ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06


Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

Vi phân Itô và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Công thức Itô tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Lý thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2.4

Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên có trễ . . . . . . . 28

2.5

Mô phỏng số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2


3 Tính ổn định toàn cục của mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu loạn
ngẫu nhiên

39

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2

Mô hình dịch ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3

Tính ổn định ngẫu nhiên của điểm cân bằng địa phương . . . . . 43

3.4


một trong những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sự phát triển của các loại bệnh
gây ảnh hưởng tới sức khỏe của con người. Vậy nên việc nghiên cứu các mô hình
dịch tễ ngày càng phát triển, nó giúp tìm ra nguyên nhân và các yếu tố góp
phần tạo nên bệnh dịch. Từ đó định nghĩa căn bệnh, liên hệ từ nguyên nhân
đến triệu chứng và tạo kế hoạch điều trị hay phòng ngừa. Tuy nhiên việc biến
đổi khí hậu hay tình trạng ô nhiễm môi trường, hoặc tác động khách quan cũng
4


như chủ quan ... cũng gây những biến động. Do đó việc nghiên cứu tính ổn định
của các mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên cũng không kém phần
quan trọng. Ở đây luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định của một số mô
hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên thông qua các mô hình toán học, từ
đó tìm ra được các điều kiện thích hợp giúp để kiểm soát được bệnh dịch.
Nội dung chính của luận văn là trình bày và làm rõ các kết quả của hai bài
báo [11, 12]. Cấu trúc của luận văn bao gồm:
⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Nhắc lại một số khái niệm cơ bản của vi phân Itô, công thức Itô tổng quát,
hai định lý của Lyapunov về tính ổn định và một số kết quả ổn định của
phương trình vi phân ngẫu nhiên.
⋄ Chương 2: Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu ngẫu nhiên.

Bệnh dịch lây truyền do vector (vector-borne disease) là bệnh gây ra bởi
một loại vi khuẩn truyền nhiễm, được lây truyền khi một động vật chân
đốt hút máu một động vật có xương sống đang bị nhiễm bệnh và lây truyền
sang một cá thể dễ bị nhiễm bệnh. Từ góc nhìn của các bệnh truyền nhiễm,
vector là cá thể truyền dẫn của các sinh vật gây bệnh có mang mầm bệnh
từ một vật chủ khác. Các vector thường gặp nhất là động vật không xương
sống thường là động vật chân đốt, động vật có xương sống (ví dụ như cáo,

T

|f (t, ω)|dt

E
0

< ∞,

N 1 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn
T

||f || = E

|f (t, ω)|

0

dt.

Ký hiệu N 2 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và
T

E
0

|f 2 (t, ω)|dt

< ∞,



Vi phân Itô

Giả sử rẳng X = (Xt , t ∈ [0, T ]) có dạng
t

Xt = X(r) +

t

f (s, ω)ds +
r

g(s, ω)dW (s)
r

trong đó f ∈ N 1 (0, T ); g ∈ N 2 (0, T ) và với mọi (s, t) : 0 ≤ r < t ≤ T. Khi đó ta nói
X có vi phân Itô
dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt

và viết gọn là
dX = f dt + gdW.

1.1.2

Công thức Itô tổng quát

Công thức Itô thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên.
Định lý 1.1. Cho u(t, x1 , x2 , ...., xd ) là các hàm liên tục xác định trên [0; T ] ×
Rd với các đạo hàm riêng ut , uxi , uxixj liên tục với mọi i, j ≤ d. Đặt X(t) =


dW (t).

