Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ
Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS.
Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa
luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em xin chân thành
cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Lê Thị Trang


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
khóa luận tốt nghiệp “Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính phức” được hoàn thành theo quan
điểm riêng của cá nhân tôi.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Lê Thị Trang




9

1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Tích phân phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương
trình vi phân tuyến tính phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Khái niệm về điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Đường cong kín bao quanh điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính phức 25

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn
mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm
của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân đóng vai trò quan
trọng trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Chúng ta
hãy xét một phương trình vi phân đơn giản
f (x) =

df (x)
.
dx

Trong phương trình trên, nếu f (x) biểu diễn cho vận tốc của một vật
thì f (x) chính là gia tốc của vật đó (là đại lượng đặc trưng cho độ biến
thiên vận tốc). Sự ra đời của phương trình vi phân cũng xuất phát từ
việc xác định mối quan hệ xác định giữa một bên là một đại lượng biến
thiên liên tục (được biểu diễn bằng hàm f (x)) và bên còn lại là độ biến
thieen của đại lượng đó (biểu diễn bằng đạo hàm bậc nhất hoặc cao
hơn). Điều này được thể hiện rõ trong cơ học cổ điển. Cụ thể là Định
luật Newton về chuyển động cho phép xác định vị trí của một vật dựa
vào vận tốc, gia tốc và một số lực tác động được biểu diễn dưới dạng
hàm vi phân theo thời gian.

Chương 1. Trong chương này, em đưa ra một số kiến thức chuẩn bị
cho khóa luận. Đó là số phức và mặt phẳng phức, hàm biến phức, tích
phân phức. Cũng ở đây liên quan đến việc tìm hiểu phương trình vi phân
tuyến tính phức nên em trình bày khái niệm về phương trình vi phân
tuyến tính phức, định lý tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phức.
Chương 2. Đây là phần chính của khóa luận. Ở đây em giới thiệu về
4


vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính phức. Trong đó em trình bày vấn đề điểm kỳ dị, cấu trúc nghiệm
của phương trình, điều kiện cần đối với điểm kỳ dị chính quy và điều
kiện đủ đối với điểm kỳ dị chính quy.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày về vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình
vi phân tuyến tính phức.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm trong phương trình
vi phân tuyến tính phức. Tuy nhiên, do khuôn khổ yêu cầu đối với một
khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân toán học, nên chúng tôi chỉ trình bày
vấn đề này trong phạm vi về điểm kỳ dị chính quy của phương trình vi
phân tuyến tính phức. Việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm tại những điểm
kỳ dị không chính quy khá phức tạp nên chúng tôi xin dành cho những
nghiên cứu về sau.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định
hướng của người hướng dẫn.

+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 .
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
x2 + y 2 .

|z| =
Modul của số phức có các tính chất

(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,
(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,
(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z¯ = x − iy.
Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =

z + z¯
z − z¯
; Imz =
2
2i

và
|z|2 = z.¯
z;

1
z¯
= 2 với z = 0.
z
|z|

n→∞

Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu
|zn − zm | → 0 khi m, n → ∞
⇔ ∀ε < 0 ∃N > 0 sao cho |zn − zm | < ε với mọi n, m ≥ N.

1.2. Hàm biến phức
1.2.1. Hàm liên tục
Cho hàm f (z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f (z) liên tục tại
điểm z0 ∈ Ω nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau
8


(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z − z0 | < δ thì
|f (z) − f (z0 )| < ε.
(ii) Với mọi dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ).
n→∞

n→∞

Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của
Ω. Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục.
1.2.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là
chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
; khi h → 0,
h
ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z)

của một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm này khả vi theo
nghĩa hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến
tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai
các đạo hàm riêng của các tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại
các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi
phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến
điều kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải
được điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong
đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả
vi tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.2. (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f (z) là C - khả vi
tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 - khả
vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂v
∂u
∂v
∂u
(x, y) =
(x, y); (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x
1.2.3. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an (z − z0 )n


(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì chuỗi có thể hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
là các hàm lượng giác
∞

∞

z 2n+1
2n) và sin z =
(−1)
.
cos z =
(−1)
(
(2n
+
1)!
n=0
n=0

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f có cùng bán kính hội tụ với f .
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng
số hạng của nó.
Một hàm f xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai
∞

triển lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa

an (z − z0 )n

n=0

tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
∞

an (z − z0 )n ;

f (z) =
n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f có khai triển lũy thừa tại
mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f giải tích trên Ω. Từ Định lý 1.3 ta thấy

hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác định như
sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và
t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đường
cong.
13


Ví dụ 1.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 , bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.1. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi
b

f (z)dz =
γ

f (z)dz =
γ

f (z(t)).z (t)dt.
k=0 a
k

14


Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Định lý 1.5. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các
tính chất sau
(i)

(αf + βg)dz = α
γ

g(z)dz; α, β ∈ C.

