ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TRỊNH THỊ NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH
KHÔNG ÔTÔNÔM VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐIỀU KHIỂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm .
1.1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . .
1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
7
10
12

.
.
.
.
.
.
.
.


định hệ phương trình vi phân. Chẳng hạn như: phương pháp thứ nhất
Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp
thứ hai Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương
pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, ... Mỗi phương pháp đều có ưu nhược
điểm riêng. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hệ
tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển theo phương pháp
thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov.
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1. Cơ sở toán học. Chương này trình bày một số kiến thức
cơ sở chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn. Cụ thể là trình bày những
2


MỞ ĐẦU

khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, bài toán ổn định, phương
pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình
vi phân.
Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính. Chương này trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương
trình vi phân. Nội dung chính của chương này là trình bày các điều kiện
cần và đủ tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm. Để chứng minh,
chúng tôi đã sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và các kĩ thuật đánh
giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày
ứng dụng của hệ không ôtônôm trong bài toán ổn định hóa hệ điều khiển.
Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là trình bày một cách hệ
thống bài toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính không ôtônôm với các
ví dụ minh họa mới.

3

Tập hợp các số thực không âm.
n×r
R
Không gian các ma trận n × r chiều.
T
A
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
I
Ma trận đơn vị.
λ(A)
Tập tất cả các giá trị riêng của A.
λmax (A)
max {Reλ, λ ∈ λ(A)}.
A≥0
Ma trận A xác định không âm.
A>0
Ma trận A xác định dương.
+
BM (0, ∞)
Tập các hàm ma trận đối xứng, xác định không âm và
bị chặn trên (0, ∞)
C([a, b], Rn )
Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị
n
trên R
A
Chuẩn phổ của ma trận A, A = λmax (AT A).
BC([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm cấp n × m, liên tục và
bị chặn trên [0, ∞).
BC + ([0, ∞), Rn×m ) Tập tất cả các ma trận hàm đối xứng, xác định


x(t)
˙
= f (x),

t ≥ 0,

trong đó x ∈ Rn ; f (.) : Rn → Rn . Hay nói cách khác, hệ phương trình vi
phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân mà vế phải không phụ thuộc vào
biến thời gian t. Ngược lại, hệ phương trình vi phân không ôtônôm là hệ
phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức là
phương trình của nó có dạng

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
6

t ≥ 0,

(1.1)


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

với x ∈ Rn ; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn .

1.1.2

Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

f (t, x) ≤ M1 + M0 x ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn ,

f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Khi đó, với bất kì điểm x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , tồn tại duy nhất một nghiệm
x(t) của bài toán Cauchy của phương trình (1.2) trên toàn khoảng R+ .

1.2
1.2.1

Tính ổn định hệ phương trình vi phân
Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân không ôtônôm

x(t)
˙
= f (t, x(t)),
7

t ≥ 0,

(1.3)


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu
∃M > 0, α > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa
mãn:
x(t)
M x(t0 ) e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
Ta quy ước thay vì nói nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổn định ( ổn
định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói rằng hệ (1.1) là ổn định ( ổn định tiệm
cận, ổn định mũ ).
Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân sau trong Rn

x(t)
˙
= αx(t),
8

t ≥ 0.


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức

x(t) = x0 eαt ,

t ≥ 0.

Khi đó hệ ổn định (tiệm cận, mũ) nếu α < 0. Nếu α = 0 thì hệ là ổn định.

Ví dụ 1.2. Xét phương trình vi phân



t→∞

t0

Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Lyapunov đã đưa ra hai
phương pháp:
- Phương pháp thứ nhất: Nội dung chính của phương pháp này là nghiên
cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov hoặc thông thường hơn là
dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt thì tính ổn định sẽ được
rút ra từ tính ổn định của xấp xỉ tuyến tính.
- Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp này
được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định. Nội dung
của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm toàn phương
đặc biệt (gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm
tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo đang xét) của hàm
Lyapunov tương ứng. Hiện nay chưa có một thuật toán tổng quát để tìm
được hàm Lyapunov cho tất cả các phương trình. Sau đây chúng tôi xin
trình bày những kết quả chính của phương pháp này.
9


