cos(SE; AF)

0.


(a; a 6; 0), SM

a 2
2

a 6
0( a)
2
a2 3a2
0.
a2
2
2

a 6.

0 6a2


3
2 1
Vì AF // EM

AF //(SEM)

Vậy, d(SE; AF)

d(SE; AF)

d(A; SEM)

a 3
.
3

ĐỀ 6
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
(P): 2x 2y z m2 3m 0 ;

(S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2

9.

Tìm m để (P) tiếp xúc (S). Với m tìm được xác đònh tọa độ tiếp điểm.
Câu :
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh MAB cân và
tính diện tích MAB theo a.

9

m2 3m 1

m 2
m
5

9

Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi đó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0
Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình:
x 1 y 1 z 1
2
2
1
x 3
2x 2y z 10 0
Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
y 1
x 1 y 1 z 1

2

2

z 2

1



BC (đònh lý 3 đường vuông góc)

Do đó SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB
Suy ra: MA = MB
MAB cân tại M.
Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K
vì:

SA
BC

C

H

(ABC)
AB

MHK vuông tại H có: MK2
Diện tích MAB: SMAB

1
SA a
2
1
BC a
2

HK

MK a 2

a2 2
2
z

5a

2

2a

S

AC a 5

Trang 12

M

H

C

y


CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Dựng BH


Ta có: MA


MB

0;

a 5
;a
2

a 5
3a
;a
MA
2
2
2a 3a
3a
;
; a
MB
.
2
5 2 5

suy ra: MA = MB
 
Ta có: [MA; MB]
Diện tích MAB: SMAB

bằng (0o
90o ) . Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh
A đến mặt phẳng (SBC).
Câu 2:
. Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng:
x 2t
x y 3 0
(d1) : y t ;
(d2) :
4x 4y 3z 12 0
z 4
Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính
là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).

GIẢI
Câu 1:

S

Cách 1:
Trang 13


CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Gọi H là trung điểm của BC.
Do S.ABC đều và ABC đều nên
chân đường cao đỉnh S trùng với
giao điểm ba đường cao là trực tâm O
của ABC và có SBC cân tại S.


tg .
3
3 6
4
2
1
a 3
.SH.BC
2
12.cos

a3tg
24

Thể tích hình chóp S.ABC: V
Diện tích SBC: SSBC

Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có:

V

1
.h.SSBC
3

h

3.V
SSBC


a 3
a 3
và OM
3
6

BC, SM BC
SMA

C
A
O

-

M

y

SOM vuông có:
B
a 3
x
SO OM.tg
tg
6
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
a a 3
a a 3
a 3


a 3 a 3
;
tg
6
6

a2 3
tg ;
6

a2 3
6

a3tg
24

, BC ( a; 0; 0)

n


Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :

Trang 14


CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
O x


a 3
tg
2
1

a 3
tg
2
1
cos

a 3
sin .
2

Câu 2:


(d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương u1

(2; 1; 0)

(d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương u2 (3; 3; 0)

AB (3; 0; 4)
  
  
AB.[u1; u2 ] 36 0 AB, u1, u2 không đồng phẳng.
Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau.



1
MN 2.
2
(z 2)2 4.

Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính R
Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2)2 (y 1)2

M(2; 1; 4)


CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
(d1):

x 5 y 3 z 1
;
2
4
3

(d 2 ) :

x 3 y 1 z 2
2
3
4

Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q),
và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).

nq Q


np

(Q)

/

(d1 ) (P ), (d 2 )
 
u u /


u

P/

(P / )//(P), (Q / )//(Q)

Gọi:

(1; 4; 1)

Q/


u1

/

(P ) : 25x 32y 26z 55 0

/
mp (Q/) có cặp vectơ chỉ phương u 2 và u nên có pháp vectơ:

 /
nQ/ [u2 ; u ] (0; 24; 18)
/

Phương trình mp (Q/) chứa (d2) đi qua điểm B(3; -1; 2)
0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0
/
(Q ) : 4y 3x 10 0
Ta có: ( ) (P/ )


(d 2 ) với n Q/ là:

(Q/ ).

Vậy, phương trình đường thẳng ( ) :

25x 32y 26z 55 0
4y 3z 10

Trang 16

0



2.VB/ .A/ NC.
VC.A/ B/ N

Ta có: SA / MCN

2.SA/ NC
A

1
.CC/ .SA/ B/ N
3

a3
6

1 1
.a. .a.a
3 2

VB/ .A/ MCN

1 /
.A C.MN, với A/ C a 3; MN BC/
2

BH

a3
.
3

Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz
đôi một vuông góc,
A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0),
D(0; 0; 0), A/(a; 0; a),
B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a),
a
a
M a; ; 0 , N 0; ; a
2
2


Ta có: A / C ( a; a; a), MN ( a; 0; a)
 
[A / C; MN] (a2 ; 2a2 ; a2 ) a2 (1; 2; 1)


a2 .n với n (1; 2; 1).

z

/
a D

A
x

a

Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN):

.
3

B

C
B


CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!

