500 bài toán trong câu 1b của đề thi ĐH môn Toán có hướng dẫn.doc
PHẦN 2: TIẾP TUYẾN
A. Kiến thức cơ bản

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp

tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C)

tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x0 )

( y0 = f ( x 0 ) )

• Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f ( x ) và (C2): y = g( x ) tiếp xúc nhau là hệ phương
 f ( x ) = g( x )
trình sau có nghiệm: 
(*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai
 f '( x ) = g '( x )
đường đó.

B. Một số dạng thường gặp và cách giải:

• Tính y′ = f ′( x ) . Suy ra y′( x0 ) = f ′( x0 ) .
• Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x0 ) .

ne

t

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) :
• Nếu cho x0 thì tìm y0 = f ( x0 ) . Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f ( x ) = y0 .


 f '( x ) = k
• Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:
+. ∆ tạo với trục hoành một góc α thì k = tan a .
+. ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+. ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ( a ≠ 0) thì k = −

1
a

k −a
= tan α
1 + ka
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ đi qua điểm A( x A ; y A ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
• Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f ( x0 ), y′( x0 ) = f ′( x0 ) .

+. ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b một góc α thì

• Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x 0 )
• ∆ đi qua A( x A ; y A ) nên: y A – y0 = f ′( x0 ).( x A – x 0 ) (2)
• Giải phương trình (2), tìm được x0 . Từ đó viết phương trình của ∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – y A = k ( x – x A )

 f ( x) = k( x − x A ) + yA
• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
 f '( x ) = k
• Giải hệ trên, tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.



u.

• Giải (a) hoặc (b) tìm được x0 . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.

w

w
w

.b

ox

ta

ilie

Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1 ) : y = f ( x ), (C2 ) : y = g( x ) .
a) Gọi ∆: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C2).
 f (u) = au + b
(1)
 f '(u) = a
(2)
• ∆ tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
g
(
v
)

(2)
kd

• Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0 . Từ đó tìm được M ( x0 ; y0 ) ∈ (C).
Dạng 9: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3,.. tiếp tuyến với
đồ thị (C): y = f ( x ) . Giả sử d : ax + by + c = 0 . M ( x M ; y M ) ∈ d .
• Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k ( x – xM ) + yM

 f ( x ) = k ( x − x M ) + yM
• ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: 
 f '( x ) = k
• Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x ) = ( x – x M ). f ′( x M ) + yM
(3)
• Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

(1)
(2)

Dạng 10: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f ( x ) và 2
tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

www.boxtailieu.net

2


Gi M ( x M ; y M ) .
Phng trỡnh ng thng qua M cú h s gúc k: y = k ( x xM ) + yM

f ( x ) = k ( x x M ) + yM


(

(ĐH Thái Nguyên 2001) Cho đồ thị (C): y = x 4 + 2x 2 .Viết phơng trình tiếp tuyến tại A 2 ;0 .
1
9
(ĐH Ngoại Ngữ 1999) Cho đồ thị (C): y = x 4 2 x 2 .Viết phng trỡnh tip tuyn tại các giao
4
4
điểm của (C) với Ox.
2x + 1
Vit phng tỡnh tip tuyn vi th (C) ca hm s y =
ti giao im (C) v ng thng
x 1
d: y = 3x -1.

ne

1.

w

w
w

.b

ox

ta

b. Bit tip tuyn cú HSG nh nht.
3
2
Cho (C): y = x + 3x + 3 , Lp tiếp tuyến ca (C) có hệ số góc ln nhất.
2x 1
Cho hm s y =
(1). Tỡm im M thuc th (C) tip tuyn ca (C) ti M vi ng
x +1
thng i qua M v giao im hai ng tim cn cú tớch h s gúc bng - 9.
y yI
3
3
HD: +) Ta cú I(- 1; 2). Gi M (C) M(x 0 ; 2
) k IM = M
=
x0 +1
x M x I (x 0 + 1)2
3
+) H s gúc ca tip tuyn ti M: k M = y '(x 0 ) =
2
( x 0 + 1)
+) ycbt k M .k IM = 9
+) Gii c x0 = 0; x0 = -2. Suy ra cú 2 im M tha món: M(0; - 3), M(- 2; 5)

www.boxtailieu.net

3


10.

