Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa: Vật lý
*************************

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Dung

Nghiên cứu chuyển pha sắt từ Trong mô
hình hubbard hai chiều liên kết mạnh bằng
phương pháp nghịch đảo
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành:

Vật lý lý thuyết

Hà Nội - 2007

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

1

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp



Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Lời cảm ơn…………………………………………………….………………..2
Lời cam đoan………………………………………………..…………………..3
Mở đầu:
1. Lý do chọn đề tài………………………………………………..…………….4
2. Mục đích nghiên cứu………………………………………….………………6
3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………........………………6
4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………6
Chương 1: Lý thuyết chung về chuyển pha
1.

Pha và sự chuyển pha
1.

Pha………………………………………………………………7

2.Sự chuyển pha……………………………………………………………7
2. Các loại chuyển pha……………………………………..……………………9
1.

Chuyển pha loại 1………………………………………………………9

2.

Chuyển pha loại 2……………………………….……..…………...…10
3. Pha sắt từ trong vật rắn…………………………………...……………….11

Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình cuả thầy Nguyễn
Văn Thụ, đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý
Trường đại học sư phạm Hà Nội II đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp của mình.
Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây là lần đầu tiên làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học, bởi vậy có thể có những sai sót vì vậy em rất mong
được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên trong khoa để khóa luận của
em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Nguyễn Thị Dung

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

4

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2


được phát triển để giải bài toán chuyển pha như phương pháp tái chuẩn hóa,
phương pháp trường trung bỡnh và phương pháp nghịch đảo. Tuy nhiên mỗi
phương pháp đều có những hạn chế nhất định khi tiếp cận bài toán cụ thể và chỉ
áp dụng cho chuyển pha loại 2. Trong những năm gần đây lý thuyết cỏc chuyển
pha lượng tử đó trở thành một lĩnh vực phỏt triển rất mạnh.
Nghiờn cứu chuyển pha Chiral trong lý thuyết trường và hạt cơ bản là một
trong những vấn đề chưa có lời giải cuối cùng, các công trỡnh về nghiờn cứu
chuyển pha Confining – Deconfining đó cố gắng tỡm lời giải cho việc hỡnh
thành vũ trụ. Chuyển pha

lỏng – khớ trong hạt nhõn đó được nghiên cứu từ

nhiều mô hỡnh khỏc nhau và gần đây vẫn cũn thu hỳt được sự quan tâm của
nhiều tác giả. Tuy nhiên trong những công trỡnh này vẫn chỉ nghiờn cứu cỏc
chuyển pha nhiệt chưa đề cập đến chuyển pha lượng tử của các đối tượng.
Những nghiên cứu chuyển pha trong vật lý các chất đông đặc tỏ ra hết sức
phong phú, ở đây người ta áp dụng khá hiệu quả cả ba phương pháp nêu trên khi
nghiên cứu chuyển pha nhiệt. Đáng quan tâm hơn cả là một số nghiên cứu về
mối tương quan giữa chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong thời gian
gần đây.
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

6

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

 của sắt từ ở nhiệt độ Tc được

ứng dụng để chế tạo các bộ cảm biến các Role nhiệt – điện từ
Như trên đó núi để nghiên cứu chuyển pha có nhiều phương pháp và hiện
nay phép biến đổi Legendre được xem là một công cụ hữu hiệu để giải bài toán
này. Nhưng chúng ta có thể gặp những trường hợp mà ở đó các công thức của
biến đổi Legendre không tồn tại, khi đó phương pháp nghịch đảo là một trong số
các phương pháp giải quyết khó khăn này.
Vỡ lý do trờn mà chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu chuyển pha sắt từ
trong mô hỡnh Hubbard hai chiều bằng phương pháp nghịch đảo”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiờn cứu chuyển pha chất rắn trong mụ hỡnh Hubbard 2 chiều bằng
phương pháp nghịch đảo từ đó tỡm được nhiệt độ chuyển pha và đó chính là
nhiệt độ Curie.
3. Đối tượng nghiên cứu
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

7

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Chất sắt từ trong mụ hỡnh Hubbard
4. Phương pháp nghiên cứu

Những trạng thái của vật chất có thể đồng thời tồn tại nằm cân bằng với
nhau và tiếp nhau gọi là những pha khác nhau của vật chất.
2. Sự chuyển pha
Trước hết ta viết điều kiện để hai pha cân bằng với nhau
T1 = T2
P1 = P2

T1 = T2
hay

P1 = P2 ,

à 1 = à2

(1.1)

à1(P,T) = à2(P,T)

trong đó Ti, Pi , ài (i = 1,2) lần lượt là nhiệt độ, áp suất, thể hóa học của
pha thứ i.

