LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trương đến nay khóa
luận của em đã hoàn thành. Trong thời gian nghiên cứu em đã được sự giúp
đỡ tận tình của giảng viên – TS. Phạm Thị Minh Hạnh – người trực tiếp
hướng dẫn em làm khóa luận này cùng các thầy cô trong khoa Vật lí, đặc
biệt là tổ Vật lí lý thuyết trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các bạn sinh
viên khoa Vật lí.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lí
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết,
đặc biệt là cô giáo – TS. Phạm Thị Minh Hạnh đã động viên, tạo mọi điều
kiện, xin cảm ơn tất cả các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa
luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Phan Thị Thương

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các khóa luận khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

3.3. Phương trình chuyển động của các toán tử as q, t và

 


a q, t …………………………………………………………………….....42


s

 

3.4. Nhiệt động lực học thống kê của tinh thể……………………………43
3.4.1. Năng lượng tự do của dao động mạng……………………….....43

3


3.4.2. Năng lượng và nhiệt dung của vật rắn…………………………..45
3.5. Mô hình Einstein và mô hình Debye………………………………...46
3.5.1. Mô hình Einstein…………………………………………….....46
3.5.2. Mô hình Debye…………………………………………………48
KẾT LUẬN………………………………………………………………......53
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………........54

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

2. Mục đích nghiên cứu.
Qua nghiên cứu tìm hiểu về đề tài: “Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về
dao động mạng” để hiểu được quy luật vận động của các nguyên tử, phân tử
trong tinh thể vật rắn theo lý thuyết lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật rắn.
- Dao động mạng tinh thể theo lý thuyết cổ điển. Xét các bài toán dao
động mạng tinh thể điển hình.
- Áp dụng lý thuyết lượng tử vào nghiên cứu dao động mạng tinh thể.
4. Đối tượng nghiên cứu.
- Mạng tinh thể vật rắn.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.
- Dùng phương pháp của vật lý thống kê và của cơ học lượng tử.
6. Cấu trúc khóa luận.
Khóa luận gồm có 3 chương:
- Chương 1. Cấu trúc tinh thể
- Chương 2. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng
- Chương 3. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng

6


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ

1.1. Cấu thành vật rắn và thế liên kết các nguyên tử
Trạng thái rắn của vật chất có thể tồn tại được là do xuất hiện các lực
tương tác giữa các hạt cấu tạo nên vật rắn khi chúng lại gần nhau ở khoảng

công thức:
7


U

3
J
 - 2 6
tx
4 r

(1.2)

trong đó:  là độ phân cực, r là khoảng cách, J là năng lượng kích thích.
Dưới tác dụng của cường độ điện trường  làm xuất hiện momen
lưỡng cực:
M   .

(1.3)

Tương tác định hướng có năng lượng tương tác được biểu diễn:
Ở vùng nhiệt độ thấp:

M2
U dh  
2 0 r 2

(1.4)


hiện cả ba loại lực liên kết. Năng lượng tương tác được biểu diễn như sau:
U  U tx  U dh  U cu

Bằng thực nghiệm người ta chứng minh được: U cu  U tx ,U dh .
Liên kết ion là loại liên kết xuất hiện giữa kim loại điển hình với
nhóm Halogen. Bản chất của liên kết ion là lực tương tác tĩnh điện giữa các ion
trái dấu.
Năng lượng tương tác được xác định:
8


U

B
q2

r n 4 0r

(1.7)

trong đó: B, n là hằng số, q là điện tích, r là khoảng cách giữa các nguyên tử,

 0 là hằng số điện môi.
Liên kết cộng hóa trị là loại liên kết được tạo thành bởi các cặp
electron có spin đối song. Đây là loại liên kết mạnh mặc dù là liên kết giữa
các nguyên tử trung hòa. Ví dụ như liên kết trong tinh thể kim cương, Si, Ge,
GaAs, GaP, AlP, v.v….
Liên kết cộng hóa trị có tính định hướng và bão hòa.
Liên kết kim loại là loại liên kết xuất hiện trong kim loại, về cơ bản
liên kết kim loại giống như liên kết cộng hóa trị ở chỗ có các điện tử hóa trị

a2

aa

y

o

x

H2.1
Hình H2.1 diễn tả mạng tinh thể nhận được bằng cách tịnh tiến các hạt
dọc theo ba trục:
Ox theo các đoạn: a1 , 2a1 , 3a1 ,...
Oy theo các đoạn: a2 , 2a2 , 3a2 ,...
Oz theo các đoạn: a3 , 2a3 , 3a3 ,...
Khi đó vị trí của một nút mạng bất kỳ được xác định bởi véctơ:




r  n1 a1  n2 a2  n3 a3
(2.1)
  
trong đó: ni (i=1, 2, 3) là các số nguyên, a1 , a2 , a3 là các véctơ tịnh tiến cơ sở.

