TOÁN 4 NÂNG CAO THEO CHỦ ĐỀ
(31 CHỦĐỀ)

1/Số tự nhiên - Dãy số tự nhiên
A. Kiến thức cần ghi nhớ

3. Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0, không có số tự nhiên lớn nhất.
4.Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.
5.Các số có chữ số tận cùng là 0,2,4,6,8 là các số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau hai đơn vị.
6.Các số có chữ số tận cùng là 1,3,5,7,9 là các số lẻ. Các số lẻ hơn (kém) hai đơn vị.
7. Đối với dãy số tự nhiên liên tiếp
a. Khi thêm 1 vào bất cứ số tự nhiên khác 0 nào cũng được số tự nhiên liền trước nó. Vì vậy không có số
tự nhiên lớn nhất và dãy số tự nhiên có thể kéo dài mãi mãi.
b. Bớt 1 ở bất kỳ số tự nhiên khác 0 nào cũng được số tự nhiên liền trước đó. Vì không có số tự nhiên nào
liền trước số 0 nên 0 là số tự nhiên lớn nhất.
c. Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ kết thúc là số chẵn
thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
d. Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn
số lượng số lẻ là 1.
e. Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số chẵn
là 1.
8. Một số quy luật của dãy số thường gặp:
a. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d.
b. Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đúng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên
q(q>1).
c. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
d. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi
cộng với thứ tự của số hạng ấy.
e. Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
f. Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó.
9. đối với dãy số cách đều:

*1;4;9;16;25....v..v......................
Ta có:
1=1x1
4=2x2
9=3x3
Số đó bằng số thứ tự nhân với chính nó.
-Số thứ 100 là :100x100=10000
Số thứ n = n x n
*1;4;7;10;13...vvv Dạng này thường có các yêu cầu:
- Tính tổng của 50 số đầu.(Tím số đầu ,số cuối và ghép cặp;tìm số cặp ;giá trị 1 cặp rồi chuyển thành phép
nhân)
-Cho các số và xem số đó có thuộc dãy đó không.
Ta có : 1:3 =0 dư1
4:3=1dư1
7:3 =2 dư1
Các số chia cho 3 có số dư là 1
Đem số yêu cầu chia nếu cùng giống thì kết luận có thuộc dãy số không.
-Tìm số thứ n của dãy số.
-Cách tìm các số dựa váo số thứ tự
Ta có :
1=(1-1)x3+1
4=(2-1)x3 +1
7= (3-1)x3 +1
10 = (4-1)x3 +1
Ta có số đó bằng số thứ tự trừ 1 nhân 3 cộng 1.
Số thứ 100 của dãy số là
(100 -1) x 3 +1= 298
Số thứ n = ( n-1) x 3 +1
+ Ví dụ : Cho các số 1;4;7;10;.....................
a.Số 2221;2234 có thuộc dãy số đó không ?

3/CẤU TẠO SỐ
1. Sử dụng cấu tạo thập phân của số
1.1. Phân tích làm rõ chữ số
ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c
Ví dụ: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính
số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho.
Bài giải
Bước 1 (tóm tắt bài toán)
Gọi số có 2 chữ số phải tìm là (a > 0, a, b < 10)
Theo bài ra ta có = a + b + a x b
Bước 2: Phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và bên phải dấu bằng, rồi
đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức đơn giản nhất.
a x 10 + b = a + b + a x b
a x 10 = a + a x b (cùng bớt b)
a x 10 = a x (1 + b) (Một số nhân với một tổng)
10 = 1 + b (cùng chia cho a)
Bước 3: Tìm giá trị :
b = 10 - 1
b=9
Bước 4 : (Thử lại, kết luận, đáp số)
Vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9.

3


Đáp số: 9
1.2. Phân tích làm rõ số
ab = a 0 + b
abc = a 00 + b0 + c

Nếu b = 4 thì ab = 6 x 4 = 24. (chọn)
Nếu b = 6 thì ab = 6 x 6 = 36. (chọn)
Nếu b = 8 thì ab = 6 x 8 = 48. (chọn)
Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.
Cách 2:
Bước 1: Gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10)
Theo đề bài ta có: ab = 6 x b
Bước 2: Xét chữ số tận cùng
Vì 6 x b có tận cùng là b nên b chỉ có thể là: 2, 4, 6 hoặc 8.
Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn
Nếu b = 2 thì ab = 6 x 2 = 12 (chọn)

