LỜI CẢM ƠN

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức
cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong
quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: ThS. Lê Khắc Quynh
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt
nghiệp này.
Và em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người thân yêu,
bạn bè đã động viên khích lệ em rất nhiều để em có thể hoàn thành tốt khóa
luận của mình.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của
em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được những đóng
góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng năm 2013
Sinh viên

Trần Phương Thúy


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ, chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo:
ThS. Lê Khắc Quynh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận
văn của các tác giả khác.
Nếu sai xót em hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày tháng năm 2013
Sinh viên

làm này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời gian ngắn đã nắm được
các dạng bài tập, nắm được phương pháp giải và từ đó có thể phát triển hướng
1


tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tương tự. Được sự định hướng của
thầy giáo hướng dẫn ThS. Lê Khắc Quynh nên em quyết định chọn đề tài
“Phân loại và phương pháp giải một số bài toán dao động của sợi dây” để
nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình. Mong rằng đề tài này sẽ là
tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên mới bắt
đầu khi học về phương trình sóng một chiều và các bạn chuẩn bị thi đầu vào
cao học ngành Vật lý toán.
Mặc dù có sự yêu thích, với sự nỗ lực của bản thân trong việc tìm kiếm
và thu thập tài liệu. Cùng với sự giúp đỡ của thầy hướng dẫn trong khoảng
thời gian ngắn, lượng kiến thức của em còn hạn hẹp nên không tránh khỏi
những sai xót và hạn chế. Vì vậy em rất mong được sự góp ý của hội đồng xét
duyệt, của quý thầy cô và ý kiến của bạn đọc để luận văn càng ngày càng
hoàn thiện hơn. Những đóng góp của quý thầy cô và các bạn sẽ là hành trang
giúp em phát huy và sáng tạo trên con đường sự nghiệp sau này của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về phương trình dao
động sóng một chiều của sợi dây.
3. Giả thuyết khoa học
Dùng các phương pháp toán học để thiết lập và giải các bài tập về
phương trình dao động sóng một chiều của sợi dây.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về phương trình dao động sóng một chiều của sợi dây.
5. Phương pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu lí luận:
- Vật lý lý thuyết.

1.1. Đại cương về phương trình vật lý toán
Các phương trình mô tả sự biến thiên của các trường theo thời gian
thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa các hàm
chưa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập.
Cấp của đạo hàm là cấp cao nhất của hàm chưa biết có mặt trong phương
trình là cấp của phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với
hàm chưa biết và đạo hàm riêng của nó.
Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với
hai biến số độc lập:
A

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B

C
 D  E  Fu  Gx, y 
2
2
x
xy
y
x
y


Nghĩa là: D1  E1  F1  G1  0
4

(1-3)


2) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì có thể đưa ra phương
trình (1-1) trong miền ấy về dạng:
2u 2u
u
u
 2  D2  E2
 F2u  G2 ( ,)
2
 



(1-4)

Phương trình này gọi là phương trình hipebolic. Dạng đơn giản nhất
của phương trình hipebolic là phương trình dao động của sợi dây:
 2u  2u

 G2 ( , )
 2  2

(1-5)


 2u
2  u

a
t 2
x 2

(1-8)

Phương trình truyền nhiệt:
2
u
2 u
a 2
t
x

(1-9)

Phương trình Lalapxơ:
2u 2u

0
x2 y2

5

(1-10)



1.2. Lập phương trình dao động của sợi dây
Bài toán: Xét sợi dây căng là T nghĩa là mỗi điểm của sợi dây có lực T
tác dụng theo phương tiếp tuyến với nó. Giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động
là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do đó căng T là như
nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động.
Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x , còn dao
động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục

x và nằm cùng một mặt phẳng chứa trục x. Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa độ
Đềcác vuông góc x , u , trong đó u là kí hiệu độ lệch của dây khỏi vị trí cân
bằng. Trong quá trình dao động, u là hàm của hoành độ x và thời gian t,

u  (x, t) . Ta thiết lập phương trình cho u  ( x, t )

Hình 1. Biểu thức dao động của sợi dây
Xét đoạn dây từ x và x2 . Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t
1

và thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T. Ta hãy xác định hình chiếu trên
trục u của các lực tác dụng lên phần đang xét của sợi dây.
Gọi  1 là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm x1,  2 là
góc tương ứng ở điểm x2 . Tổng hình chiếu của lực căng T sin 2  T sin1 (*)
Giả sử rằng ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngược chiều với trục u
(chẳng hạn trọng lượng của dây). Mật độ phân bố của lực ngoài dọc theo sợi