Tập hợp các điểm có bán kính véctơ r được xác định theo công thức
(2.1) với các giá trị khác nhau của ni (i=1, 2, 3) sẽ lập thành mạng không
10


nó chỉ chứa một hạt trên một ô cơ sở.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp để mô tả một cách đầy đủ hơn sự
đối xứng của mạng tinh thể, ô cơ sở được xây dựng bằng cách chứa các hạt
không chỉ ở đỉnh mà còn có ở các điểm khác, ô cơ sở như vậy gọi là ô phức tạp.
Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian người ta
chia thành bảy hệ ứng với bảy loại ô sơ cấp khác nhau, mỗi hệ được đặc trưng
  
bởi quan hệ giữa các véctơ cơ sở a1 , a2 , a3 và các góc  ,  ,  giữa các
véctơ đó được trình bày trong bảng 2.1.
11


Bảng 2.1
Hệ

Số mạng tinh thể

Tính chất
  
a1  a2  a3

Tam tà (Triclinic)

+ Tam tà

      900
  
a1  a2  a3

Đơn tà (Monoclicnic) + Đơn tà

+ Hệ lập phương

  
a1  a2  a3

      900

tâm khối
  
a1  a2  a3

Tam giác (Trigonal)

+ Hệ tam giác

      900 ,  1200
  
a1  a2  a3

Lục giác (Hexagonal) + Hệ lục giác

    900
  1200

12


Tiếp theo ta nghiên cứu các mặt và các hướng của tinh thể.
Trong một mạng tinh thể ta luôn có thể xác định tập hợp các mặt song
song mà chúng chứa các điểm mạng. Các mặt này là các mặt tinh thể. Mặt

1 1 1
: :
n1 n2 n3

13


Chú ý: Các mặt phẳng mạng song song thì có cùng chỉ số Miller vì
vậy chỉ số Miller (hkl) có thể kí hiệu cho một mặt phẳng mạng hay cho một
họ mặt phẳng mạng song song với nhau.
Nếu mặt phẳng mạng song song với một trục tọa độ thì coi như mặt
phẳng đó cắt trục tọa độ ở vô cực và chỉ số Miller coi như bằng 0.
Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số
Miller tương ứng có giá trị âm và kí hiệu dấu “ ˉ ”.
1.3. Véctơ mạng đảo
Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba véctơ cơ sở
  
a1 , a2 , a3 vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ véctơ:




r  n1 a1  n2 a2  n3 a3
(3.1)
  
trong đó: n1 , n2 , n3 là các số nguyên, a1 , a2 , a3 là các véctơ cơ sở.
  
Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba véctơ b1 , b2 , b3
được xác định như sau:
 

14

(3.3)


  
b1  a2 , a3
  
b2  a3 , a1
  
b3  a1 , a2

 
Tức là: ai .b j  2 . ij

(3.4)

(3.5)

Tính chất 2: Độ lớn của véctơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo
của chiều dài.

1
[b j ]  
[ai ]

(3.6)

Tính chất 3: Hình hộp chữ nhật dựng nên từ ba véctơ cơ sở của mạng
  

d( hkl )  
G ( hkl )

15

(3.9)


1.4. Vùng Brillouin
Vùng Brillouin được định nghĩa là ô mạng cơ sở của ô mạng đảo.
Nhận xét: Tất cả các đại lượng vật lý đặc trưng cho tinh thể một chiều

phụ thuộc vào véctơ sóng hiệu dụng k (độ lớn của véctơ sóng k ) sẽ được lặp
lại một cách tuần hoàn với chu kỳ

2
. Và do tính chất tuần hoàn này nên ta
a

chỉ cần xét tần số góc  của electron trong mạng một chiều đơn giản trong
khoảng

2
trên trục k , do tính đối xứng ta chỉ cần xét k với các giá trị đối
a

xứng qua gốc tọa độ.


 

.
a



 
Khoảng giá trị    k   trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ
a
 a
nhất.
1.5. Điều kiện tuần hoàn Born – Karman
Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể chứa rất
nhiều nguyên tử. Nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn
bị vi phạm ở biên và trong tinh thể một chiều thì đó chính là điểm đầu và
điểm cuối của dãy nguyên tử. Tuy nhiên nếu tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng
của biên là rất nhỏ và có thể bỏ qua ta coi tính chất của tinh thể khi ấy gần
giống như tinh thể vô hạn.
Để đảm bảo điều kiện tuần hoàn của tinh thể người ta đưa vào điều
kiện tuần hoàn Born – Karman như sau: Dao động của nguyên tử ở đầu dãy
giống với dao động của nguyên tử ở cuối dãy, xét với tinh thể có N nguyên tử.
(5.1)

U n  U n N

U n là độ dời hay độ dịch chuyển của nguyên tử thứ n khỏi vị trí cân

bằng. Do các nguyên tử dao động tạo nên các sóng. Hàm sóng là nghiệm của
phương trình dao động có dạng:
U n  A.ei ( kna t )




 
Trong mạng một chiều    k   , vì vậy các giá trị của m nằm
a
 a
trong khoảng:


N
N
m
2
2

Vậy sẽ có N giá trị của m ứng với N giá trị của k.