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

9

Lớp:

K29 D lý



1111
Nghiờn cứu chuyển pha
có từ khi có nhiệt động lực học nhưng lý thuyết
đầu tiên là của Gibbs. Năm 1111
1933 Erhenfist định nghĩa chuyển pha: Chuyển pha
1111
là bậc n nếu các thế nhiệt động
là liên tục ở nhiệt độ chuyển pha Tc và đạo hàm
hạng n của nó theo nhiệt độ:DD
liên tục tại điểm này cũn đạo hàm n +1 gián đoạn.
DDD
Thực tế chỉ có chuyển pha bậc
1 và bậc 2.
D1
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

10

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Năm 1937 Landao đưa ra phân loại khác. Chuyển pha thường gắn với sự
thay đổi tính chất đối xứng của hệ biến đổi. Như vậy chuyển pha gắn với tính
chất đối xứng và Landao đưa ra tham số trật tự.Tham số trật tự phải đặc trưng

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

bằng cách di chuyển các nguyên tử. Sự thay đổi xứng khi có chuyển pha loại hai
cũn liờn quan tới sự thay đổi trật tự của tinh thể. Và ta đi đến kết luận như sau :
Nếu khi nhiệt độ tăng mà tham số  dần đến 0 một cách liên tục không nhẩy
bậc ta sẽ có chuyển pha loại 2.
Từ những khỏi niệm về chuyển pha loại 2 ở trờn ta thấy rằng:
- Với ý nghĩa là trạng thỏi của vật thay đổi một cách liên tục sự chuyển
pha loại 2 là quá trỡnh chuyển liờn tục. Đối xứng tại điểm chuyển pha sẽ thay
đổi nhẩy bậc và tại từng điểm có thể chỉ rừ vật thuộc pha nào nhưng tại điểm
chuyển pha loại 2 thỡ trạng thỏi của 2 pha trựng nhau.
- Do trạng thái của 2 pha tại điểm chuyển pha loại 2 trùng nhau nên đối
xứng của vật tại chính điểm chuyển pha trong mọi trường hợp phải chứa các yếu
tố đối xứng của cả hai pha.
- Từ điều kiện không có nhảy bậc trạng thái tại điểm pha loại 2 dẫn đến
kết quả: Các hàm trạng thái nhiệt động của vật ( S, E, V …) vẫn giữa liên tục khi
đi qua điểm chuyển pha nên chuyển pha loại 2 không kèm theo việc tỏa nhiệt
hay hấp thụ nhiệt. Nhưng đạo hàm của các đại lượng nhiệt động đó

(c, ỏ,

õ…) sẽ thay đổi nhảy bậc tại điểm chuyển pha loại 2.


hướng cùng chiều với từ trường ngoài B . Với chất thuận từ | B ’| > | B |.




Xét mạng tinh thể mà mỗi nút có một ion mang một véc tơ mô men từ có


độ lớn xác định  0 . N là số ion trong một đơn vị thể tích. Với chất thuận từ ta
có thể bỏ qua tương tác của các mô men từ này
Theo lý thuyết lượng tử ta tính được:

m



1
N  2  B,
3K B T


Với


(1.5)

Khi đó từ trường tổng cộng tác dụng lên mô men từ của ion tại 1 nút nào
đó là :





Bt  B  Bw  B  N   

(1.6)

Bằng lý thuyết cổ điển ta tính được:

m 

Sinh viên: Nguyễn thị Dung



N 2
B,
3 K B (T   )

13

Lớp:

K29 D lý

Khi tớnh bằng lý thuyết lượng tử ta tính được

m B  

 

1

N th 
m B   B ,
2
 2 K BT


Z  SZ

(1.10)
với

1

 SZ   
2




m(B)là hỡnh chiếu của m lờn trục oz ứng với giá trị B của từ trường. Khi
B = 0 thỡ phương trỡnh (1.10) thành:



Sinh viên: Nguyễn thị Dung

1
N
2
14

Lớp:

(1.13)

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Như vậy trong một đơn vị thể tích có N ion mỗi ion có mô men từ

1
 . Cụng thức (1.13) chứng tỏ rằng tại T = 0 mô men từ của tất cả các ion
2
đều song song và cùng chiều cho nên chúng được cộng lại với nhau. Chất rắn có
tính chất như vậy gọi là chất rắn từ. Khi T tăng thỡ nghiệm của (1.11) giảm dần
và tới một nhiệt độ Tc nào đó thỡ chỉ cũn nghiệm m(0) = 0.
Sự phụ thuộc của m vào T được mô tả trên hỡnh vẽ dưới đây (hỡnh 2)
m (T)
m(0)

như cường độ liên kết chứa trong Hamitonian.
Nghiên cứu sự chuyển giữa các pha đối xứng khác nhau là một trong
những quan tâm chính của bài toán hệ nhiều hạt. Trong đó vai trũ của năng
lượng tự do hoặc thế năng hiệu dụng ở nhiệt độ không được xác định qua phép
biến đổi Legrendre được xem là công cụ cơ bản để nghiên cứu về các đặc trưng
của phá vỡ đối xứng.
Tuy nhiờn chỳng ta biết rằng các quy tắc giản đồ của phép biến đổi
Legrendre chỉ dùng cho một số dạng toán tử đặc biệt. Tính không cục bộ của
bốn toán tử trường, với trường hợp ở đó trường bổ trợ được đưa vào bởi biến đổi
Hubberd – Stratonovich. Nhưng chúng ta có thể gặp phải những trường hợp mà
ở đó các công thức của biến đổi Legrendre không tồn tại phương pháp nghịch
đảo là một trong số các phương pháp nhằm giải quyết những khó khăn đó.
Phương pháp nghịch đảo được đưa ra gần đây bởi một số tác giả vào một số hệ
điển hỡnh về giải pháp phá vỡ tính đối xứng.
2.Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo
Xét một hệ spin và khảo xát sự chuyển pha sắt từ để xem xét vai trũ của
biến đổi Legrendre. Chọn tham số trật tự là m.
Hamitonian của hệ không có từ trường ngoài là:
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

16

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

H

(2.3)

Tuy nhiờn nếu chỳng ta tớnh GH , g  bằng chuỗi nhiễu loạn của g thỡ
(2.3) sẽ chọn m triệt tiờu với tất cả cỏc bậc nhiễu loạn. Do đó người ta đưa vào
năng lượng tự do Helmholtz được định nghĩa như là phép biến đổi Legrendre
của GH , g 
F m, g   GH m, g , g   mH m, g .

(2.4)

Với H m, g  thu được bằng cách nghịch đảo (2.3)
Sinh viên: Nguyễn thị Dung

17

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

Từ đó ta tỡm được năng lượng tự do Helmholtz. Năng lượng này có thể
tỡm được bằng các lời giải không tầm thường của hệ nghịch đảo.
H 


 0.
m

18

Lớp:

(2.6)

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

3.Công thức nghịch đảo


Xét trường hợp tĩnh, chúng ta khảo sát toán tử Hamitonian H của hệ chứa


một vài thụng số g. Giả thiết H được tách ra thành hai phần: phần tự do và
phần tương tác
Hˆ  Hˆ 0  gHˆ 1 ,

(2.7)

trong đó g là hằng số liên kết.
Để nghiên cứu đặc trưng của pha phá vỡ đối xứng thỡ cỏc thụng số trật tự

J  h    g n hn   .

(2.9)

n 0

Thế (2.9)vào (2.8) và khai triển vế phải theo chuỗi lũy thừa của g sau đó
đồng nhất thức ta được :

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

19

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

  f h 




  g n f n  g l hl  
n 0
 l 0

(2.13)
h2     

f 0' J 





 J  h0  

Và cứ như vậy, ở đây f0-1 là hàm nghịch đảo của f0 . Hệ phương trỡnh biểu
diễn từ (2.10) đến (2.13) đó là tất cả những yêu cầu đặt ra trong phương pháp
nghịch đảo.
Đến đây người ta chỉ có thể tỡm được một giá trị hữu hạn của g cho J =
0 trong biểu thức (2.8) chỉ thu được lời giải tầm thường  = 0. Nhưng khi
nghịch đảo (2.8) tương ứng với J ta cho J = 0 thỡ ta thu được lời giải không tầm
thường  ≠ 0 với một số phép tính hữu hạn. Đây là điểm cơ bản nhất của
phương pháp này.

