MỤC LỤC
Lời nói đầu……………………………………….......………………….……......
Chương 1. Một số kiến thức chẩn bị………………………….……….......…..
1. Định nghĩa số phức……………………………………..................…….6
2. Các dạng biểu diến số phức……………………………..........................6
2.1.

Biểu diễn số phức dƣới dạng cặp……...……………….................…6

2.2.

Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số………………….................…...7

2.3.

Dạng lƣợng giác và dạng mũ của số phức……………...................…9

2.4.

Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann……………….................10

Chương 2. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính……............….
1. Một số tính chất của hàm phân tuyến tính…………….................…..14
2. Đẳng cấu phân tuyến tính………………………………..................…16
3. Phƣơng trình hàm sinh bởi phân tuyến tính…………….................….26
4. Số phức và lời giải phƣơng trình sai phân………………....................30
Chương 3. ứng dụng số phức trong lượng giác…….…………………..........
1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức.............................................35
2. Chứng minh các thức lƣợng giác..........……...................….…......…...40
Kết luận……………………………………………………………….......….....
Tài liệu tham khảo…….....……………………………….…………….....…..


Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG

3


LỜI NÓI ĐẦU
Từ thế kỉ XVI, khi giải phƣơng trình bậc hai G.Cardano và R.Bombelli đã
đƣa vào xét kí hiệu

1 là lời giải hình thức của phƣơng trình x 2  1  0, xét

biểu thức b 1 là nghiệm hình thức của phƣơng trình x 2  b 2  0. Khi biểu thức
tổng quát hơn dạng

 x  a

2

 b2  0

Có thể xem là nghiệm hình thức của phƣơng trình  x  a   b 2  0. Về sau biểu
2

thức dạng

a  b 1, b  0

rộng (đại số)  của trƣờng số thực  thu đƣợc bằng phép ghép đại số cho 
nghiệm i của phƣơng trình
x2  1  0

Số phức xuất hiện vào thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của toán học về giải
những phƣơng trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên
mạnh mẽ và giải quyết đƣợc nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học
sinh bậc trung học phổ thông thì số phức là nội dung còn mới mẻ, với thời lƣợng
không nhiều, học sinh chỉ những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác
các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Vì vậy tôi chọn đề tài: “số phức, hàm
biến phức và ứng dụng trong toán phổ thông”.

5


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1. Định nghĩa số phức
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo. Khi đó z  a  bi đƣợc gọi là số
phức.
Số thực a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức b. Kí hiệu
a  Re z, b  Im z.

Số đƣợc gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2  1.
Tập hợp các số phức đƣợc kí hiệu  .
Nếu a  0 thì z  bi gọi là số thuần ảo, b  0 thì đƣợc số thực z  a.
Cho số phức z  a  bi. Số phức a  bi gọi là số phức liên hợp của z. Kí hiệu z.
2. Các dạng biểu diễn số phức
2.1. Biểu diễn số phức đưới dạng cặp


số

phức:

 a; b  c; d    ac  bd ; ad  bc  và

cặp  ac  bd ; ad  bc  đƣợc gọi là tích của các cặp  a; b  và  c; d .
iv) Số thực trong tập số phức: Cặp  a;0  đƣợc đồng nhất với số thực a, nghĩa là

 a;0 : a hay là  a;0  a.
Tập hợp các số phức đƣợc kí hiệu là  .
Vai trò đơn vị trong tập hợp số phức  là cặp 1;0  . Hai số phức z   a; b  và

z   a; b  đƣợc gọi là liên hợp với nhau. Ta có
z z   a; b  a; b   a 2  b 2

Với mọi  a; b    0;0 tồn tại cặp nghịch đảo  a; b 

1

là:

1
b 
 a
a
;

b

thực.
Biểu thức  a; b   a  bi đƣợc gọi là dạng đại số hay dạng Descartes của số
phức.
Các số phức viết dƣới dạng đại số z1 : a1  b1i; z2 : a2  b2i, các phép toán (i) –
(iii) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
(i*) z1  z 2   a1  b1i    a2  b2i    a1  a2   b1  b2i 

z1  z 2   a1  b1i    a2  b2i    a1  a2   b1  b2i 
(ii*) z1z 2   a1  b1i  a2  b2i    a1a2  b1b2   a1b2  a2b1 i
(iii*)

z1  a1  b1i  a1a 2  b1b 2  a1b 2  a 2b1 i, 2  2  0
a 2 b2
2
2
2
2
a 2  b2
a 2  b2
z 2 a 2  b 2i