1
( 3 − m ) . Tiếp tuyến ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) tại A, B có hệ số góc lần lượt là :
2
−2
−2
⇒ k1 = y ' ( x 1 ) =
, k2 = y '(x2 ) =
2
2
( x1 − 1)
( x 2 − 1)

−2

( x − 1)

2

( ∆1 ) / / ( ∆ 2 ) ⇔ k1 = k 2 ⇔

( x1 − 1)

2

=

−2

⇔ ( x1 − 1) = ( x 2 − 1)
2

HD: Ta có f '( x) = 4 x 3 − 4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B.
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f '(a) = 4a 3 − 4a, k B = f '(b) = 4b3 − 4b
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:
y = f ' ( a )( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f (a) − af' ( a )

w
w

.b

ox

ta

11.

−2

ne

y' =

t

định lí Vi-et, ta có: x1 + x 2 =

w

y = f ' ( b )( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f (b) − bf' ( b )
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

HD: Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y′ = 4x 3 + 2mx .

www.boxtailieu.net

4


13.

Cỏc tip tuyn ti A v B vuụng gúc vi nhau y (1).y ( 1) = 1 (4 + 2m) 2 = 1
3
5
m=
m= .
2
2
Cho hm s y = x 3 3x 2 + 1 cú th (C). Tỡm hai im A, B thuc th (C) sao cho tip tuyn
ca (C) ti A v B song song vi nhau v di on AB = 4 2 .
HD: Gi s A(a;a 3 3a 2 + 1), B(b; b3 3b 2 + 1) (a b)
Vỡ tip tuyn ca (C) ti A v B song song suy ra y (a) = y (b) (a b)(a + b 2) = 0
a + b 2 = 0 b = 2 a a 1 (vỡ a b).
AB2 = (b a) 2 + (b3 3b 2 + 1 a 3 + 3a 2 1) 2 = 4(a 1) 6 24(a 1) 4 + 40(a 1) 2

Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y = 1 x3 m x 2 + 1 (*) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1.
3

3

Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đờng thẳng 5x - y = 0
(ĐHQG TPHCM 1996) Cho (Cm) y = f ( x) = x 3 + mx 2 + 1 . Tìm m để (Cm) cắt đờng

22.

23.

24.

25.

ta

w

w
w

19.

ox

18.

.b

17.

ilie

u.

16.

y = x+3
4
Cho đồ thị (Cm ): y = x 4 + mx 2 m 1 . Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với
đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng của (Cm ).
(3m + 1)x m
(ĐH Thơng Mại 1994). Cho đồ thị (Cm) y =
. Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của
x+m
(Cm) với Ox song song với y= - x- 5.

www.boxtailieu.net

5


26.

27.

28.

33 2
x
(C)
2
a. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với y= k. x
b. Tìm GTLN của khoảng cách giữa đờng thẳng y= k.x với tiếp tuyến nói trên khi k 0,5

Cho đồ thị y = x +


+ Nu m = 0 thỡ (1) 2 x = 2 x = 1 (loi)

2 3m
2
< 0 m < 0 hoaởc m >
m
3

2 3m
m

Vy m < 0 hay m >

ilie

29.

u.

+ Nu m 0 thỡ d thy phng trỡnh (1) cú 2 nghim l x = 1 hay x=
Do ú (1) cú mt nghim õm thỡ
1
3

(1)

2
.
3


Vy m 0; ; .

w

w
w

m 0

1
> 0
0 < m < 2


.
1 < m < 2
S > 0
2
P > 0
3

30.

2x 1
. Gi I l giao im hai tim cn ca (C). Tỡm im M thuc (C) sao cho tip
x 1
tuyn ca (C) ti M vuụng gúc vi ng thng MI.
Cho hm s y =

2a 1

= 1
a = 2 ( b = 3)
(a 1)

1

2

Vy cú 2 im cn tỡm M1(0; 1), M2(2; 3)

Dng 3 : Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y = f ( x ) , bit i qua im A( x A ; y A ) .
x+2
31. Cho hm s y =
( C ) . Vit phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) , bit tip tuyn i qua im
x2

www.boxtailieu.net

6


A ( −6;5 ) . ĐS : 2 tiếp tuyến là : ( d1 ) : y = − x − 1; ( d 2 ) : y = −
32.