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

20

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

ở nút

mạng thứ i. Các hằng số t là đặc trưng cho chuyển động nhảy của electron
(hopping) cũn u là số hạng đặc trưng cho tương tác Coulomb. Trong trường liên
kết mạnh thỡ u cú giỏ trị lớn khi đó mô hỡnh Hubbard khụng thể giải thớch một
cỏch đúng đắn bằng cách sử dụng triển khai mở rộng của liên kết yếu. Trừ khi
trong tính toán ta phải khai triển vô hạn các số của biểu thức. Trong phần này
phương pháp nghịch đảo được áp dụng cho bài toán

1
thay vỡ u được coi như
u

một tham số biểu thức của chuỗi nghịch đảo.
Trong bài toỏn này chỳng ta khụng thể tớnh toỏn chớnh xỏc đối với chuỗi
cơ sở (2.8). Để tính toán chính xác bài toán trong trường hợp liên kết mạnh
chúng ta dùng cách sau:
Mỗi số hạng f n J  được mở rộng trong số mũ của tham số thay đổi t và
trong các số hạng trên là lấy với t2.
Từ chuỗi (2.8) ta cú
  f 0 J , t 2 





1
f1 J , t 2  ...
,
u

và trong điều kiện lý
u

tưởng được mở rộng trở lại với t2. Vỡ thế chỳng ta thu được chuỗi:

 

J  g 0  .t 2 





1
g1  , t 2  ...
u

1
1




  g 0  ,0  g1  ,0  t 2  g 0'  ,0  g1'  ,0  ..
u
u





Xét ở bậc 0 của t chúng ta phân tích hàm số thu được:





4  eG  tre H0  x 2 .eu  2 x cosh H  1

trong đó:

 

N0

,

1
;
k BT

x  e u .

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

22

Lớp:

K29 D lý


e  u n  2 
Nếu chúng ta khảo sát trường hợp u   thỡ x tỡm được có giá trị
1 n 

n
2n  1

với n < 1

u

X=

e

2

với n = 1

2n  1 u
e
2n
Khi đó độ từ hóa đối với

với n > 1 .



không đổi được viết là:


Sinh viên: Nguyễn thị Dung

23

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp
 2. .

trường đại học sư phạm 2

x
  1  n  1  .
x 2 .e u  2 x  1 u 

(2.24)

Những kết quả này là đặc điểm cơ bản của chất thuận từ, với bậc tiếp theo
chúng ta tiến hành nhiễu loạn biểu thức đối với e

  ( H 0 H 1 )

Xột hàm số trờn tới bậc hai của H1 thỡ nú được viết là:
4  e  G  Tr .e   .H

4



    . n'  H n 
i
1
i

2

( T T ' )( H 0 ni  H 0 ni' 

0

(2.25)
Về mặt hỡnh thức hàm súng ni , ni '  mà cú ni'  H 1 ni  không trở về 0 khi
đó phương trỡnh (2.25) trở thành:

4  e   . N 0

 e  N01



 x .e
2

u1

 2 x cosh H 1

4.N .t x  x .e cosh H  2u x 1  e ,


G
; 1   ; u1   u; t1   t ; H 1   H ; 1   ; x  e 1 (2.27)
N0

Sinh viên: Nguyễn thị Dung

24

Lớp:

K29 D lý


Khóa luận tốt nghịêp

trường đại học sư phạm 2

 được viết là:

Khi đó mật độ năng lượng tự do
1  



2 u1

  log x e



,

   10 H 1   4t12 .11 H 1 

(2.28)

(2.29)

Do đó mật độ electron khi H =O là:
1
N

N0
1

n








5 2u1
 2 x 2  2 x 4 e u1  x   u11 1  e u1  4 x 4 e u1  4 x 2
2 x 2 e u1  2 x
2  x e
 n  2 u
 4t1

2 u1

u1

 2x 1









 2 x 2  2 x 4 e  u1  x  u11 1  e  u1 (4 x 4 e  u1  4 x 2

x e
2

u1



 2x  1

3

.

(2.31)