4


Nếu b = 4 thì ab = 6 x 4 = 24 (chọn)
Nếu b = 6 thì ab = 6 x 6 = 36 (chọn)
Nếu b = 8 thì ab = 6 x 8 = 48 (chọn)
Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
Đáp số: 12, 24, 36, 48.
II. Một số dạng toán điển hình :
Dạng 1: Viết số TN từ những chữ số cho trước
Bài 1 : Cho bốn chữ số : 0; 3; 8 và 9.
a) Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho ?
b) Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho?
c) Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho ?
Lời giải:
Cách 1.
Chọn số 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số:


9ab = ab × 13
900 + ab = ab × 13
900 = ab × 13 - ab
900 = ab × ( 13 – 1 )
900 = ab × 12

5


ab
ab

= 900 : 12
= 75

Vậy số phải tìm là 75.
Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112
đơn vị.
Lời giải:
Gọi số phải tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số abc5
Theo bài ra ta có:
abc5 = abc + 1112

× abc + 5 = abc + 1112
10 × abc = abc + 1112 – 5
10 × abc - abc = 1107
( 10 – 1 ) × abc = 1107
9 × abc = 1107
abc = 1107 : 9

b) Kết quả sai, vì tích của một số TN nhân với chính nó có tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6
hoặc 9.

4. Các bài toán về dãy số
I. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

6


Cách giải. Trước hết cần xác định quy luật của dãy số.
Những quy luật thường gặp là :
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó nhân ( hoặc chia) với một số TN q
khác 0.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng hai hạng đứng trước nó .
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số TN d cộng với số
thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
Vvv.....
Bài 1. Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...
c) 0 ; 3; 7; 12;...
d) 1; 2; 6; 24;...
Lời giải:
a) Nhận xét :
4 = 3 + 1; 7 = 3 + 4; 11 = 4 + 7;....
Từ đó rút ra quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng của hai số hạng
đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76;...

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 2 × 1 + 1 = 3.
b) Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là : Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự nhân với STT của
số hạng đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 × 1 = 1.
II. Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không

7


Cách giải:
- Xác định quy luật của dãy.
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không.
Bài 1: Hãy cho biết:
a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90; 95; 100;...hay không ?
b) Số 1996 thuộc dãy 2;5;8;11;... hay không ?
c) Số nào trong các số 666; 1000; 9999 thuộc dãy 3; 6; 12; 24;... hay không ?
Giải thích tại sao ?
Lời giải :
a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho, vì :
- Các số hạng của dãy đều lớn hơn 50.
- Các số hạng đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
b) Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 mà 1996 chia cho 3
thì dư 1.
c) Cả 3 số 666; 1000 và 9999 đều không thuộc dãy đã cho, vì :
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng
( kể từ số hạng thứ ba ) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666 : 2 = 333 là số lẻ.
- Các số hạng đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.
III. Tìm số số hạng của dãy
Cách giải:

( SLN + SBN ) × Số số hạng : 2
Bài 1 . Tính tổng của 50 số lẻ đầu tiên .
Lời giải:
Dãy 100 số lẻ đầu tiên là : 1; 3; 5; ........; 97; 99. Vậy ta phải tìm tổng sau:
1 + 3 + 5 +......+ 97 + 99

8


Vậy tổng phải tìm là : ( 99 + 1 )

× 50 : 2 = 2500

5. Bốn phép tính với số tự nhiên
5.1. Phép cộng
A. Kiến thức cần ghi nhớ
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0
4. ( a – n ) + ( b - n) = a + b – n x 2
5. (a - n) + (b + n) = a + b
6. (a + n ) + (b + n) = a + b + n x 2
7. Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó tăng lên
đúng bằng(n -1) lần số hạng dược gấp lên đó.
8. Nếu một số hạng được giảm đi n lần, đồng thời số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi
một số đúng bằng (1-

