1
CHỦ ĐỀ I
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
A. KHỎANG CÁCH.
1) Khỏang cách từ một điểm M đến một đường thẳng a trong không gian là độ dài
đọan thẳng MH, trong đó MH

a với H

a.
2) Khỏang cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đọan MH, trong đó
MH

(P) với H

(P).
3) Nếu đường thẳng a // (P) thì khỏang cách từ a đến (P) là khỏang cách từ một
điểm M bất kì của a đến (P).
4) Nếu hai mặt phẳng song song thì khỏang cách giữa chúng là khỏang cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
5) Hai đường thẳng chéo nhau a và b luôn luôn có đường thẳng chung

. Nếu


cắt a và b lần lượt tại A và B thì độ dài đọan thẳng AB gọi là khỏang cách giữa a và b
chéo nhau nói trên.
Muốn tìm khỏang cách giữa hai đường thẳng chéo nhau người ta còn có thể:
a) hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thẳng
thứ hai và song song với đường thẳng thứ nhất.

2
Ta có : BF = DE = AF = a =
2
3a
và
AGCDABFCD
AFCD
BFCD






)(

Chứng minh tương tự ta có BC

AG
Vậy AG

(BCD) và AG là khỏang cách từ A đến (BCD).
Ta có: AG
2
= AB
2
– BG
2
= a
2

. Vậy FH là khỏang cách giữa hai cạnh đối AB và CD.
Ta có HF
2
= AF
2
– AH
2
=
222
3
2
2
2
aaa

















3
2
3

a
a
SA
AH
. Vậy SAH = 30
0

b) Các mặt bên của hình chóp tao với đáy các góc bằng nhau.
Ta có
SIA
BCSI
BCAI






là góc giữa mặt bên và mặt đáy.
SH = SA sỉn 30
0
= a , HI =
2
3
2
aAH

.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC).
Giải H
F
E
A
C
B
S

a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC
AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60
o

Ta có: AE =
2
3a
, AH =
3
3a
, HE =
6
3a

SH = AH.tan 60
o

SABC
SBC
S
V
AKAKS
3
3
1


SE
2
= SH
2
+ HE
2
= a
2
+
6
42
36
42
36
6
6
6
22
2
2

Vậy SK =
42
33
42
12
.
12
3.3
2
3
a
a
a


Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB,
SBC, SCA tạo với đáy một góc 60
o
.Tính thể tích khối chóp SABC.
Giải

60
A
C
B
H
S
F
E
J

với p =
a
cba
9
2



Nên S
ABC
=
2
2.3.4.9 a

Mặt khác S
ABC
= p.r
3
62 a
p
S
r 

Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 60
0
=
a
a
223.
3


AB, SJ

BC, theo giả thiết
0
45 SJHSIH5

45
I
J
H
A
C
B
S

Ta có:
HJHISHJSHI 
nên BH là đường phân giác của
ABC
, từ đó suy ra H
là trung điểm của AC.
b) Ta có HI = HJ = SH =
2
a

V


Ta có :
)(
)()(
)()(
)()(
ABCSA
ABCSAC
ABCSAB
SASACSAB










+ AB là hình chiếu của SB lên mp(ABC) nên g(SB, (ABC)) =

SBA

Ta có :
)(SADBC
SABC
ADBC



sin.sin.sin.sin. aSBSBSBSBaSBSB 
22222222
)sin(cos)sinsin1( aSBaSB 

22
sincos 

a
SB



2222
sincos
sin
,
sincos
sin




aa
SAADBDSAS
ABC

Bài 5: Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a.Gọi B’, D’lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng
(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.
Giải

A
n
B
D'
O
S
C'
B'
D
C

Ta có AB’

SB, AB’

CB

AB’

(SBC)


2
2
2
2
2
22
.
''.

a
a
a
a
SC
SA
SB
SA
SC
SCSC
SB
SBSB
SC
SC
SB
SB
V
V
ABCS
CABS


45
16
3
a

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, C’ lần lượt là
trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng AB’D’cắt SC tại C’.Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp SAB’C’D’ và SABCD.
Giải
7

I
C'
C"
S
I
O
D'
B'
B
D
C
A

Gọi O =
BDAC 
.Ta có AC’, B’D’, SO đồng quy tại I và I là trung điểm của SO
Kẻ OC” // AC’ .Ta có SC’ = C’C” = C”C, nên
3
1'


Tương tự ta cũng có:
12
1
''

SABCD
DSAC
V
V

Vậy
6
1
12
1
12
1
'''''''



SABCD
DSACCSAB
SABCD
DCSAb
V
VV
V
V


N
S
O
M
B
D
C
A

8
+
SABCDSBCDSBMN
SBCD
SBMN
VVV
SD
SN
SC
SM
V
V
8
1
4
1
4
1
2
1

SABMN
V
V

Bài 7: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của
hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là

. Tính thể tích của
lăng trụ.
Giải

B'
h
D'
C'
A'
O
B
D
C
A

Gọi x là cạnh của đáy, ta có B’D’ = x
22
'',2 xhADAB 


cos'2'2cos'.'.2'''':''
22222
ABABADABADABDBDAB 

0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải.