Nếu z  a  bi thì số phức liên hợp z  a  bi, do đó

z  z  2Re z,
z  z  2Im z ,

8


z. z  z trong đó z  r  z. z  a 2  b 2

  arg z  
hoặc
0  arg z  2

Đặt

cos   i sin   ei.
Dạng lƣợng giác (1.4) đƣợc biến đổi thành dạng mũ
z  rei .

(1.5)

đó là dạng số mũ của số phức z  0.
Phép nâng số phức z  a  bi  r  cos   i sin  lên lũy thừa bậc n đối với số
phức đƣợc thực hiện theo công thức Moivre.
z n  r nein

(1.6)

Công thức
k  z  re
n

n

i

 2 k 
n



(1.10)

Các công thức (1.10) đƣợc gọi là công thức Euler.
2.4. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann
Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc

 ;;  ta xét mặt cầu với bán kính bằng

1
1
với tâm tại điểm (0;0; )
2
2


2
2


s   ; ;  :     




1
 
2

2



x
1

z

2

,

y
1

z

2

, 

z
1

2

z

2

.



1

12

,z

  i
1

(1.12)


Để ý rằng

 
1 
2

z

2



2
2

và

Và do đó



z2
1 z 2

.

Thế giá trị  vào (1.12) ta tìm đƣợc



x
1 z 2

, 

y
1 z 2

Định nghĩa 1.4. Tập hợp lập nên từ mặt phẳng chức  và điểm vô cùng (kí
hiệu là  ) được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và kí hiệu là  . Nhƣ
vậy,      và  .
Phép chiếu nổi :   S \ P có thể thác triển vào  thành

* :  S

13


Trƣớc hết, ta khảo sát phƣơng trình đại số với hệ số thực dạng
m
 x, m  0
x y

(2.1)

Phƣơng trình (2.1) tƣơng đƣơng với phƣơng trình bậc 2

x2   x  m  0, m  0

(2.2)

Phƣơng trình (2.2) có nghiệm thực khi và chỉ khi  :  2  4m  0.
Trong trƣờng hợp khi   0 thì phƣơng trình (2.2) có hai nghiệm phức liên hợp

15


z1,2 

 i 

2
2

tiếp theo, ta chỉ ra cách đặt ẩn phụ để đƣa phƣơng trình đại số tổng quát sinh bởi
hàm phân tuyến tính   x  dạng

x  

(2.4)

Trong đó t  x  . Rõ ràng phƣơng trình (2.4) có dạng (2.1).
Trƣờng hợp đặc biệt khi     0 thì phƣơng trình (2.4) có dạng đơn giản

16


 2
t

t

(2.5)

và hàm phân tuyến tính tƣơng ứng

  x 

x  
x

có tính chất đặc biệt

   x    x
tức hàm   x  là phép biến đổi đối hợp.
2. Đẳng cấu phân tuyến tính
Ánh xạ phân tuyến tính đƣợc xác định bởi hệ thức



z

d  b
, ad  bc  0
c  a

(2.7)

Đó là hàm ngƣợc của (2.6). Ánh xạ (2.7) đơn trị trong mặt phẳng  và là ánh xạ
phân tuyến tính. Do đó (2.6) đơn trị một – một trên  .
d
Tính liên tục của (2.6) tại các điểm z   ,  là hiển nhiên. Bằng cách đặt
c

 d

a

     ,     
c  c
Ta thấy rằng (2.6) liên tục trên  .
Định lý 2.2. Ánh xạ phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trên  .
Chứng minh
d
Đối với trƣờng hợp z   ,  tính bảo giác suy ra từ nhận xét rằng tại các điểm
c