i=1

Công thức trên được viết gọn dưới dạng:
d

dY (t) = ut (t, X(t))dt +
i=1

1.2
1.2.1

1
uxi (t, X(t))dXi (t) +
2

d

d

uxixj (t, X(t))gi(t)gj (t)dt
i=1 j=1

Lý thuyết ổn định
Hàm Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân tổng quát có dạng:
x′ (t) = f (t, x(t)), t ≥ 0

với (t, x) ∈ Z0 .
Định nghĩa 1.4. Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại
một hàm vô hướng W (x) ∈ C(|x| < h) sao cho:
V (t, x) ≥ W (x) > 0 với |x| = 0,

và V (t, 0) = W (0) = 0.
Hàm V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô hướng
W (x) ∈ C(|x| < h) sao cho :
V (t, x) ≤ −W (x) < 0 với |x| = 0
10


và V (t, 0) = W (0) = 0.
Hàm xác định âm hay xác định dương gọi là có dấu xác định về phía W (x).
Hai định lý của Lyapunov về tính ổn định .
Định lý 1.2. (Định lý thứ nhất của Lyapunov về tính ổn định)
Nếu hệ (1.1) tồn tại một hàm vô hướng xác định dương,
(1,1)

V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ), (Z0 ∈ Z)

và hàm này có đạo hàm theo thời gian V ′ (t, x) ≤ 0 với mọi (t, x) ∈ Z0 thì nghiệm
tầm thường x(t) = 0, (0 < t < ∞) của hệ là ổn định theo Lyapunov khi t → ∞.
Ví dụ 1.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:

dx

= −(x − 2y) − (1 − x2 − 3y 2 )




= −5y + 2x3


dt





dy
= 5x + 2y 3
dt
11


Chọn hàm V (t, x) = x2 + 2y 2 thỏa mãn điều kiện của định lý 1.3.
Thật vậy V (x, y) ≥ 0 và V (t, 0, 0) = 0;
dV
dV
= −(4x4 + 6y 4) ≤ 0 và
= 0 khi x = 0, y = 0 .
dt
dt

Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận.

1.2.2

Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi


dW (t)
được gọi là nhiễu trắng và Wt là chuyển động Brown hay
dt

quá trình Wiener.
Giả sử (Ω, F , {Ft }t≥0 , P ) là một không gian xác suất đầy đủ với {Ft }t≥0 là
bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường và giả sử W (t) là một chuyển động
12


Brown xác định trên không gian xác suất.
Sau đây, ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của phương
trình vi phân ngẫu nhiên thường.
Xét các phương trình vi phân ngẫu nhiên d - chiều có dạng:
dx(t) = f (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t),

t ≥ t0 ,

(1.2)

với điều kiện ban đầu x(0) = x0 , x0 ∈ Rd0 . Ta giả sử rằng với điều kiện ban
đầu phương trình (1.2) tồn tại một nghiệm toàn cục duy nhất được ký hiệu là
x(t, t0 , x0 ). Hơn nữa giả sử có:
f (t, 0) = g(t, 0) ≡ 0

với mọi t ≥ t0 .

Vậy phương trình (1.2) có nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 tương ứng với điều kiện
ban đầu x0 ≡ 0, nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường hay vị trí cân bằng.

1
+
∂xi 2

d[g T (t, x)g(t, x)]ij
i,j=1

∂2
.
∂xi ∂xi

Rõ ràng, cho V ∈ C 1,2 ([t0 , ∞) × Rd ; R+ ),
1
LV (t, x) = Vt (t, x) + Vx (t, x)f (t, x) + trace[g T (t, x)Vxx (t, x)g(t, x)].
2

Định nghĩa 1.9. Các nghiệm tầm thường được gọi là ổn định tiệm cận toàn
cục ngẫu nhiên nếu nó ổn định tiệm cận ngẫu nhiên và hơn thế nữa với mọi
x0 ∈ Rd :
P { lim x(t; t0 , x0 ) = 0} = 1.
t→∞

Bổ đề 1.1. Nếu tồn tại một hàm bị chặn có bán kính xác định dương giảm
V (t, x) ∈ C 1,2 ([t0 , ∞) × Rd ; R+ ) sao cho LV (t, x) là xác định âm, thì các nghiệm

tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên.
Định lý 1.4. Giả sử rằng tồn tại một hàm không âm V (t, x) ∈ C 1,2 ([t0 , ∞) ×
Rd ; R+ ), hàm liên tục a, b : R+ → R+ và một hằng số dương K sao cho ∀x mà
|x| ≤ K ta có
∀a, b : a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|)

vi phân hàm (phương trình vi phân có trễ).
Giả sử τ > 0, ký hiệu C = C([−τ, 0]; Rd ) là họ các hàm liên tục ϕ : [−τ, 0] → Rd
với chuẩn ||ϕ|| = sup−τ ≤θ≤0 |ϕ(θ)| và D là không gian với F0 thích hợp của hàm
ϕ ∈ C , giả sử f : [0; ∞) × C → Rd và g : [0; ∞) × C → Rd×m .