1
) số hạng bị giảm đi đó.
n


9


1. a × b = b × a
2. a × (b × c) = (a × b) × c
3, a × 0 = 0 × a = 0
4, a × 1 = 1 × a = a
5, a × (b + c ) = a × b + a × c
6, a × (b − c ) = a × b − a × c
7.Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác giảm đi n lần thì tích
không thay đổi.
8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên
n lần và ngược lại nếu một tích có thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị
giảm đi n lần.(n>0).
9. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích
gấp lên (m × n)lần. Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần , một thừa số bị giảm đi n
lần thì tích giảm đi (m × n)lần. (m và n khác 0)
10. Trong một tích nếu một thừa số tăng lên a đơn vị , các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng
lên a lần tích các thừa số còn lại .
11. Trong một tích nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó là chẵn .
12. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hược ít nhất có một thừa số tận cùng bằng 5 và
có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
13. Trong một tích các thừa số đều là lẻ và có ít nhất một thừa số tận cùng bằng 5 thì tích có tận cùng là 5.
Bài 1: Tìm tích của 2 số, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa số thứ 2 lên 4 lần thì
được tích mới là 8400.
Bài giải
Tích của hai số là :
8400 : 2 = 4200 ( Vì trong một tích nếu có một thừa số gấp lên nlần và thừa số kia gữ nguyên thì thích đó
gấp lên nlần và ngược lại.)

số bi của An. Chi có số bi hơn mức trung bình cộng của ba
2

bạn là 6 viên bi. Hỏi Chi có bao nhiêu viênn bi?
Giải:
Số bi của Bình là: 20 ×

1
= 10 (viên)
2

Nếu Chi bù 6 viên bi cho hai bạn rồi chia đều thì số bi của ba bạn sẽ bằng nhau và bằng trung bình của
cả ba bạn.
Vậy trung bình cộng số bi của cả ba bạn là: ( 20 + 10 + 6 ) : 2 = 18(viên)
Số bi của Chi là: 18 + 6 = 24 (viên)
5. Trong các số , nếu một số kém trung bình cộng của các số đó n đơn vị thì trung bình cộng của các
số đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị rồi chia số các số hạng còn lại.
VD: An có 20 bi, Bình có 20 bi. Chi có số bi kém trung bình cộng của cả ba bạn là 6 bi. Hỏi Chi có bao
nhiêu bi?
Giải:
Nếu An và Bình bù cho Chi 6 viên bi rồi chia đều thì số bi của cả ba bạn sẽ bằng nhau và bằng trung
bình cộng của cả ba bạn.
Vậy trung bình cộng số bi của ba bạn là: ( 20 + 20 - 6 ): 2 = 17 (bi)
Số bi của Chi là: 17 - 6 = 11 (bi)
6. Bài toán có thêm một số hạng để mức trung bình cộng của tất cả tăng thêm n đơn vị, ta làm như
sau:
B1: Tính tổng ban đầu
B2: Tính trung bình cộng của các số đã cho.
B3: Tính tổng mới = (trung bình cộng của các số đã cho + n) × số lượng các số hạng mới.
B4: Tìm số đó = tổng mới – tổng ban đầu

Ví dụ 2 : Đội tuyển học sinh giỏi khối 5 của một trường Tiểu học có 16 bạn. Biết rằng 2/5 số bạn nam
nhiều hơn 1/2 số bạn nữ là 1 bạn. Hỏi đội tuyển có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ ?
Phân tích : Bài toán này cho biết tổng của số học sinh và hiệu giữa 2/5 số bạn nam với 1/2 số bạn nữ nên
không thể coi là dạng toán tìm hai số biết tổng và hiệu được. Vì 2/5 số bạn nam nhiều hơn 1/2 số bạn nữ
là 1 bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ là : 1 x 2 = 2 (bạn). Từ hướng phân tích này ta có thể
đưa bài toán về dạng tìm hai số biết tổng và tỉ của hai số đó.
Bài giải : Vì 2/5 số bạn nam nhiều hơn 1/2 số bạn nữ là 1 bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ
là : 1 x 2 = 2 (bạn), ta có sơ đồ 1 :

Nếu đội tuyển có thêm 2 bạn nữ thì số bạn nữ bằng 4/5 số bạn nam. Khi đó số học sinh của cả đội là : 16
+ 2 = 18 (bạn), ta có sơ đồ 2 :

Số bạn nam của đội tuyển là : 18 : (4 + 5) x 5 = 10 (bạn).