đó

d ad  bc

az  b 
d  z az  b
c
z 
cz  d 
c

Trƣờng hợp z   cũng đƣợc chứng minh tƣơng tự.
Định nghĩa 3.1. Ánh xạ phân tuyến tính biến miền D lên miền D* được gọi là
đẳng cấu phân tuyến tính, còn các miền D và D* được gọi là những miền đẳng
cấu phân tuyến tính với nhau.
Định lý 2.3. Tập hợp mọi đẳng cấu phân tuyến tính lập thành một nhóm với phép
toán lập hàm hợp, nghĩa là
1) Hợp (tích) các đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính.
2) Ánh xạ ngược của đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính.
Chứng minh
Khẳng định 2) là hiển nhiên. Ta chứng minh 1).Giả sử

19




a1 z  b1
, a1d1  b1c1  0
c1 z  d1



a2  b2

z

Do đó

   z       z  
Vì qua phép chiếu nổi cả đƣờng thẳng lẫn đƣờng tròn trên  đều tƣơng ứng với
đƣờng tròn trên mặt cầu Riemann nên ta có thể quy ƣớc gọi đƣờng thẳng hay
đƣờng tròn trên mặt phẳng phức đều là “đƣờng tròn” trên  (ta xem đƣờng

20


thẳng trên  là đƣờng tròn trên  đi qua điểm  ), và gọi hình tròn, phần ngoài
hình tròn và nửa mặt phẳng (hình tròn với bán kính vô cùng) đều là “hình tròn”
trên  .
Định lý 2.4. Đẳng cấu phân tuyến tính bất kỳ biến “hình tròn” (“đường tròn”)
thành “hình tròn” (tương ứng thành “đường tròn”).
Nói cách khác “hình tròn” và “đƣờng tròn” đều là bất biến của nhóm các đẳng
cấu phân tuyến tính.
Chứng minh
Ánh xạ phân tuyến tính có thể biểu diễn dƣới dạng hợp của các ánh xạ:



a bc  ad
1
d

;   ;   z 
2

a  R. Ta có
21


a
   2Re

a

2

a  R2
2



2





a
a  R2
2

a
a  R2
2




2



 a
2

a
2

2

 R2



2



1
a  R2
2

2

.


1. Đối với phần ngoài hình tròn A*  a, R  định lí đƣợc xét tƣơng tự.
2. Bây giờ ta xét phép ánh xạ nửa mặt phẳng Re  ei z    R, R  0. Ảnh của
nó sẽ là

22



1
 

Re  ei    R  Re  ei 2    R  Re  ei    R  2 ,



 


Và do đó

 ei 
1
1
2
2
2 R   2Re  ei   0    2Re     2  2
4R
 2R  4R
2




2. Chứng minh D là tập hợp liên thông. Vì B là tập liên thông nên từ định lý
2.1 suy ra rằng D là tập hợp liên thông.
Nhƣ vậy D là tập hợp mở liên thông, nghĩa là D là một miền.
Định lý 2.6. Tồn tại đẳng cấu phân tuyến tính duy nhất biến ba điểm khác nhau
z1 , z2 , z3  thành ba điểm khác nhau 1 , 2 , 3  tương ứng. Đẳng cấu đó

được xác định theo công thức

  1 3  2 z  z1 z3  z2
.

.
  2 3  1 z  z2 z3  z1

(2.8)

Chứng minh
1. Tính duy nhất. Giả sử ta có hai đẳng cấu 1  z  và 2  z  thỏa mãn các điều
kiện của định lí. Giả sử  2   là ánh xạ ngƣợc của 2  z .
Ta xét ánh xạ  2 1  z  . Đó là một đẳng cấu phân tuyến tính. Đẳng cấu này có
ba điểm bất động z1 , z2 và z3 vì

1  zk   k ,

k  1,2,3.

 2 k   zk ,


đều bằng .
Định nghĩa 2.2.
1. Hai điểm z v à z* được gọi là đối xứng với nhau qua đường tròn
   z  z0  R   nếu chúng có các tính chất sau:

a) z và z* cùng nằm trên một tia đi từ z0 ;
b) z  z0 . z*  z0  R 2 . .
2. Mọi điểm trên đường tròn  được xem là đối xứng với nó qua .
Định lý 2.7. Tính đối xứng tương hỗ giữa các điểm là một bất biến của nhóm các
đẳng cấu phân tuyến tính.
Chứng minh
Kết luận của định lý đƣợc suy ra từ định lý 2.2 và 2.4.

25