Xét các phương trình vi phân ngẫu nhiên hàm d - chiều có dạng:
dy(t) =f (t, yt )dt + g(t, yt)dW (t),
y0 =ϕ = {ϕ(θ) : −τ ≤ θ ≤ 0},
15

t ≥ 0,

(1.5)


trong đó yt = {y(t+ θ) : −τ ≤ θ ≤ 0} là một quá trình ngẫu nhiên C giá trị, y0 ∈ D
sao cho E||ϕ||2 < ∞. Trong đó f (t, ϕ) là vector d- chiều và g(t, ϕ) là ma trận d ×m
chiều với mọi t ≥ 0. Ta giả sử phương trình (1.5) có một nghiệm toàn cục duy
nhất y(t, ϕ), với mọi ϕ ∈ C giả sử f (t, 0) = g(t, 0) ≡ 0. Khi đó phương trình (1.5)
có nghiệm tầm thường y(t) ≡ 0 tương ứng với điều kiện ban đầu y0 ≡ 0.
Định nghĩa 1.10. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) được gọi là ổn
định ngẫu nhiên nếu với mọi ε ∈ (0, 1) và r > 0 thì tồn tại một δ = δ(ε, r, 0) > 0
sao cho:
P {|y(t; ϕ)| > r, t ≥ 0} ≤ ε,

với bất kỳ điều kiện ban đầu ϕ ∈ D thỏa mãn P {||ϕ|| ≤ δ} = 1.
Định nghĩa 1.11. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) được gọi là ổn
định bình phương trung bình nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho
E|y(t, ϕ)|2 < ε


ta xác định được các hàm
Vϕ (t, y) = V (t, ϕ) = V (t, yt ) = U(t, y, y(t + θ)), −τ ≤ θ ≤ 0,

trong đó ϕ = yt , y = ϕ(0) = y(t).
Với mỗi V (t, ϕ) ∈ C 1,2 ([0, ∞)× Rd ; R+ ), xác định một toán tử LV : [0; ∞)×C →
R thì khai triển của toán tử sinh L của phương trình (1.5) có dạng:
LV (t, yt ) =

∂Vϕ (t, y)
∂Vϕ (t, y) 1
∂ 2 Vϕ (t, y)
+ f T (t, yt )
+ trace g T (t, yt )
g(t, yt ) .
∂t
∂y
2
∂y 2

Các định lý sau đây đã được chứng minh trong [14], nó chứa các điều kiện
theo đó các nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định tiệm cận
trung bình bình phương và ổn định ngẫu nhiên .
Định lý 1.6. Giả sử tồn tại một hàm V (t, ϕ) ∈ C 1,2 sao cho:
c1 E|y(t)|2 ≤ EV (t, yt ) ≤ c2 sup E|y(t + θ)|2
−τ ≤θ≤0

và
ELV (t, yt ) ≤ −c3 E|y(t)|2,
cho ci > 0, i = 1, 2, 3. Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) là ổn định
tiệm cận bình phương trung bình.