12


Số bạn nữ của đội tuyển là : 16 - 10 = 6 (bạn).
Ví dụ 3 : Một trường Tiểu học có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40 học sinh. Trong đó 3/4
số bạn nam và 1/2 số bạn nữ đạt danh hiệu học sinh tiên tiến. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của
trường đó. Biết số học sinh tiên tiến của trường đó là 530 bạn.
Phân tích : Khi vừa đọc bài toán nhiều học sinh sẽ nghĩ ngay đây là loại toán tìm hai số biết tổng và hiệu.
Tuy nhiên đầu bài không cho biết tổng số học sinh của cả trường mà cho biết tổng số học sinh tiên tiến
của trường bao gồm 3/4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ. Vì số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40
học sinh nên 3/4 số bạn nam nhiều hơn 3/4 số học sinh nữ là 30 học sinh. Từ đó ta có thể đưa bài toán về
dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ.
Bài giải : Nếu coi số học sinh nữ toàn trường là 4 phần thì 3/4 số học sinh nữ là 3 phần, 3/4 số bạn nam
(số học sinh nam đạt học sinh tiên tiến) là 3 phần cộng thêm một đoạn biểu thị 30 học sinh và số học sinh
nữ đạt học sinh tiên tiến là 2 phần, ta có sơ đồ sau :


số bị chia)
Bài giải
Giá tiền một quyển vở là:

13


20.000 : 5 = 4.000 (đồng)
Số tiền bạn Vĩnh mua hết là:
4.000 x 15 = 60.000 (đồng)
Số tiền bạn Kim mua hết là:
60.000 + 20.000 = 80.000 (đồng)

9. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHIA HẾT
a)Kiến thức cần ghi nhớ
1. Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
2. Những số có tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho 5.
3. Các số có tiổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
4. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
5. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4.
6. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
7. Các số có 3 chữ số tận sùng lập thành số chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8.
8. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì số đó chia hết cho 125.
9. a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m(m > 0) thì tổng a+b và hiệu a – b ( a > b) cũng chia hết cho m.
10. Cho một tổng có một số hạng chia hết cho m dư r (m>0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng
chia cho m cũng dư r.
11. a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì ( a – b ) chia hết cho m ( m > 0 ).
12. Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m ( m > 0 ).
13. Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0 ). Đồng thời m và n chỉ cùng chia hết
cho 1 thì a chia hết cho tích m × n.

Phương pháp giải :
- Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thi trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận
cùng.
- Tiếp đó dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải tìm để xác
định các chữ số còn lại.
Bài 1 : Thay x và y trong số a = 1996 xy để được số chia hết cho 2; 5 và 9.
Lời giải:
- a chia hết cho 5, vậy y phải bằng 5 hoặc 0.
- a chia hết cho2, vậy y phải là chẵn.
Suy ra y= 0. Số phải tìm có dạng a= 1996x 0 .
- a chia hết cho 9, vậy ( 1+ 9 + 9 + 6 + x ) chia hết cho 9 hay ( 25 +x ) chi hết cho 9.Suy ra x = 2.
Số phải tìm là a = 199620.
D.bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu.
Các tính chất thường dùng:
- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chi hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu một số hạng chia hết cho 2 và các số hạng còn lại không chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng
không chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ hoặc số trừ chia hết cho 2, số trừ hoặc số bị trừ không chia hết cho 2 thì hiệu của chúng
cũng không chia hết cho 2.
Cũng có tính chát tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3,4,5,9...
Bài 1: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?
a) 240 + 123
b) 240 – 123
c) 459 + 690 + 1236
d) 2454 + 374
Lời giải:
Ta thấy 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:
a) 240 + 123 chia hết cho 3.
b) 240 – 123 chia hết cho 3.


15


Khi xé một mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh tăng thêm là 3. Lúc đầu có 3 mảnh, sau mỗi đợt xé số
mảnh tăng thêm sẽ chia hết cho 3 nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt xé phải chia hết cho 3. Số 1999
không chia hết cho 3 nên người ấy đã đếm sai.
Bài 2: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả
trong mỗi rổ lần lượt là 104,115,132,136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy
số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Lời giải:
Tổng số cam và chanh của cửa hàng là”
104+115+132+136+148 = 635(quả)
Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam cho nên số quả chanh và số quả cam còn lại phải chia hết cho 5. Tống
số 635 quả chia hết cho 5, vì vậy số quả cam đã bán phải chia hết cho 5. Trong 5 rổ cam và chanh của cửa
hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5, vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam.
Số cam còn lại bằng

1
5

số quả chưa bán. Mặt khác:

( 104+132+136+148): 5 = 104 (quả)
Trong 4 rổ còn lại chỉ có rổ đựng 104 quả là có số quả bằng
là rổ cam và 3 rổ đựng 132,136,148 quả là các rổ chanh.
Số cam của cửa hàng có là:
104+115 = 219(quả)
Số chanh của cửa hàng có là:
635-219 = 416(quả)

D
C
Nhận Xét : Mỗi cạnh bên trong là cạnh chung của hai hình chữ nhật cạnh nhau .
Vậy tổng chu vi của 5 hình chữ nhật 1;2;3;4;5 hơn chu vi hình chữ nhật ABCD chính là 4 x 2 = 8 (AD)
Trong hình chữ nhật nếu biết diện tích và tỉ số các cạnh ta chia hình chữ nhật thành các hình vuông nhỏ
sau đó tính cạnh hình vuông nhỏ từ đó tìm chu vi hình chữ nhật.

11/ Bảng đơn vị đo
1. Bảng đơn vị đo thời gian

16


1 giờ = 60 phút;
1 phút = 60 giây;
1 ngày = 24 giờ;
1 tuần = 7 ngày;
1 tháng có 30 hoặc 31 ngày ( tháng 2 có 28 hoặc 29 ngày)
1 năm thường có 365 ngày
1 năm nhuận có 366 ngày ( cứ 4 năm có một năm nhuận)
1 quý có 3 tháng; 1 năm có 4 quý.
1 thập kỉ = 10 năm; 1 thế kỉ = 100 năm;
1 thiên niên kỉ = 1000 năm.
2. Bảng đơn vị đo khối lượng
Tấn
Tạ
yến
kg
hg( lạng)
dag

1
1
1
1 hm =
km;
1 dam =
hm;
1m =
dam; ...
10
10
10
4. Bảng đơn vị đo diện tích
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
2
2
2
2
2
2
1km = 100 hm ;
1 hm = 100 dam ;
1dam = 100m ;
2

Trong một bài toán có thể có nhiều đại lượng, mỗi đại lượng có nhiều giá trị. Nếu cứ để nguyên
như vậy thì rất khó giải do có nhiều đại lượng và giá trị quá. Vì vậy ta cần phải nghĩ cách để rút bớt dần
các đại lượng ấy đi để cho bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn. Thủ thuật giải bài toán theo kiểu này gọi là

17


thủ thuật khử bớt các đại lượng hay gọi tắt là thủ thuật khử. Một trong những cách khử hay gặp là làm
cho hai giá trị của một đại lượng nào đó trở nên giống nhau rồi khử đi.
2. Ví dụ:
Bài toán: Một vườn ươm bán cây, lần thứ nhất bán 10 cây phượng và 8 cây xà cừ được tất cả
64.000 đồng. Lần thứ hai bán 7 cây phượng và 8 cây xà cừ được tất cả 52.000 đồng. Tính giá tiền một cây
phượng, một cây xà cừ?
Bài giải
Ta có: 10 cây phượng + 8 cây xà cừ = 64.000 đồng
7 cây phượng + 8 cây xà cừ = 52.000 đồng
Ta thấy, trong hai lần bán, số cây xà là như nhau nên 3 cây phượng con có giá là: 64.000 – 52.000
= 12.000 (đồng) (bước này ta đã khử đi được 1 đại lương là cây xà cừ). Vậy: Giá tiền một cây
phượng là:
12.000 : 3 = 4.000 (đồng).
Mua 10 cây phượng hết số tiền là:
4.000 x 10 = 40.000 (đồng)
Mua 8 cây xà cừ hết số tiền là:
64.000 – 40.000 = 24.000 (đồng)
Giá tiền một cây xà cừ là:
24.000 : 8 = 3.000 (đồng)
Đáp số: Phượng: 4.000 đồng
Xà cừ: 3.000 đồng

14. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH TUỔI

điểm :