(§H NT TPHCM 1999). Cho hµm sè (C): y =
A(-6;5) ®Õn ®å thÞ (C) .

33.
34.


15
21
x−
4
4
3
1 4
3
ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A(0; ) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè : y = x − 3 x 2 +
2
2
2
Cho hµm sè: y = 2x4 - 4x2 + 1 (C). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1 ;-1).

41.
42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

2
 2
®å thÞ (C).
Cho ®å thÞ (C): y = f ( x ) = 2 x − 1 − 3 x − 5 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm
 27 
A 2;  ®Õn (C) .
 4 

.b

38.

w
w

37.

w

36.

ne

t

Viêt pttt của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1,-9). Đs: y = 24x + 15 và y =

Cho ®å thÞ (C): y = f ( x) = x + 1 − 4 − x 2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm

(


Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị (C) y =

51.

tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm).
( ĐH Xây Dựng 2001) Cho đồ thị (C): y = f ( x) = x. ln x và M(2;1). Từ điểm M kẻ đợc
bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C) .

Dng 4: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y = f ( x ) , bit to vi trc Ox mt gúc .
1 3
2
52. Cho (C) y = x 2 x + x 4 ,
3
a. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 600
b. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 150
c. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 750

ne

t

Dng 5: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y = f ( x ) , bit to vi ng thng d: y = ax + b
mt gúc .
3x 7
53. Cho đồ thị (C): y =
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết :
2x + 5
a. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - 2x góc 450
b. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - x góc 600

Cho (C) y = f (x) = 2x 3 3x 2 12x 5 . Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với
1
y = x + 5 góc 45 0
2
1
1
Cho (C): y = x 3 2x 2 + x 4 . Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = x + 3 góc
3
2
0
30
4x 3
Cho đồ thị (C): y =
. Viết pt tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y= 3x góc 45 0.
x 1
3
Cho hàm số y = x 3mx 2 + mx + 1 (Cm ) . Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm)
tại điểm có hoành độ x = -1 tạo với đờng thẳng (d): y = x + 1 một góc 450.
Cho hm s y = x 3 + (1 2 m) x 2 + (2 m) x + m + 2 (1)
(m l tham s).
Tỡm tham s m th ca hm s (1) cú tip tuyn to vi ng thng d: x + y + 7 = 0 gúc ,

ilie

54.

HD: Gi k l h s gúc ca tip tuyn tip tuyn cú VTPT n1 = (k; 1)
ng thng d cú VTPT n2 = (1;1) .
Ta cú cos =




3

1
1
m 4 ; m 2
1
1

m hoc m
3
4
2
m ; m 1

4

3
/
2
2 1 0 8m 2 m 1 0
/
2
2
4m m 3 0
2 0
3

Cõu hi tng t:

3 − 3 x = k

Thay (2) vào (1) ta được: 2 x 3 − 3mx 2 + 4 m = 0 ⇔ m =

2 x3
3x2 − 4

(2)

(**)

Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (**) có 2 nghiệm phân biệt

f ′( x ) =

3x 2 − 4

6 x 4 − 24 x 2
2

(3 x − 4)

2

 2 3 2 3

;
3 
 3




Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt ⇔  m = −2 . Vậy: M(−2;2) hoặc M(2; −2) .

 3
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:  x 2− 3 x + 2 = k ( x − m) + 4

ox

3 x − 3 = k

 x = −1

(*)

(3)

.b

Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2  = 0

(1)
(2)

w
w

⇔ 2
(4)
2 x − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0

Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt
2
3
 2 109

Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1;4 − 3m), B  ;
− 3m  .
3
27



Ta có f ′( x ) = 6 x 2 − 10 x + 4 ⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1; x =

www.boxtailieu.net

9



4
m = 3
 A ∈ Ox
Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔ 
.
⇔
 B ∈ Ox
 m = 109

81



Cho hàm số y = ( x + 1) . ( x − 1) . Cho điểm A( a; 0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt
với đồ thị (C).
2

2

ta

63.

y = − x 3 + 3 x 2 − 2, d ≡ Ox .

ilie

Câu hỏi tương tự:

u.

ne

t


5

∆ > 0
⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ 
⇔  m < −1 ∨ m > 3 .


hoặc 4 x ( x − 1)2= k

4 x3 − 4 x = k

 f ( x ) = 3 x − 4ax + 1 = 0 (1)
+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 .