Mô hình

Giả sử tổng số vật chủ tại thời điểm t, được cho bởi N1 (t), phân chia thành
các lớp con S(t), I(t) và R(t) tương ứng là số cá thể có khả năng nhiễm bệnh,
đã bị nhiễm bệnh và đã bình phục. Giả thiết tất cả các cá thể mới vào là có khả
năng nhiễm bệnh và số cá thể đã bình phục thì miễn dịch vĩnh viễn cho bệnh

19


này, nên chúng không thể bị nhiễm một lần nữa.
Giả sử N2 (t) là tổng số vector tại thời điểm t, V (t) là số vector mang bệnh tại
thời điểm t và M(t) là số vectơ có khả năng nhiễm bệnh tại thời điểm t. Theo
quan sát, lây truyền trong quần thể vector là không đáng kể chỉ vì nó đang ở
trong quần thể vật chủ. Tuy nhiên, trái ngược với quần thể vật chủ các vectơ
khi đã mang mầm bệnh có thể không bình phục được, tức là chúng mang bệnh
suốt đời.
Hệ động lực của cả vật chủ và quần thể vector có dạng:
dS(t)
dt
dI(t)
dt
dR(t)
dt
dM(t)
dt
dV (t)
dt



phương trình này thu được bằng cách cộng ba phương trình đầu tiên của (2.1).
Tương tự, Kích thước của toàn bộ quần thể vector N2 (t) = M(t) + V (t), trong
đó N2 (t) là một nghiệm của phương trình vi phân
N2′ (t) = b2 − µ2 N2 (t),

phương trình này thu được bằng cách cộng hai phương trình cuối ở (2.1).
Vì lim N1 (t) =
t→∞

b1
b
, lim N2 (t) = 2 , ta có thể giả sử mà không mất tính tổng
µ1 t→∞
µ2

quát, rằng tổng số quần thể vật chủ và quần thể vector là hằng số, tức là:
N1 (t) =

b1
µ1

và N2 (t) =

b2
.
µ2

b
b1


với điều kiện ban đầu S(0) = S0 , I(0) = I0 và V (0) = V0 .
Trong thực tế, mô hình này miêu tả được các vector truyền bệnh như thế nào,
là các vector mang bệnh mà bản thân không bị nhiễm truyền một căn bệnh đến
quần thể vật chủ. Do đó nghiệm của hệ (2.2) phải không âm và thuộc trong hình
nón:
Γ′ = {(S, I, V ) ∈ R3 : 0 ≤ (S + I) ≤

b1
b2
, 0 ≤ V ≤ , S ≥ 0, I ≥ 0}.
µ1
µ2

(2.3)

Một đại lượng quan trọng nữa của hệ (2.2), nó mô tả động lực của bệnh dịch
được gọi là số sinh sản cơ sở R0 , trong đó:
R0 =

b1
µ1

λ2 λ3 b2
λ1
+
γ + µ1 µ2 µ2 γ + µ1

.


γ + µ1 µ2 (γ + µ1 )(λ3 I ∗ + µ2 )

(2.4)

Wei et al. [19] giới thiệu hệ (2.2) và họ đã cho thấy rằng nếu R0 ≤ 1 thì điểm
cân bằng bệnh tự do E0 là ổn định tiệm cận trên toàn cục và bệnh bị loại bỏ;
nếu R0 > 1 thì điểm cân bằng E ∗ là ổn định tiệm cận địa phương phía trong
của hình nón (2.3).
22


2.3

Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên

Sự biến động môi trường có ảnh hưởng đáng kể trên tất cả các khía cạnh của
cuộc sống thực, cho nên hợp lý khi đi nghiên cứu những biến động ảnh hưởng
đến các mô hình dịch tễ học được trình bày trong phần trước. Vì thế, ta đưa
các điều kiện nhiễu ngẫu nhiên vào hệ (2.2). Giả sử sự nhiễu loạn ngẫu nhiên
của các biến trạng thái xung quanh trạng thái ổn định E ∗ là dạng nhiễu trắng
Gaussian và nó tỷ lệ thuận với khoảng cách của S, I, V đến S ∗ , I ∗ , V ∗ tương ứng.
Mô hình dịch tễ của các bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu ngẫu
nhiên được cho bởi hệ :
dS(t)
= b1 − λ1 S(t)I(t) − λ2 S(t)V (t) − µ1 S(t) + σ1 (S(t) − S ∗ )w˙ 1 (t),
dt
dI(t)
= λ1 S(t)I(t) + λ2 S(t)V (t) − (γ + µ1 )I(t) + σ2 (I(t) − I ∗ )w˙ 2 (t),
dt
b2