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân



b( x ),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

(iv) ∃c(.) ∈ κ : V˙ (t, x(t)) −c( x(t) ), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.4)
thì ta gọi hàm V (t, x) là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.4).
Định lý 1.3. Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hệ (1.4)
có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.3. Xét hệ phương trình vi phân

x˙ = −(x − 2y)(1 − x2 − 3y 2 ),
y˙ = −(x + y)(1 − x2 − 3y 2 ).
Lấy V (x, y) = x2 + 2y 2 . Hàm này là xác định dương. Ta có
V˙ (x, y) = −2(1 − x2 − 3y 2 )(x2 + 2y 2 ) ≤ 0 với x, y đủ bé.
Vậy hệ đã cho là ổn định.
Ví dụ 1.4. Xét hệ phương trình vi phân

x˙ = −x + y + xy,
y˙ = x − y − x2 − y 3 .
10


Chương 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

Xét hàm V (x, y) = x2 + y 2 .
Ta có V (x, y) ≥ 0, và V (0, 0) = 0.

V˙ (x, y) = 2xx˙ + 2y y˙
= 2x(−x + y + xy) + 2y(x − y − x2 − y 3 )

x˙1 = x2 − x1 ,
1
1
x˙2 = − x1 − x2 .
3
3
Lấy V (x) = x21 + 3x22 , ta có x

2

V (x)

3 x 2.

V˙ (x) = 2x1 x˙1 + 6x2 x˙2
1
1
= 2x1 (x2 − x1 ) + 6x2 (− x1 − x2 )
3
3
2
= −2(x1 + x2 ).
Theo định lý trên suy ra hệ đã cho ổn định mũ với M =
Ví dụ 1.6. Xét hệ phương trình vi phân sau:

1

 x˙ = − et x,
2
1


2 < x, y > < N x, x > + < N −1 y, y > .
Bổ đề 1.2. ( Bất đẳng thức tích phân ) Giả sử M ∈ Rn×n là một ma
trận đối xứng, xác định dương. Khi đó với mọi số γ > 0 và với mọi hàm
khả tích ω : [0, γ] −→ Rn , ta có
T

γ

ω(s)ds

γ

M

γ

ω(s)ds
0

0

ω T (s)M ω(s))ds.

γ
0

Bổ đề 1.3. (Bổ đề Schur ) Cho các ma trận đối xứng X, Y, Z ∈ Rn×n
thỏa mãn X = X T , Y = Y T > 0. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 khi và chỉ khi



t ≥ 0,

(2.1)

trong đó A là (n × n)- ma trận. Nghiệm của hệ (2.1) xuất phát từ trạng
thái ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi

x(t) = eA(t−t0 ) x0 ,
2.1.1

∀t ≥ 0.

Một số định lý cơ sở

Định lý 2.1. Hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của tất
cả các giá trị riêng của ma trận A là âm, tức là

Reλ < 0,

∀λ ∈ λ(A).

Chứng minh. Từ lý thuyết về ma trận và theo công thức Sylvester [2]
áp dụng cho f (λ) = eλ , ta có
q
t

(Zk1 + Zk2 + ... + Zkα tαk −1 )eλk ,

eAt =


(2.2)

với µ > 0, δ > 0 nào đó. Ta giả sử phản chứng rằng có một λ0 ∈ λ(A) sao
cho Reλ0 ≥ 0. Khi đó với vectơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có

Ax0 = λ0 x0
và khi đó nghiệm của hệ với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t , lúc đó ta có

x0 (t) = x0 eReλ0 t ,

t ≥ 0,

khi đó nghiệm x0 (t) → +∞ khi t → +∞, vô lý với điều kiện (2.2).
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1. Xét tính ổn định của hệ

x˙ = −x + y,
y˙ = 2x − 3y.
Ta có:
A=

−1 1
2 −3 ,

và phương trình đặc trưng

−1 − λ
1
2

3
= −(λ + 1)3 = 0,
−1
0
−2 − λ
có nghiệm λ = −1(bội 3)
Vì hệ trên có nghiệm λ = −1 < 0, nên hệ là ổn định tiệm cận.
Định lý sau cho một tiêu chuẩn khác về tính ổn định hệ phương trình
tuyến tính ôtônôm (2.1) thông qua phương trình Lyapunov.
Xét phương trình Lyapunov dạng

AT P + P A = −Q,

(LE)

trong đó P, Q là các ma trận (n × n) chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE).
Định lý 2.2. Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi với bất kì một
ma trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov LE :

AT P + P A = −Q,
có nghiệm P đối xứng, xác định dương.
Chứng minh. Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận P > 0, với Q > 0. Với
x(t) là một nghiệm tùy ý của (2.1) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , ta xét hàm số

V (x(t)) =< P x(t), x(t) >,

t ≥ t0 .

