Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ NHỮNG
ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC
(Môn ĐẠI SỐ - Lớp 10)
1) Lí do chọn đề tài:
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một mảng kiến thức hay và quan trọng ở trường phổ thông, có nhiều
ứng dụng trong thực tế.
- Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có lien quan chặt chẽ đến Quy hoạch
tuyến tính. Đó là một nghành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế.
- Việc giải bài toán bất phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng vào việc tìm cực trị của biểu thức
P(x,y)= ax + by (b
≠
0 )trên một miền đa giác phẳng lồi.
- Việc nắm vững kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh có thể quy những bài toán
kinh tế trong đời sống về toán học.
2) Mục đích của đề tài:
-Tìm hiểu Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được đưa vào sách giáo khoa như thế nào và đưa vào
cùng với mạng lưới tri thức nào?
-Việc áp dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán kinh tế như thế nào?
-Phương pháp tìm cực trị có thể áp dụng vấn đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như thế nào?
-Đưa ra một giáo án tiêu biểu cho việc dạy học bài Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn.
3) Phương pháp nghiên cứu:
-Bàn về vấn đề bất phương trình hai ẩn và những ứng dụng của nơ trong toán học
-Phân tích việc các tác giả sách giáo khoa đưa vấn đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào chương
trình theo hai hướng: đưa vào cùng mạng lưới tri thức nào, bố cục và nội dung bài Bất phương trình bậc nhất
hai ẩn trong sách Đại số 10 ra sao.
-Phân loại những dạng bài tập,tiếp cận bài toán kinh tế và một phương pháp tìm cực trị mà sách giáo khoa
đưa vào.
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 1

phương trình ax + by + c <0
Từ định lý ,ta suy ra:
Nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm của bất phương trình ax + by +c > 0 (hay ax + by + c<0) thì nửa
mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M(x
0
;y
0
) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.
Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0, ta làm như sau:
-Vẽ đường thẳng (d) : ax + by + c =0;
-Xét một điểm M(x
0
; y
0
) không nằm trên (d).
Nếu ax
0
+ by
0
+ c <0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất
phương trình ax + by +c <0
Nếu ax
0
+ by
0
+ c <0 thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của


+ + >

(1)
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
(d
1
): 3x - y + 3 = 0;
(d
2
): -2x + 3y - 6 = 0;
(d
3
): 2x + y + 4 = 0.
Sau khi tô màu các miền không thích hợp, miền không bị tô màu trên hình vẽ (không kể biên) là miền
nghiệm của hệ (I).
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho phần không tô màu trong đồ thị trên.
A.3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong một phương pháp tìm cực trị của biểu thức
P(x;y) = ax +by trên một miền đa giác lồi.
Ta có bài toán:Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x ;y ) = ax + by (b≠0) trên một miền
đa giác phẳng lồi (kể cả biên)
Bài toán đó có nghĩa là:
Cho biểu thức P (x; y) =ax +by (b≠0) và một miền đa giác lồi (S),kể cả biên, trong mặt phẳng toạ độ
Oxy.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất ) của P(x; y) với (x ;y) là toạ độ của các điểm thuộc (S).
Cách giải.Ta luôn có thể giả thiết rằng b>0, bởi vì nếu b< 0 thì ta có thể nhân hai vế với -1 và bài
toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P(x; y) sẽ trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ
nhất) của -P(x; y) = -ax + b’y, trong đó b’ = -b >0.
Tập các điểm (x; y) để P(x; y) nhận giá trị p là đường thẳng ax +by = p; hay y=
.
b

b
a
không đổi.Ta đi đến cách làm sau :
.Khi tìm giá trị nhỏ nhất của P( x; y), ta cho đường thẳng (d
m
) chuyển động song song với chính nó từ
một vị trí nào đó ở phía dưới miền (S) và đi lên cho đến khi (d
m
)lần đầu tiên đi qua một điểm (x
0
; y
0
)
nào đó của (S).Khi đó ,m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P(x ; y). Đó là
P(x
0
; y
0
) = ax
0
+ by
0
.
.Khi tìm giá trị lớn nhất của P(x ; y) ,ta cho đường thẳng (d
m
) với hệ số góc
b
a
−
chuyển động song