18


CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ DAO ĐỘNG MẠNG

2.1. Dao động mạng trong hệ một chiều gồm một loại nguyên tử
Bài toán: Xét tinh thể được cấu tạo từ các nguyên tử giống nhau, đặt
cách đều nhau trên một đường thẳng, khoảng cách giữa các nguyên tử là a,
khối lượng nguyên tử là m.
Vị trí của nguyên tử thứ n được xác định bằng tọa độ:
(1.1)

X n  X 0n  U n

,
m
 n 0
 n m 0,0

  0  



1
 3

 U nU mU h  ...

3! n ,m,h  X n X mX h 0,0,0

(1.2)

Tại các đạo hàm có chỉ số 0 kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng.
Tại vị trí cân bằng thế năng có giá trị cực tiểu:

  

 0

X
 n 0
Nếu chọn gốc thế năng tại 0 và dừng lại ở gần đúng bậc hai thì thế
năng có dạng:


  2 
 Fn   
U


nmU m


m
m 1  X n X m  0,0
m 1

..

..

Gọi U n là gia tốc của nguyên tử n: U n 

(1.4)

d 2U n
dt 2

Theo định luật II Newton, ta có:
..

mU n  Fn
N
N
..

)

 ( nm .a )
(1.6)


Nếu ta cho mọi nguyên tử dịch chuyển một khoảng như nhau, nghĩa là:
U1  U 2  U 3  ...  U n  U m  ...

Khi đó, lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là: Fn  0 , từ phương trình
(1.5) ta suy ra:
N



nm

0

(1.7)

m 1

Nếu chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử gần nhau nhất thì từ phương
trình (1.7) ta có:

n ,n1  n ,n  n ,n1  0

(1.8)


mU n   (2U n  U n1  U n1 )

(1.10)

Nghiệm của phương trình dao động được tìm dưới dạng:

U n  Aei ( qna t )

(1.11)

trong đó, A là biên độ dao động,  là tần số dao động, q 

2



là véctơ sóng


hiệu dụng hay chính là độ dài của véctơ sóng q ,  là độ dài bước sóng, t là

thời gian.
Thay (1.11) và (1.10) ta được:

m 2    2  cos(qa)  isin(qa)  cos(qa)  isin(qa)
 qa 
 2 1  cos(qa )  4 sin 2  
 2 

Từ đó ta tìm được biểu thức cho tần số góc  của dao động:

Nhận xét: Tất cả các đại lượng vật lý đặc trưng cho tinh thể một chiều
phụ thuộc vào véc tơ sóng hiệu dụng q sẽ được lặp lại một cách tuần hoàn
với chu kỳ là

2
. Và do tính chất tuần hoàn này ta chỉ cần xét  trong
a

22


khoảng

2
trên trục q . Do tính chất đối xứng của hệ trục tọa độ nên ta chỉ
a


 
cần xét giá trị của q đối xứng qua gốc tọa độ, tức là    q   .
a
 a
Hình vẽ biểu diễn sự phụ thuộc của tần số góc  vào véctơ sóng hiệu


 
dụng q trong khoảng    q   .
a
 a




với khoảng cách AA=BB=a.
Gọi U n ( A) và U n ( B ) là độ dịch chuyển của hai nguyên tử A và B
trong ô mạng thứ n.
Trong mô hình tương tác cặp gần nhất, lực tác dụng lên nguyên tử A ở
ô thứ n là:
Fn ( A)   1 U n ( A)  U n ( B )   2 U n ( A)  U n 1 ( B )

Lực tác dụng lên nguyên tử B ở ô thứ n trong mô hình tương tác cặp
gần nhất là:

Fn ( B)   1 U n ( B)  U n ( A)   2 U n ( B )  U n1 ( A)
Phương trình dao động của hai nguyên tử A, B là:
..

 Fn ( A)  mA U n ( A)

..
 Fn ( B)  mB U n ( B)

hay:
..

m
U
 A n ( A)   1 U n ( A)  U n ( B )   2 U n ( A)  U n1 ( B )

..
mB U n ( B )   1 U n ( B )  U n ( A)   2 U n ( B )  U n1 ( A)

 1   2e  A    2  1   2  A  0
 1 
 2

mB
mB 




24


Để hệ trên có nghiệm A1 , A2  0 thì định thức của hệ phương trình trên
phải bằng 0, tức là:
 2   
  1 2 

m A 


    eiqa 
 1 2



mA







1

1


sin

 
 2 2 0
 2  




trong đó:

02   1   2 

 mA  mB 
mAmB



1 2   mAmB 
2 
2
  1   2     mA  mB  