Ta có



t

x(s) 2 ds ≤
t0

∀x ∈ Rn ,

< P x0 , x0 >
.
α

Cho t → +∞ ta được
+∞

x(s) 2 ds < +∞.

(2.3)

t0

Ta sẽ chứng minh Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A).
Thật vậy, giả sử có một số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn ứng với
giá trị riêng λ0 này, thì nghiệm của hệ (2.1) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 (t) x0 và
do đó
∞
∞
2
x1 (t) dt =
e2Reλ0 t x0 2 dt = +∞,


là xác định và do Q là đối xứng nên P cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy
tích phân hai vế phương trình (2.4) từ t đến t0 ta có

Z(t) − Q = AT P + P A,

∀t ≥ t0 .

Cho t → +∞ để ý rằng Z(t) → 0 khi t → +∞ và vì A là ổn định, nên ta
được
−Q = AT P + P A,
hay các ma trận đối xứng P, Q thỏa mãn (LE). Ta chỉ còn chứng minh P
là ma trận xác định dương. Thật vây, ta có
∞

T

< QeA t x, eAt x > dt.

< P x, x >=
t0

Do Q > 0 và eAt là không suy biến nên

< P x, x >> 0,

x = 0.

Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.3. Xét tính ổn định của hệ:

17


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

vì P là hàm đối xứng, xác định dương nên hệ là ổn định tiệm cận theo
Lyapunov.
Điều phải chứng minh.

2.1.2

Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(2.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển, u(.)
thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn [0, s], ∀s ≥ 0 và lấy
giá trị trong Rm , f : R+ × Rn × Rm → Rn là hàm vectơ cho trước được giả
thiết thỏa mãn f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 2.1. Hệ điều khiển (2.5) được gọi là ổn định hóa được nếu
tồn tại hàm h(x) : Rn → Rm sao cho với u(t) = h(x(t)) hệ phương trình
vi phân sau (thường gọi là hệ đóng, closed- loop system):

= [A + BK]x(t),

t ≥ 0.

Do đó theo Định lý 2.1, hệ đóng là ổn định nếu Reλ(A + BK) < 0.
Ví dụ 2.4. Xét tính ổn định hóa hệ điều khiển sau

1 2
−1
x(t)
˙
= 0 4 x(t) + −3 u(t),
18

t ≥ 0.


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Theo định nghĩa, ta tìm ma trận điều khiển ngược K = (k1 , k2 ) sao cho
ma trận
1 2
−1
A + BK = 0 4 + −3 (k1 , k2 )
là ma trận ổn định, t.l. các phần thực các giá trị riêng của ma trận này là
âm. Ta có
1−k 2−k
A + BK = −3k 1 4 − 3k2 .
1
2

1
x(t)
˙
= [A − BB T P ]x(t),
2

t ≥ 0.

(2.9)

Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng (2.9):

V˙ (x(t)) =< P x(t), x(t) >,

t ≥ 0.

Ta chứng minh đây là hàm Lyapunov chặt cho hệ (2.9) và khi đó theo
Định lý 1.3, hệ đóng là ổn định tiệm cận.
Thật vậy, dễ thấy điều kiện (i), (ii) của Định nghĩa 1.4 thỏa mãn:

λmin (P ) x

2

≤ V (x) ≤ λmax (P ) x 2 .
19


Chương 2. Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính


xứng,
xác
định
dương,
và
B
=
0 2
6
Ta thấy phương trình LE :
Chọn Q =

AT P + P A − P BB T P + Q = 0,
2 0
0 2 , là đối xứng, xác định dương.
Vậy hệ là ổn định hóa.
có nghiệm : P =

2.2

Hệ tuyến tính không ôtônôm

Xét hệ tuyến tính điều khiển không ôtônôm (LTV) sau:

x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t),

∀t ∈ R+ ,



P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = 0,

∀t ≥ 0.
(2.11)