18


?
Hiện nay : |——-| 10
Sau 10 năm: |——-|——-|——-|
Tuổi con hiện nay là : 10 : 2 = 5 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là : 5 x 7 = 35 (tuổi)
Đáp số : Con : 5 tuổi ; Bố : 35 tuổi
Bài toán 2 : Trước đây 4 năm tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Sau 4 năm nữa, tỉ số giữa tuổi con
và tuổi mẹ là 3/8 Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Phân tích : Bài toán này đặt ra ba thời điểm khác nhau (Trước đây 4 năm, hiện nay và sau đây
4 năm). Nhưng chúng ta chỉ cần khai thác bài toán ở hai thời điểm : Trước đây 4 năm và sau
đây 4 năm nữa. Ta phải tính được khoảng cách thời gian giữa hai thời điểm này. Bài toán này
có thể giải tương tự như bài toán 1.
Giải : Trước đây 4 năm nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 6 phần như thế.
Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 6 – 1 = 5 (phần)
Vậy tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 1 : 5 = 1/5
Sau 4 năm nữa, nếu tuổi con được chia thành 3 phần bằng nhau thì tuổi mẹ sẽ có 8 phần như
thế.
Hiệu số tuổi của hai mẹ con là : 8 – 3 = 5 (phần)
Vậy sau 4 năm nữa tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai mẹ con là 3 : 5 = 3/5
Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con là không thay đổi nên ta có thể so sánh tuổi con trước đây 4
năm và tuổi con sau đây 4 năm. Ta có tuổi con sau 4 năm nữa gấp 3 lần tuổi con trước đây 4
năm và tuổi con sau 4 năm nữa hơn tuổi con trước đây 4 năm là : 4 + 4 = 8 (tuổi).
Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm :
?
Trước đây 4 năm : |——-| 8

*Dạng 1: Cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi của hai người:
Cách giải: - Dùng sơ đồ doạn thẳng để biểu diễn tổng và tỉ số tuổi của 2 người ở thời điểm đã cho.
- Tổng số tuổi của hai người được biểu thị bằng tổng số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng.
- Tìm số tuổi ứng với một phần nhau trên sơ đồ.
- Tìm sơ đồ của mỗi người.
Ví dụ1: Hiện nay tổng số tuổi của hai bố con là 45 tuổi. Tuổi bố gấp 4 lần tuổi con. Tính số tuổi mỗi
người?
Bài giải :
Ta có sơ đồ:

Tuổi con:
Tuổi bố:

45 tuổi

Tuổi con hiện nay là :
45 : (4 + 1) x 1= 9 (tuổi )
Tuổi bố hiện nay là:
9 x 4 = 36 (tuổi ) (hoặc 45 – 9 = 36 tuổi )
Đáp số : Bố :36 tuổi
Con :9 tuổi
Ví dụ2 : Tổng tuổi hai chú cháu là 56 tuổi . Tuổi cháu bằng

2
tuổi chú .Tìm tuổi mỗi người?
5

Bài giải :
Ta có sơ đồ


Tuổi cha:

63 tuổi

Tuổi con:

Tuổi con hiện nay là :
63 : (5 + 2) x 2 = 18 (tuổi )
Tuổi bố hiện nay là:
63 - 18 = 45 tuổi )
Đáp số: Bố: 45 tuổi; Con: 18 tuổi
*Dạng 2: Cho biết hiệu số tuổi và tỉ số tuổi của hai người.
Cách giải:
- Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn hiệu và tỉ số tuổi của 2 người ở thời điểm đã cho.
- Hiệu số tuổi của hai người ứng với số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng.
- Tìm số tuổi ứng với một phần trên sơ đồ.
- Tìm số tuổi của mỗi người.
Ví dụ 4: Năm nay mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tìm số tuổi của mỗi người?
Bài giải :
Ta có sơ đồ:

Tuổi con:
Tuổi mẹ:

30 tuổi

Tuổi con hiện nay là :
30 : (4 - 1) x 1 = 10 (tuổi )
Tuổi mẹ hiện nay là:
10 x 4 = 40 (tuổi ) (hoặc 10 + 30 = 40 tuổi )

Bài giải :
35 7
Ta thấy:
3,5 =
=
10
2
Ta có sơ đồ:
50 tuổi

Tuổi ông:
Tuổi cháu:
Tuổi cháu hiện nay là :
50 : (7 – 2) x 2 = 20 (tuổi )
Tuổi ông hiện nay :
20 + 50 = 70 tuổi
Đáp số: Ông: 70 tuổi
Cháu: 20 tuổi
*Dạng 3: Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người.
Ví dụ 7: Hiện nay tổng số tuổi hai mẹ con là 47 tuổi. Tuổi mẹ hơn tuổi con là 25 tuổi. Tính tuổi mỗi
người?
Bài giải:
Ta có sơ đồ:

Tuổi con:
Tuổi mẹ:

25 tuổi

47 tuổi

*Dạng 4: Cho biết tỉ số tuổi của hai người ở hai thời điểm khác nhau.
Ví dụ 9: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 nay tuổi cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi của
cha và con hiện nay?
Bài giải:
- Vì hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con nên hiệu số tuổi của 2 cha con hiên nay là 3 lần tuổi con
hiện nay.
- Vì trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con nên hiệu số tuổi của 2 cha con trước đây 6 năm là
12 lần tuổi con khi đó.
- Mỗi năm mỗi người đều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian, hiệu số tuổi giữa 2 cha con không thay
đổi.
Ta có: 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con trước đây.
Tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con trước đây.
Ta có sơ đồ tuổi con:

Trước đây:

6 tuổi

Hiện nay:
Tuổi con trước đây là 6 : (4 – 1) x 1 = 2 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 2 + 6 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là : 8 x 4 = 32 (tuổi).
Đáp số: Con: 8 tuổi; Cha: 32 tuổi
Ví dụ 10: Hiện nay, anh 18 tuổi. Trước đây khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì hồi đó anh gấp đôi tuổi
em. Tính tuổi em hiện nay?
Bài giải:
Mỗi năm mỗi người đều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian, hiện số tuổi giữa 2 anh em không thay
đổi.
Ta có sơ đồ:


hiện nay số phần tuổi của 2 cha con là:
5 + 1 = 6 (phần)
Ta có sơ đồ:

Tuổi con hiện nay:

Hiệu

Tuổi cha hiện nay:
Tuổi con sau này:

36 tuổi

Hiệu

Tuổi cha sau này:
Vậy tuổi con hiện nay là:
36 : 6 = 6 (tuổi).
Tuổi cha hiện nay là:
36 – 6 = 30 (tuổi).
Đáp số: Con: 6 tuổi
Bố: 30 tuổi
Ví dụ 12: Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi con. Hai mươi lăm năm về trước, tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi
con. Hỏi khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?
Bài giải:
Tuổi bố hiện nay hơn tuổi con số lần là:
2,2 – 1 = 1,2 (lần tuổi con hiện nay).
Tuổi bố cách đây 25 năm hơn tuổi con số lần là:
8,2 – 1 = 7,2 (lần tuổi con lúc đó).
Mỗi năm mỗi người đều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian, hiện số tuổi giữa 2 bố con không thay đổi

Ta có sơ đồ: Tuổi chú và tuổi cháu lúc đó:

Tuổi chú:

24 tuổi

Tuổi cháu:

Tuổi cháu trước đây 2 năm là:
24 : (1 + 7) = 3 (tuổi)
Tuổi chú trước đây 2 năm là:
24 - 3 = 21 (tuổi)
Hiệu số tuổi của hai chú cháu là:
21 - 3 = 18 (tuổi)
Vì mỗi năm mỗi người đều tăng thêm 1 tuổi nên hiệu số tuổi giữa hai chú cháu không thay đổi.
Ta có sơ đồ lúc tuổi chú gấp 3 lần tuổi cháu:

Tuổi cháu:

18 tuổi

Tuổi chú:

Tuổi cháu lúc đó là: 18 :
Số năm để tuổi chú gấp 3 lần tuổi cháu là:
Đáp số: 4 năm.

(3 - 1) x 1 = 9 (tuổi)
9 - (3 + 2) = 4 (năm)


Hiệu
Tuổi em hiện nay là:
6 x 2 = 12 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
Hiệu
51 tuổi
6 x 3 = 18 (tuổi)
Ví dụ 15: Tuổi của em tôi hiện nay bằng 4 lần tuổi của nó khi tuổi của anh tôi bằng tuổi em tôi hiện nay.
Đến khi tuổi em tôi bằng tuổi anh tôi hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em là 51. Hỏi hiện nay em tôi,
anh tôi bao nhiêu tuổi?
Bài giải:
Vì mỗi năm mỗi người thêm một tuổi nên hiệu số tuổi của hai người luôn không thay đổi theo thời gian.
Ta có sơ đồ:
Tuổi em:

Trước đây:

Hiện nay:
Sau này:

Tuổi anh:
Tuổi em:
Tuổi anh:
Tuổi em:
Tuổi anh:

25