7


dây kí hiệu là  g ( x, t ) . Thành thử hợp lực tác dụng lên phần sợi dây đang
x2

Ta đã biết:
u
u
x
sin  ( x ) 


2
x
1  tan 2  ( x )
 u 
1  
 x 
tan  ( x )

Do đó:

x2 2
 u

u
u
T (sin  2  sin 1 )  T 

  T  2 dx
x
x1
 x x  x2 x x  x1 

ở đây ta giả thiết là chiều dài của sợi dây không thay đổi trong suốt thời gian



(1-12)

là một hằng số dương

Phương trình dao động của sợi dây (1-12) là một phương trình vi phân
đạo hàm riêng hạng hai có hệ số là hằng số. Nó là một trong các phương trình
vật lý - toán đơn giản nhất.
Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t)  0 thì phương
trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây. Còn phương trình (1-12)
với g(x,t)  0 là không thuần nhất là mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây.
Kết luận chương 1
Chương 1 đã tìm hiểu một cách khái quát lý thuyết cơ bản về dao động
sợi dây như việc xây dựng phương trình, xét các điều kiện dao động.

9


Chương 2
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY

Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào
vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban
đầu dao động của sợi dây.
Trong khuân khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập
hay gặp trong quá trình nghiên cứu các dạng bài tập ôn luyện thi đầu vào cao
học, em chia làm bốn dạng lớn bài tập về dao động của sợi dây:
1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cô-si


(2-1)

với    x  , t  0
u t  0  f ( x )

 u
 F ( x)
 t
 t 0

Thỏa mãn các điều kiện ban đầu

(2-2)

Đây là bài toán Côsi đối với phương trình (2-1). Điều kiện (2-2) gọi là
điều kiện ban đầu.
Muốn tìm nghiệm của phương trình (2-1) ta hãy đưa nó về dạng dễ
dàng hơn bằng cách đổi biến số.
Đặt   x  at ;   x  at ta có:
u u u


;
x  

 u u 
u
 a 




2
2
 2u
2  u
2  u

a


4
a
t 2
x2


Vậy phương trình (2-1) có dạng

 2u
  u 
u
 0 vì
   0 nên
 1 ( )

   


trong đó 1 là hàm tùy ý. Từ đó: u( , )   1 ( )d   ( ) trong đó  là hàm

Bây giờ ta dựa vào các điều kiện ban đầu (2-2) để xác định các hàm
 ;  . Trong (2-1) ta thay t  0

  x    x   f  x 

(2-4)

u
 x 
  x
a
a
 F x
t t 0
 x 
 x 

(2-5)

Lấy tích phân 2 vế của (2-5) từ 0 đến x ta được:
x

a   x    0   a   x    0    F  d 
0

Hay nếu đặt C   0  0 , ta được:
x

  x   x  


F  d  
2
2 a 0
2

a

Thay biểu thức vào (2-3) ta được:
u x, t  

1
 f x  at   f x  at   1
2
2a

x  at

(2-7)

 F  d
x  at

Công thức này gọi là nghiệm Đalambe của bài toán Côsi đối với
phương trình dao động của sợi dây.
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu ý nghĩa vật lí của nghiệm này. Muốn vậy, đầu
tiên ta giả sử rằng F  x   0 và f  x  0 trong một quãng hữu hạn  l, l  . Điều
đó có nghĩa là dao động xuất hiện chỉ là do độ lệch ban đầu của dây khỏi vị
trí cân bằng trong quãng  l, l  . Khi đó phương trình dao động (2-7) có dạng:
u


m khác nhau
Ta có thể kếtt luận
lu như sau: Một điểm nằm
m ngoài quãng  l , l   x  l 
vẫn giữ nguyên trạng
ng thái nnằm yên cho đến khi mộtt trong các sóng đến
đ truyền
tới (sóng thuận nếu x  l, nghịch nếu x  l ).
Điều kiện xảy
y ra ở thời điểm t1 
này, nghĩa làà sau thời
th điểm t 2 

x l
. Khi sóng tương ứng đi qua điểm
a

x l
, một lần nữa nó lạại trở về trạng thái
a

đứng yên.
Ta nói rằng ở thời
th điểm t1 mặc dầu sóng đi tới điểm x , còn ở thời điểm
t2 là mặt cuốii sóng đi tới
t điểm x . Giữa các thời điểm t1 và t2 sóng đi qua x

làm cho nó lệch khỏii vị
v trí cân bằng.


v 0 là một hằng số.