(I )

( B)

w

+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2
nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ≠ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác ±1
2
 ′
3
3
⇔  ∆ = 4 a − 3 > 0 ⇔ −1 ≠ a < −
hoaëc 1 ≠ a >

 f (±1) ≠ 0

64.

Cho hàm số y =

2

y = 1 y ≠ 1

1
 o
 o
x = ; yo = 1 ⇒ k = −8

⇔
⇔
1 ∨ 
2
2
 x = 0;
∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = 0
 x = 2
yo = −1 ⇒ k = −2


Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).

www.boxtailieu.net

10


65.

Cho hm s y =

x+3


69.
70.
71.
72.
73.
74.

75.

76.

77.

78.

t

ne

ta

ox

Tìm trên trục Oy các điểm kẻ đến đồ thị y = 9 x 2 (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Cho hm s y = x4 x2 + 1 .
Tỡm tt c cỏc im thuc trc Oy m t ú k c ỳng ba tip tuyn n (C)
Cho hàm số: y = 3x - x3 có đồ thị là (C). Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến
đến đồ th& (C) .
(HC BCVT TPHCM 1999). Cho (C): y = f ( x ) = x 3 + 3 x 2 2 . Tìm các đI ểm trên (C) để


m = 0

m = 1
m = 2
m = 1

ilie

g(k ) = 0

= 32(m2 m 2) > 0; g(0) = 4 m2 = 0

cú ỳng 1 nghim k 0 = 32(m2 m 2) > 0; g(0) = 4 m2 = 0

1
m 1 = 0 16 k + 4 = 0 k = 4
M (0;1)
M (1; 1)
M (2;5)
M (1;3)

Cho đồ thị (C) : y = x + 4 x 2 + 2 x + 1 . Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ ít nhất 1 tiếp
tuyến đến (C) .
Cho đồ thị (C): y = f ( x) = 2 x + x 2 4 x + 7 . Tìm trên đờng thẳng x = 1 các điểm có thể
kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) .
Cho đồ thị (C): y = f ( x) = 5 2 x 2 + 7 x 10 . Tìm trên đờng thẳng y = 4 2 các điểm
có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) .

Dng 7: Tỡm iu kin ca tham s hai ng tip xỳc nhau

Từ (**) ta có (m − 1)2 = ( x − 1)2 ⇔  x = m
x = 2 − m


• Với x = m, thay vào (*) ta được: 0 m = 0 (thoả với mọi m). Vì x ≠ 1 nên m ≠ 1.
• Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: (2m − 1)(2 − m) − m2 = (2 − m)(2 − m − 1)
⇔ 4(m − 1)2 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ x = 1 (loại)
Vậy với m ≠ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x .
Tìm m để 2 đường sau tiếp xúc nhau:
a. (C m ) y = x 3 − 3mx 2 − x + 3m và Ox.

t

80.

ne

b. (C m ) : y = x 3 − (m + 1) x 2 − (2m 2 − 3m + 2) x + 2m(2m − 1) và ®−êng th¼ng y = - 49x + 98.
d. (C): y = x 3 − 4 x 2 + 4 x và ( Dm ) : y = mx - 3m +3.

u.

c. (C m ) : y = 2mx 3 − 3 x − 16m + 6 và Ox.

ta

ilie

e. (C): y = x 4 + x 3 + ( m − 1) x 2 − x − m và Ox.
f. (C): y = x 4 + ( m − 5) x 2 − mx − 2m + 4 và Ox.


w

n. (C1 ) : y =

Các bài toán khác
3
2
81. Cho hàm số y = 2 x − 3 x + 1 . Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng 8.
HD: Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) ⇒ y0 = 2 x03 − 3 x02 + 1 . Ta có: y′ = 3 x 2 − 6 x .
PTTT ∆ tại M: y = (6 x02 − 6 x0 )( x − x0 ) + 2 x03 − 3 x02 + 1 .

đi qua P(0;8) ⇔ 8 = −4 x03 + 3 x02 + 1 ⇔ x0 = −1 . Vậy M(−1; −4) .
82.

Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .

HD: Giả sử A(a; a3 − 3a2 + 1), B(b; b3 − 3b2 + 1) thuộc (C), với a ≠ b .
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:

www.boxtailieu.net

12


y ′(a) = y ′(b) ⇔ 3a2 − 6 a = 3b2 − 6 b ⇔ a 2 − b2 − 2(a − b) = 0 ⇔ (a − b)(a + b − 2) = 0

⇔ a + b − 2 = 0 ⇔ b = 2 − a . Vì a ≠ b nên a ≠ 2 − a ⇔ a ≠ 1

HD: PTTT của (C) có dạng: y = kx + m . Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình:

ta

ilie

83.

Với y = x 3 − 3 x 2 + 2; AB = 4 2 .

u.

Câu hỏi tương tự:

ne

t

 a = 3 ⇒ b = −1
t 3 − 6t 2 + 10t − 8 = 0 ⇔ (t − 4)(t 2 − 2t + 2) = 0 ⇔ t = 4 ⇒ (a − 1)2 = 4 ⇔ 
 a = −1 ⇒ b = 3
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(−1; −3) .

f ′( x0 ) = k ⇔ 3 x02 + 12 x0 + 9 − k = 0

w
w

.b



Phương 

Do d cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho: OA = 2011.OB nên có thể xảy ra:
9
2

+ Nếu A ≡ O thì B ≡ O . Khi đó d đi qua O ⇒ k = .
OB
k −6
= 2011 ⇒
= ±2011
OA
3
9
⇒ k = 6039 (thoả (2)) hoặc k = −6027 (không thoả (2)).
Vậy: k = ; k = 6039 .
2

+ Nếu A ≠ O thì ∆OAB vuông tại O. Ta có: tan OAB =

84.

Cho hàm số y = x 3 − mx + m − 1 (Cm).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hoành độ x = −1 cắt đường tròn (C) có
phương trình ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

HD:Ta có: y′ = 3 x 2 − m ⇒ y′(−1) = 3 − m ; y(−1) = 2 m − 2 . (C) có tâm I (2;3) , R = 2.
PTTT d tại M (−1;2m − 2) : y = (3 − m ) x + m + 1 ⇔ (3 − m) x − y + m + 1 = 0
d (I , d ) =

Câu hỏi tương tự: a) y = x 3 − mx + m − 1; x M = 1;(C ) : ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = . ĐS: m = 1; m = .
85.

Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m (1) , m là tham số.
Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm
3 
B  ; 1  đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất .
4 

HD: A ∈ (Cm) nên A(1;1 − m) . y ' = 4 x 3 − 4 mx ⇒ y '(1) = 4 − 4 m
Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A: y − (1 − m ) = y′(1).( x − 1) ⇔ (4 − 4 m) x − y − 3(1 − m ) = 0
Khi đó d ( B; ∆) =

−1
16(1 − m)2 + 1

≤ 1 , Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ khi m = 1.

t

Do đó d ( B; ∆) lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1.
Cho hàm số y =

2x + 3
có đồ thị là (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm
x +1

ne

86.

7
 x0 = −5 ⇒ M3  −5; 
 2 x0 + 3 

4
• Với 3 x0 + 4 y0 + 8 = 0 ⇔ 3 x0 + 4 
 + 8 = 0 ⇔ 


4
4
+
1
x

0


x0 = − ⇒ M 4  − ; −1 
3
 3



w
w

.b

ox

16
3 4 
 4

PTTT tại M4  − ; −1  là y = −9 x − 13 .
 3


PTTT tại M2  ;


2x −1
Cho hàm số y =
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến
x −1
tiếp tuyến bằng 2 .
HD: Tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình:

y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ x + ( x0 − 1)2 y − 2 x0 2 + 2 x0 − 1 = 0 (*)

Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng

2 ⇔

2 − 2 x0

x = 0
= 2⇔  0
 x0 = 2
1 + ( x0 − 1)

a+2

Tâm đối xứng của (C) là I ( −2;2 ) . Ta có: d ( I , d ) =

89.

8 a+2
16 + (a + 2)4

8 a+2

≤

2.4.(a + 2)2

=

8 a+2
2 2 a+2

=2 2

a = 0
. Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y = x và y = x + 8 .
d ( I , d ) lớn nhất khi (a + 2)2 = 4 ⇔ 
 a = −4
x
Câu hỏi tương tự: a) Với y =
. ĐS: y = − x; y = − x + 4 .
x −1


1

+ ( x0 + 1)

≤ 2

2

( x0 + 1)

2

x0 = 0 hoặc x0 = −2 .