≥+
≥+
≤≤
≤≤
3052
142
90
100
yx
yx
y
x
Ta có đa giác sau : (là phần không tô màu)
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 5
y
x
dm
O
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
Áp dụng cách làm trên ,ta thấy khi (d
m
) đi qua đỉnh A(5; 4) thì m nhỏ nhất . Điều đó có nghĩa là T(x; y)
đạt gía trị nhỏ nhất khi x= 5 và y = 4.Khi đó ,T(5; 4) = 32
A4. Áp dụng của hệ bất phương trình hai ẩn vào bài toán kinh tế
Ta có bài toán kinh tế sau :

142
90
100
yx
yx
y
x
(II)
Sao cho T(x ; y)= 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất
Bài toán dẫn đến hai bài toán nhỏ sau :
Bài toán 1 :Xác định tập hợp (S) các điểm có toạ độ (x ;y) thoã mãn hệ (II)
Bài toán 2 :Trong tất cả các điểm thuộc (S),tìm điểm (x ; y) sao cho T(x ; y) có gí trị nhỏ nhất.
Việc giải bài toán 1 chính là việc xác định miền nghiệm cuả hện bất phương trình (II) mà ta đã lâp
được.
Giải bài toán 2 ta đã trình bày trong phần áp dụng tìm giá trị cực đại trong miền đa giác lồi ở trên.
Vậy , để chi phí nguyên liệu ít nhất ,cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II
(khi đó ,chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng)
A5.Một ứng dụng của hệ bất phương tình bậc nhất hai ẩn trong bài toán Quy hoạch tuyến tính :
Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu được nguyên cứu trọn vẹn cả về phương
diện lý thuyết lẫn thực hành.
Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nguyên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng,Viện sĩ
Kantorovicla L.V.
Một trong những phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính là phương pháp đơn hình, đây là
một phương pháp do nhà toán học Dantzig công bố năm 1974,dựa trên phương pháp tìm cực trị
trong miền đa giác.Thuật toán có hai giai đoạn :
Giai đoạn 1 :tìm một phương án cực biên ( một đỉnh).
Giai đoạn 2 :kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án tìm được ở giai đoại 1
Ta xét bài toán Quy hoạch tuyến tính dưới dạng chuẩn với hai biến số sau :
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 7

1
+ a
i2
x
2
≤ b
i
xác định một nửa
mặt phẳng.
Như vậy miền ràn buộc D được xác định như là giao của m nửa mặt phẳng và sẽ là một đa giác lồi
trên mặt phẳng.Phương trình c
1
x
1
+ c
2
x
2
= α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các đường
song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức (với giá trị mức α).Mỗi điểm
1 2
( , )x x x D= ∈
sẽ
nằm trên một đường mức
1 1 2 2
c x c x
α
= +
.
Bài toán đặt ra có thể phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau:trong số các đường mức cắt tập

x y
+ ≤


+ ≤


≤


≥ ≥


Xét đường mức: 4x +5y =10. Đường mức
này sẽ đi qua hai điểm (0,2) và (2.5, 0).Ta
có x
*
=(3,2). F
max
=22.
Và x
*
sẽ là một đỉnh của D.
Huỳnh Quang Hữu – SV lớp 3B
Trang 8
Chuyên đề PPGD GVHD: Cô Lê Thị Hoài Châu
B.PHÂN TÍCH BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
Phân tích sách giáo khoa
Chúng ta sẽ đi vào phân tích sách Giáo khoa lớp 10 (Ban A_ ban khoa học tự nhiên)- Nhà xuất bản giáo