30
I
C'
B'
A'
C
B
A9
Giả sử BI = x
3
2
32
x
x
AI 

Ta có
0
30'
'





3

Mà S
A’BC
= BI.A’I = x.2x = 8
2 x

Do đó V
ABC.A’B’C’
= 8
3

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB =
3
, AD =
7
.
Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0.
Tính thể
tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1.
Giải
Kẻ A’H
)(ABCD
, HM
ADHNAB  ,


M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A

Nghĩa là x =
7
3
3
43
2


x
x

Vậy V
ABCD.A’B’C’D’
= AB.AD.x =
3
7
3
.7.3 

5. Diện tích mặt cầu: S =
2
4 R


6. Thể tích khối cầu: V =
3
.
3
4
R


II.RÈN LUYỆN.
Bài 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a
2
.
a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng

.
Tính khỏang cách từ trục đến MN.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ
Giải. C'
B'
A'
C

– MH
2
= a
2
-
)cot2(
2
cot
2
2
2
2
2


aa

2
cot2
2


 aOH

b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường tròn đáy của hình trụ.
11
Ta có: O’N =R =
3
6
3

S
xq
= 3x.OO’=
662.
3
18
2
aa
a


Bà2. Cho hình nón có chiều cao bằng h, góc giữa đường sinh và đường cao là

.
a) Tính diện tích thiết diện của hình nón bởi một mặt phẳng qua hai đường sinh
vuông góc nhau.
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp trong hình nón, biết thiết diện qua trục
của hình trụ là hình vuông.
Giải.

Q
P
N
M
O
B
A
S



cos
tan

h
SAR 
.
+ V =
3
tan
.tan.
3
1

3
1
23
222


h
hhSOR 
.
c) Đặt OM = x
xMN 2

Ta có: MN//SO
).(.2 xRhRxSOAMAOMN
AO
AM


.
a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 60
0
và cắt hình nón theo hai đường sinh SA
và SB. Tính diện tích tam giác SAB và khỏang cách từ tâm của đáy hình nón đến
mặt phẳng này.
Giải.

a
K
H
O
B
A
S

a) Tính V và S
xq
.

vuông SAO : SO = a.sin

, AO = a.cos


V =

sin.cos

0

aSO
SH 
, OH = SO.cot.60 =
3
sin.3

a


vuông AOH : AH
2
= AO
2
– OH
2
= a
2
.cos
2

9
sin.3
2


a



=
2
sin.
2
3
.
3
sin3

aa

13

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Tính
thể tích và diện tích mặt cầu ngọai tiếp hình chóp đó.
Giải.

b
a
O
K
I
C
B

2
-
33
3
2
2
2
a
b
a










Suy ra: SO =
3
2
a
b 

Vậy SK = R =
22
2
2

3
4
ab
b
ab
b
R















 S =
22
4
2
2
4
3
6

O
I
C
B
A
S

Qua trung điểm I của đọan BC, ta dựng đường thẳng d
)(SBC
. Mặt phẳng trung trực
của đọan SA cắt d tại O, Ta có OA = OS = OB = OC = R và O là tâm của mặt cầu ngọai
tiếp hình chóp.
Ta có : SI =
22
2
1
2
cb
BC


SO
2
= SI
2
+
RcbaSO
acbSA



A
S

15
a) Ta có :
SBBC
SABC
ABBC







Tương tự CD
SD

Vậy các điểm A, B, D đều nhìn đọan SC dưới một góc vuông, do đó tâm mặt cầu ngọai
tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I của SC.
b)Ta có : AC’
SC
tại C’
* AB’
SC
và AB’
BC
( vì BC
)(SAB
'AB

nên K là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diên đều vì :
d(K,(DAB)) = d(K, (DBC)) = d(K, (DAC)) = d(K, (ABC)) = OK
Ta có : AO =
3
3
3
2 a
AI 
, OD =
3
6
22
a
AODA Vì
DEK
đồng dạng
DOA
ta có :
4
6
4
6
3
6
:
2
a

S

Gọi H là tâm của hình vuông cạnh a, SH = h. Gọi I là trung điểm của BC.
Trong
SHI
phân giác của
SIH
cắt SH tại O, từ O kẻ OK
SI
, ta có
OK
),(SBC
và OH = OK nên O cách đều mặt đáy và mặt bên (SBC).
Tương tự O cũng cách đều các mặt bên còn lại.
Vậy O là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp và OH = OK = r.
Ta có:
IHSI
SHIH
OH
IHIS
IH
OS
OH
IS
IH
OS
OH




4
4
2
1
2
2
aha
ah
ah
a
h
a


trungtrancbspkt