2 khi

ta

Cho hàm số y =

1 + ( x0 + 1)

2

=

2x + 1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai
x +1

( x0 + 1)2

2 x0 + 1
⇔ x − ( x0 + 1)2 y + 2 x02 + 2 x0 + 1 = 0
x0 + 1

.b

1

( x − x0 ) +

w
w

PTTT (d) là y =

Ta có: d ( A, d ) = d ( B, d ) ⇔ 2 − 4( x0 + 1)2 + 2 x02 + 2 x0 + 1 = −4 + 2( x0 + 1)2 + 2 x02 + 2 x0 + 1

w

⇔ x 0 = 1 ∨ x 0 = 0 ∨ x 0 = −2

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y =
91.

Cho hàm số: y =

1
5

Khi đó ta có: x1 + x2 =



2(a + 2)
a+2
3
3
; x1 x2 =
và y1 = 1 +
; y2 = 1 +
a −1
a −1
x1 − 1
x2 − 1

www.boxtailieu.net

15


Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1.y2 < 0


⇔ 1 +


x1.x2 + 2( x1 + x2 ) + 4
3 
3 


ne

t


1
−x +1
x ≠
Hd: PT hoành độ giao điểm của d và (C):
= x+m ⇔ 
2
2x −1
 g( x ) = 2 x 2 + 2 mx − m − 1 = 0 (*)
∆′ = m 2 + 2 m + 2 > 0, ∀m
 g
Vì   1 
nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 .
g   ≠ 0
 2
−m − 1
. Giả sử: A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) .
Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = −m; x1x2 =
2
1
1
Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là: k1 = −
;k = −
2 2
(2 x1 − 1)


∆OAB cân tại O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = − x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm).
 x0 = −1 ⇒ y0 = 1
= −1 ⇒ 
 x0 = −2 ⇒ y0 = 0
(2 x0 + 3)2
+ Với x0 = −1; y0 = 1 ⇒ ∆: y − 1 = −( x + 1) ⇔ y = − x (loại)
−1

w

Nghĩa là: y ′( x0 ) =

+ Với x0 = −2; y0 = 0 ⇒ ∆: y − 0 = −( x + 2) ⇔ y = − x − 2 (nhận)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x − 2 .
94.

Cho hàm số y =

2x − 1
. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các
x −1

trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.
HD: Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA = 4OB .
OB 1
1
1
hoặc − .
= ⇒ Hệ số góc của d bằng

3
1
5
 y = − 4 ( x + 1) + 2
y = − 4 x + 4
Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: 
.
⇔
 y = − 1 ( x − 3) + 5
 y = − 1 x + 13

4
2

4
4
95.

2x
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy
x−2
lần lượt tại A và B sao cho AB = OA 2 .
2 x0
−4
HD: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ), x0 ≠ 2 . PTTT tại M: y =
( x − x0 ) +
2
x
( x − 2)
0 −2


−4

+ Nếu d ⊥ d1 thì

−3

( x − x 0 ) + y0

ilie

HD: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) . PTTT tại M: y =

u.

tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng
d : y = 2m − 1 .
(2 x0 − 1)2

ta

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và trục tung ⇒ yB =

ox

2 x02 + 4 x0 − 1

2 x02 + 4 x0 − 1
(2 x0 − 1)2



= 2m − 1

− 1 ≥ −1

1
3

1
3

Do đó để tồn tại ít nhất một điểm M thoả YCBT thì 2 m − 1 ≥ − ⇔ m ≥ . Vậy GTNN của m là

2x − 3
(C). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt
x −2
4
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho cosABI =
, với I là giao 2 tiệm cận.
17

2x − 3 
HD: I(2; 2). Gọi M  x0 ; 0  ∈ (C ) , x0 ≠ 2
x0 − 2 

2x − 3
1
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y = −
( x − x0 ) + 0
2

2

2 x0 − 2 
 , B(2 x0 − 2;2) .
x0 − 2 

x = 0
1 IA
⇔ IB 2 = 16.IA2 ⇔ ( x0 − 2)4 = 16 ⇔  0
=
4 IB
 x0 = 4
1
4

Kết luận: Tại M  0;  phương trình tiếp tuyến: y = − x +

www.boxtailieu.net

3
2

17





5
3



1 
1
 ∈ ( C ) . Ta có: y′ (m ) = −
m−2
(m − 2)2

Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình:

y=−

1
(m − 2)



Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: A  2;2 +

2

( x − m) + 2 +

1
m−2

2 

m−2



Ta có: AB 2 = 4 ( m − 2)2 +



2x − 3 

ilie

tuyến d của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn
ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bằng 2π .
−1

2x − 3

2x − 2 

ox



ta

Hd: Ta có: I(2; 2). Gọi M  x0 ; 0  ∈ (C ), x0 ≠ 2 . PTTT d: y =
( x − x0 ) + 0
2
2
x
−
x0 − 2

.Gọi M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm
x −2

w

cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho
đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.


2x − 3 

−1

Hd: Giả sử M  x0 ; 0  ∈ (C ) x0 ≠ 2 , y '( x0 ) =
2
x0 − 2 

( x0 − 2 )
Phương trình tiếp tuyến (∆) với ( C) tại M: y =

−1

( x0 − 2 )


2

( x − x0 ) +

2 x0 − 3

S = π IM = π ( x0 − 2) + 
− 2  = π ( x0 − 2)2 +
 

x0 − 2

( x0 − 2)2 




2

www.boxtailieu.net

18


Dấu “=” xảy ra khi ( x0 − 2)2 =

x = 1
⇔ 0
( x0 − 2)
 x0 = 3
1

2

Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3).
Câu hỏi tương tự: Với y =

x
−
m
x
−
x
−
m
(
)
0
0 m


0



cắt TCĐ tại A  m;


t

1
4m2 + 6
58
; IB = 2 x0 − m ⇒ SIAB = IA.IB = 4 m 2 + 6 = 64 ⇔ m = ±
.
x0 + m
2


ox

ta

cận của (C) một tam giác có chu vi P = 2 ( 2 + 2 ) .
HD: (C) có tiệm cận đứng x = 1 , tiệm cận ngang y = 1 . Giao điểm 2 tiệm cận là I (1;1) .


x

1

x

 x +1

.b

Gọi M  x0 ; 0  ∈ (C ) ( x0 ≠ 1) . PTTT ∆ của (C) tại M: y = −
( x − x0 ) + 0 .
2
−
1
x0 − 1
x
x
(
−
1)


+ Với x0 = 2 ⇒ PTTT ∆: y = − x + 4 .

2x + 1
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C)
x −1

sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ
nhất.


HD: Giao điểm của 2 tiệm cận là I (1;2) . Gọi M  x0 ;2 +


+ PTTT tại M có dạng: y =

−3
( x0 − 1)

2

( x − x0 ) + 2 +

3 
 ∈ (C).
x0 − 1 

3
x0 − 1


 x0 = 1 − 3

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 (1 + 3;2 + 3 ) , M2 (1 − 3;2 − 3 )
Khi đó chu vi ∆AIB = 4 3 + 2 6 .

Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a + b + a2 + b2 nhỏ nhất khi
và chỉ khi a = b.
Thật vậy: P = a + b + a2 + b2 ≥ 2 ab + 2 ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S .
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b.
Câu hỏi tương tự:

2x −1
. ĐS: M1(0; −1), M2 (2;3) .
x −1

t

x−2
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A và B
x +1

ne

105. Cho hàm số y =

y=



cắt hai tiệm cận tại A  −1;

Gọi M  x0 ;

u.

sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất, với I là giao điểm của 2 tiệm cận.
HD: (C) có TCĐ x = −1 , TCN y = 1 . Giao điểm 2 tiệm cận là I (−1;1) .

S 6
= . Do đó r lớn nhất ⇔ p nhỏ nhất. Mặt khác ∆IAB vuông tại I nên:
p p

.b

Ta có: S = pr ⇒ r =

ox

⇒ SIAB = IA.IB = 6 . Gọi p, r là nửa chu vi và bán kính đường trọn nội tiếp của ∆IAB.

w
w

2 p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB 2 ≥ 2 IA.IB + 2 IA.IB = 4 3 + 2 6 .

Dấu "=" xảy ra ⇔ IA = IB ⇔ ( x0 + 1)2 = 3 ⇔ x0 = −1 ± 3 .