ĐỀ 9
Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:
x t
x t'
(d1) : y 4 t ;
và (d2) : y 3t ' 6

z

6 2t

z

t' 1

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2). Tìm phương trình
tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1).
Câu 2:

2t
11
11
11
 
18
56
118
26
HK u1
t
t
4t 0
t
11
11
11
11

30
7
1
HK
4;
;
(44; 30; 7).
11 11 11
18
x
44

(SAB)
SH

(ABC), (SAB)

(SAB)

(ABC) và SH là đường cao của hình chóp.

Dựng HN

SN

(ABC) AB, SH

BC, HP

BC, SP

SHN = SHP

AC
 SNH

AC SPH

HN = HP.

AHP vuông có: HP
SHP vuông có: SH

H là trung điểm AB.
Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz
đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),
a
a
A ; 0; 0 ; B
; 0; 0 ,
2
2

C 0;

a 3
; 0 , S(0; 0; h), (h
2

(SAB)

SH

z
h S

B

A
x

Trang 19


.h.SABC
3

(ABC)

và ABC đều, nên suy ra

0).

Phương trình mp (SAC):
x
y
z
1
a a 3 h

a3
tg
16


với n2

a 3
2
a
2

(2h 3; 2h; a 3)
a 3

3
1
2
1
1. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng ( 3) đối xứng với ( 2) qua ( 1).
2. Xét mặt phẳng ( : x + y + z + 3 = 0. Viết phương trình hình chiếu của ( 2) theo
phương ( 1) lên mặt phẳng ( ).
 
3. Tìm điểm M trên mặt phẳng ( ) để MM1 MM 2 đạt giá trò nhỏ nhất biết M1(3; 1;
1) và M2(7; 3; 9).
Câu 2:
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc
 120 o , cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh AB'I vuông
BAC
tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

GIẢI
Câu 1:

x 3 7t1

1.


( 1 ) : y 1 2t1 có vectơ chỉ phương u1

( 7; 2; 3)

z 1 3t1



K

A/
B/

Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H
A/(-1; -1; -7)
Gọi K là hình chiếu của B trên ( 1) và B/ là điểm đối xứng của B qua K.
Tương tự như trên ta tìm được:
114 25 22
20 105 204
K
; ;
B/
;
;
31 31 31
31
31
31


11 74 13
1
1 
A/ B/
;
;
(11; 74; 13)

[u1; u2 ] ( 8; 4; 16)
4(2; 1; 4)
4n , với n (2; 1; 4)

Phương trình mp ( ) qua A(7; 3; 9) ( 2 ) với pháp tuyến n :
( ) : 2x y 4z 53 0
Ta có: ( )

( ) (

/
2

) là hình chiếu của ( 2) lên ( ) theo phương ( 1).
x y z 3 0
Vậy, phương trình hình chiếu ( 2/ ) :
2x y 4z 53 0
(
I(5; 2; 5)
3. Gọi I là trung điểm M1M2
 

I
2MI
Ta có: MM1 MM2
 

M1
MM1 MM2 nhỏ nhất
2MI nhỏ nhất


M

M(0; 3; 0)

Vậy, điểm M cần tìm: M(0; -3; 0).
Câu 2:
Cách 1:
Gọi H là trung điểm BC

AH

BC.
AH

ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

a 3
BC a 3
2
IB/ C/ vuông có:
a2
IB/ 2 IC/ 2 B/ C/ 2
3a2
4

a
và
2



A/

5a2
4

5a2
13a2
2
Ta có: AI AB
2a
IB/ 2
4
4
(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)
Vậy, AB/I vuông tại A.
2

C/

B

H
30o

A

I
C



Ta có: SAB/ I

Gọi
cos

Cách 2:
Gọi H là trung điểm BC
AH BC
ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a
a
a 3
và BH
BC a 3
2
2
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

a 3 a
; ;0 , C
2 2

 /
AB


a 3 a
; ; a , AI
2 2


a 3 a a
; ;
2 2 2

a 3 a a
; ;
2 2 2
a 3
2

a a
a
.
a.
2 2
2

3a2
4

a2
4

2a2
4

0

Vậy, AB/I vuông tại A.

(1; 3 3; 2 3) .
là góc giữa (ABC) và (AB/I), ta có:
0 0 2 3
cos
0 0 1. 1 27 12

Trang 22

I
C

A

a 3 a
; ; 0 , A / (0; 0; a),
2 2

a 3 a
; ; a , C/
2 2

B/

A/

a

AH

B