Định nghĩa 2.2. [3] Cho Q ∈ BC([0, ∞), Rn×n ). Hệ tuyến tính (2.10)
là Q− ổn định nếu với mọi trạng thái ban đầu x0 , có điều khiển u(.) ∈
L2 ([0, ∞), Rm ) sao cho hàm:
∞

[ u(t) 2 + < Q(t)x(t), x(t) >]dt,

J(u) =
0

tồn tại và hữu hạn, trong đó x(t) là nghiệm của hệ.
Mệnh đề 2.1. [3] Nếu hệ tuyến tính (2.10) là Q− ổn định, thì RDE (2.11)
có nghiệm P ∈ BC + ([0, ∞), Rn×n ).
Định nghĩa 2.3. Ma trận hàm P (.) là xác định dương đều (kí hiệu P >>
0), nếu
∃c > 0, ∀x ∈ Rn , ∀t ∈ R+ :< P (t)x, x >≥ c x 2 .
Ví dụ 2.6. Ma trận

P =

e−t 0
,
0 e−2t


x = 0.

(ii) ∃β ∈ R : P − βM T M < 0.
(iii) ∃Q ∈ Rn×m : P + QM + M T QT < 0.

2.2.1

Bài toán ổn định

Cho A ∈ BC([0, +∞), Rn×n ). Ta xét hệ tuyến tính không ôtônôm LTV
sau:
x(t)
˙
= A(t)x(t), ∀t ≥ 0.
(2.12)
Định nghĩa 2.4. Hệ LTV (2.12) là ổn định mũ nếu tồn tại số N > 0, δ > 0
sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ với x(s) = x0 thỏa mãn

x(t) ≤ N x0 e−δ(t−s) ,

∀t ≥ s ≥ 0.

Ta đã biết với hệ ôtônôm mà A là ma trận hằng sao cho tất cả các phần
thực của giá trị riêng là âm hoặc nếu có nghiệm P đối xứng, xác định
dương của bất đẳng thức Lyapunov

AT P + P A < 0,
thì hệ ôtônôm là ổn định mũ. Điều này không còn đúng với hệ không
ôtônôm, ngay cả khi ma trận A(t) là ổn định với mọi t. Ta xét điều kiện
cần và đủ cho sự ổn định mũ của hệ LTV qua bất đẳng thức Lyapunov


P (t) =

∀t ≥ 0.

t

+ Ta chứng minh P (t) chính là nghiệm của (LE + ).
Thật vậy, dễ thấy ngay P (t) là ma trận đối xứng, xác định dương.
Hơn nữa, từ giả thiết (i), vì hệ (2.12) là ổn định mũ nên ta có

∃N > 0, δ > 0 : U (t, s) ≤ N e−δ(t−s) ,

∀t ≥ s ≥ 0,

trong đó U (t, s) là ma trận chuyển của hệ.
+ Ta chứng minh P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ).
Ta có:
∞

∞
T

U (τ, t)QU (τ, t)dτ ≤

P (t) =
t
∞

=

Q
.
2δ

Vậy P (t) là bị chặn.
+ Ta chứng minh P (t) là nghiệm của (LE + ).
Thay U (τ, t) = S(τ )S −1 (t) trong (2.13), và nhận xét rằng:
−1

U T (τ, t) = S T (t)S T (τ ),
ta có

∞

P (t) =

−1

S T (t)S T (τ )QS(τ )S −1 (t)dτ.

t

Vi phân hai vế của hàm trên theo t và sử dụng đẳng thức

S˙ −1 (t) = −S −1 (t)A(t),
−1
−1
S˙ T (t) = −AT (t)S T (t),

23


P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + Q = 0,

∀t ≥ 0.

Xét hàm Lyapunov của hệ (2.12) :

V (t, x) =< P (t)x, x > + x 2 ,

x ∈ Rn .

Đặt p = supt∈Rn P (t) . Ta có

x

2

≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x 2 ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Lấy đạo hàm dọc theo nghiệm x(t) của hệ (2.12) ta được

∂V (.) ∂V (.)
+
A(t)x(t)
V˙ (t, x(t)) =
∂t
∂x
=< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t),