f (z)dz + β
γ




1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức
Định nghĩa 1.2. Trước hết ta định nghĩa hàm giải tích theo hai biến
phức f (z, ω) là một hàm giải tích của z và ω trong miền D nếu
(i) f (z, ω) là một hàm liên tục theo z và ω trong D.
∂f ∂f
(ii) Tồn tại các đạo hàm riêng
,
tại mọi điểm của D.
∂z ∂ω
Định nghĩa hàm này bao hàm cả các điều kiện Cauchy-Riemann là nếu
z = x + iy, ω = u + iυ, f (z, ω) = P (x, y, u, υ) + iQ(x, y, u, υ),
thì P và Q là các hàm khả vi trong D với bốn đối số thực, các đạo hàm
riêng của chúng liên tục và thỏa mãn các phương trình
∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q
=
;
=
;
=
;
=
.
∂x
∂y ∂y

(z)
+ pn (z)ω = f (z),
1
n−1
dz n
dz n−1
dz
16

(1.4)


trong đó p1 (z), p2 (z), ..., pn (z) và f (z) là các hàm giải tích trong miền D
của mặt phẳng phức.
Nếu f (z) ≡ 0 thì phương trình có dạng
dn−1 ω
dω
dn ω
+
p
(z)
+
·
·
·
+
p
(z)
+ pn (z)ω = 0.
1

p
(z)
+ pn (z)ω = 0.
1
n−1
dz n
dz n−1
dz
Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm giải tích ω(z) trên hình tròn |z − z0 |

; (z − z0 )2
P (z)
P (z)

đều có khai triển chuỗi Taylor hội tụ tại z0 , nghĩa là các hàm này giải
tích tại điểm z = z0 .
Các hàm này có thể không xác định tại z0 . Trong trường hợp này, các
giá trị tại z0 được gán là các giá trị giới hạn của chúng khi z → z0 . Đặc
biệt, nếu P (z), Q(z) và R(z) là các đa thức thì z0 được gọi là điểm kỳ dị
chính quy của phương trình (2.1) nếu nó là một điểm kỳ dị và các giới
hạn sau
lim (z − z0 )

z→z0

Q(z)
R(z)
và lim (z − z0 )2
z→z0
P (z)
P (z)

đều nhận giá trị hữu hạn.
Điểm z0 được gọi là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình (2.1)
nếu nó không phải là một điểm kỳ dị chính quy.
Để thuận lợi cho việc trình bày chương này ta nhắc lại một số kết quả

19



không khác với tính kỳ dị của phương trình.
Giống như phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số thực, nếu
ω1 , ω2 , ..., ωn
là n nghiệm phân biệt, lập thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình,
thì định thức Wronski ∆ (ω1 , ..., ωn ) không thể triệt tiêu tại z = z0 , bởi
vì



∆ = ∆0 exp −


z

p1 (z)dz
z0




,



ở đó ∆0 là các giá trị của ∆ tại z = z0 và đường lấy tích phân được hạn
chế trong miền chứa z0 mà p1 (z) giải tích. Rõ ràng ∆ không thể bị triệt
tiêu tại bất cứ điểm nào có thể trừ ra một điểm kỳ dị của p1 (z).
Điểm tại vô cực có thể là điểm kỳ dị hoặc không là điểm kỳ dị, bởi các
hệ số của phương trình thu được nhờ phép thế z = ζ −1 và sau khi rút
gọn về dạng (2.2) có hoặc không có điểm kỳ dị tại gốc.

là các nghiệm của (2.2); do đó chúng có thể biểu thị tuyến tính qua các
số hạng của hệ cơ bản


W1





 W2


...




W
n

ω1 , ω2 , ..., ωn , như vậy
= a11 ω1 + a12 ω2 + · · · + a1n ωn ,
= a21 ω1 + a22 ω2 + · · · + a2n ωn ,

(2.3)

= an1 ω1 + an2 ω2 + · · · + ann ωn ,

trong đó các hệ số aij (i, j = 1, n) là những hằng số.


trong đó R là tổng thặng dư của p1 (z) tại cực điểm nằm bên trong chu
tuyến. Như vậy ∆ (W1 , W2 , ..., Wn ) khác không tại z = z0 và vì tại điểm
thường z bất kỳ


∆ (W1 , W2 , ..., Wn ) = ∆1 exp −


z

p1 (z)dz
z0





nên W1 , W2 , ..., Wn lập thành một hệ nghiệm cơ bản.
Chú ý rằng
|ars | =

∆(W1 , W2 , ..., Wn ) ∆1
=
= 0.
∆(ω1 , ω2 , ..., ωn )
∆0
22

= 0,

a22 − s · · ·

an2

a21

···

···

···

a1n

a2n

· · · ann − s

= 0.

···

Phương trình trên được gọi là phương trình đặc trưng của hệ đã chọn.
Nó không thể có nghiệm bằng không hay |ars | bằng không, trái với giả
thiết hệ đã chọn là cơ bản. Mỗi giá trị của s thỏa mãn phương trình đặc
trưng tương ứng với các hằng số λ1 , λ2 , ..., λn mà tỷ số của nó có thể biểu
diễn từ phương trình (2.4). Điều này dẫn đến nghiệm u xác định từ một
23