+ Với x = −1 − 3 ⇒ PTTT ∆: y = x + 2 (1 + 3 )

w



x +3
. Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các
x −1

www.boxtailieu.net

20


tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.

HD: Mo ( xo ; yo ) ∈ (C) ⇒ y0 = 1 +

4
4
. PTTT (d) tại M0 : y − y0 = −
( x − x0 )
x0 − 1
( x0 − 1)2

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0 − 1;1), B(1;2 y0 − 1) .

⇒

x A + xB
y + yB
= x0 ; A
= y0 ⇒ M0 là trung điểm AB.
2

 a −1 

ne

Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A  1;

t

PTTT (d) của (C) tại M: y = y ′(a).( x − a) +

ta

ilie

u.

→
→

6 
6
IA
=
;
IA =  0;
⇒
IB
= (2a − 2; 0) ⇒ IB = 2 a − 1

a −1

ox

a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của
PQ và tính diện tích tam giác IPQ.

 2a 

 1− a 
Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: Q(2 a − 1; −2)

w
w

Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: P  1;

IP =
110.

w

Ta có: x P + xQ = 2 a = 2 x A . Vậy A là trung điểm của PQ.
2a
2
+2 =
; IQ = 2(a − 1) . Suy ra:
1− a
1− a

Cho hàm số y =


2 x0 − 1
⇒ A  −1; 0  , B ( (2 x0 + 1;2 ) .
x0 + 1 
x0 + 1


 36
+ 4( x0 + 1)2 = 40

2
⇔ x0 = 2 (y0 = 1) ⇒ M(2; 1).
IA + IB = 40 ⇔  ( x0 + 1)
x > 0
 0
2

2

www.boxtailieu.net

21


2x 3
cú th (C). Tỡm trờn (C) nhng im M sao cho tip tuyn ti M ca (C)
x2
ct hai tim cn ca (C) ti A, B sao cho AB ngn nht .
1
1




1
2
Ta cú : AB2 = 4 ( m 2 ) +
8 . Du = xy ra khi m = 2
2
( m 2 )

Vy im M cn tỡm cú ta l : M(2; 2)

2x 1
x +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất .

ne

t

Cho hàm số y =

u.

112.

.b

ox


9 + ( x 0 + 1)
+ (x 0 + 1)
(x 0 + 1)2

w

w
w

9
+ ( x0 + 1) 2 2 9 = 6 , vây d 6 . Khoảng cách d lớn nhất bằng
( x0 + 1) 2
9
2
= (x 0 + 1) 2 ( x 0 + 1) = 3 x 0 = 1 3 .
2
(x 0 + 1)

(

Vậy có hai điểm M : M 1 + 3 ; 2 3
113. Cho hm s y =

)

(

hoặc M 1 3 ; 2 + 3

6 khi

a +1

Giao im vi tim cn ngang y = 2 l B ( 2a + 1; 2 ) Giao hai tim cn I(-1; 2)
IA =

12
1
1
; IB = 2 ( a + 1) SIAB = IA.AB = .24 = 12 ( dvdt ) Suy ra pcm
a +1
2
2

www.boxtailieu.net

22


2x 1
cú th (C). Lp phng trỡnh tip tuyn ca th (C) sao cho tip tuyn
x 1
ny ct cỏc trc Ox , Oy ln lt ti cỏc im A v B tha món OA = 4OB.
HD: Gi s tip tuyn d ca (C) ti M ( x0 ; y0 ) ct Ox ti A v Oy ti B sao cho OA = 4OB.

114. Cho hm s y =

Do OAB vuụng ti O nờn: tan A =

OB 1
1

1
5

. Vy cú hai tip tuyn l: y = (x + 1) + ; y = (x 3) +
5
4
2
4
2
x = 3 y =
0
0

2

1
115. Cho hm s : y = 2 +
, cú th (C). Vit phng trỡnh tip tuyn d ca th (C) sao cho
x2
ng thng d cựng vi hai tim cn ca (C) ct nhau to thnh tam giỏc cõn .

ne

2x
đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
x +1
1
trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
4
3x + 1

ox

119.

.b

118.

w
w

117.

ilie

u.

116.

CC PHN CềN LI XIN LIấN H TC GI THEO S T : 0942 667 889 . Thy Hong

www.boxtailieu.net

23