Khi t  0 thì u  0 . Khi tăng thời gian t , miền lấy
y tích phân trong (2-9)
mở rộng ra. Trên Hình
H
4 biểu diễn dạng của sợii dây ở các thời điểm
t  0,

l l 3l 2l
, , , .
2a a 2 a a

Hình 4. Biểu
u di
diễn dạng của sợi dây ở các thời điểm
m khác nhau

15


Độ lệch cực đại về phía trên, nếu coi F  x là va chạm xung từ phía dưới
lên là:
l

1
vl
v0 d  0

2a l

3  x khi 2  x  3
0 khi x  3

1
2

Tại các thời điểm t0  0, t1  , t 2  1, t3  2,5 . Xét dao động của các điểm x  0,
x  1, x  1, biết vận tốc truyền sóng a  2 .

Giải
Ta có nghiệm tổng quát của bài toán cho sợi dây dài vô hạn theo công
thức Đalambe
u  x, t  

x  at

1
1




f
x

at

f
x



b) Tại t1 

1
 at1  1
2

0 khi x  0
 x khi 0  x  1

f  x  1  
2  x khi 1  x  2
0 khi x  2

0 khi x  2
 x  2 khi 2  x  3

f  x  1  
3  x khi 3  x  4
0 khi x  4

Vậy
0 khi x  0
x
 khi 0  x  1
2
2  x
khi 1  x  2

 1  2


khi  1  x  0
 2
1  x
khi 0  x  1

 2
 u x,1  0 khi 1  x  3
x 3

khi 3  x  4
 2
x 5
khi 4  x  5

 2
0 khi x  5

d) Tại thời điểểm t3  2,5  at3  5
0 khi x  4
 x  4 khi  4  x  3

f  x  5  
 x  2 khi  3  x  2
0 khi x  2

0 khi x  6
 x  6 khi 6  x  7

f  x  5  

1

Giả sử lúc t  0 sợi dây có dạng như hình vẽ

ở mỗi thời điểm t chỉ

việc vẽ các sóng thuận
thu và sóng nghịch rồi cộng tung độộ các sóng ấy ta sẽ
1
2

được dạng của sợii dây ở các thời điểm t0  0, t1  , t 2  1, t3  2,5 . Các sóng
,

thuận và nghịch đượ
ợc vẽ ở các hình
dây được vẽ ở các hình

,

,

,

19

,

,


Kết thúc dao động: t  2
2.2. Dạng 2: Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc
biệt
Dao động tự do của sợi dây hữu hạn là bài toán đi tìm nghiệm u x, t 
2
2
0  x  l
của phương trình  u2  a 2  u2  0 trên miền D  

t

ban đầu

u t  0  f ( x )

 u
 g ( x)
 t
 t 0

0  t  

x

với điều kiện biên

và với các điều kiện biên khác nhau.

Ta sử dụng phương pháp tách biến Furiê
Ta có thể chia ra một số bài toán với các điều kiện biên hay gặp, cụ thể

u x  l  0

và điều kiện biên: 

trong đó a là hằng số  0 , các hàm f x  và g x  giải tích trên D
Giải
Ta hãy xét một sợi dây hữu hạn chiều dài l , chiếm đoạn 0, l  của trục
x khi cân bằng. Sử dụng phương pháp tách biến, ta sẽ tìm nghiệm u x, t  của
bài toán dưới dạng:
u x, t   X  x T t 

(1.1)

2
2
Thay (1.1) vào phương trình  u2  a 2  u2  0 ta được:

t

x

XT ' ' a 2TX ' '  0  a 2

X '' T ''

X
T

(1.2)


 a2 e 

cx

(trong đó a1; a2 là các hằng số tích phân)
u x  0

u x l

Từ điều kiện biên 

21

 X x x 0  0

 X x x l  0

(1.5)




a1  a2  0

a1e ce  a2e

ce

a  0
 1

(1.8)

Thay (1.8) vào (1.7) thì X x   0  ux, t   0


Nếu c  0 thì đặt c  2  0  r  i và phương trình (1.3) có nghiệm

X  x  dạng:

X  x   c1 sin x  c2 cos x

(1.9)

(trong đó c1;c2 là các hằng số tích phân)
u x  0

Từ điều kiện biên 

u x l

 X x  x 0  0

 X x  x l  0



c  0
c sin x  0
 2
 1