BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hải Ngọc

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÍ
KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hải Ngọc

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÍ
KRASNOSELSKII VỀ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ
Chuyên ngành:

Toán giải tích

Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII CHO KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA
PHƯƠNG ..................................................................................................................... 4
1.1. Các định nghĩa [1] .......................................................................................................4
1.2. Điều kiện (A) [1, tr. 95] ..............................................................................................4
1.3. Mệnh đề 1.1 (Nguyên lý hội tụ Solomon Leader) [1, tr. 96] ....................................5
1.4. Sự tồn tại của toán tử ( I − U ) ................................................................................5
−1

1.5. Định lí Schauder-Tychonoff .......................................................................................9
1.6. Một số định lí điểm bất động kiểu Krasnoselskii ...................................................10

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG TÔPÔ YẾU ...................... 16
2.1. Các định nghĩa và bổ đề sử dụng [9] .......................................................................16
2.2. Một số mở rộng của định lí Krasnoselskii trong tôpô yếu ....................................21
2.3. Ứng dụng vào phương trình tham số [9, mục 3] ....................................................29
2.4 . Ứng dụng vào phương trình tích phân [9,mục 4, tr. 11] ......................................34

CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN
ĐỊNH CHUẨN ........................................................................................................... 39
3.1. Không gian Banach có thứ tự. [8, mục 2, tr. 2] ......................................................39
3.1.1. Nón và thứ tự trong nón. ....................................................................................... 39
3.1.2. Nón chuẩn, nón liên hợp. ...................................................................................... 39
3.1.3. Ánh xạ dương, ánh xạ tăng. .................................................................................. 39
3.2. Không gian nón định chuẩn.[8, mục 2, tr. 2] ..........................................................39
3.3. Mở rộng của định lí Krasnoselskii trong không gian nón định chuẩn ................42

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 45



CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII CHO KHÔNG GIAN LỒI
ĐỊA PHƯƠNG
Trong chương này, ta thiết lập một số định lí điểm bất động cho những toán tử dạng
U+C trên một tập con lồi đóng bị chặn của không gian lồi địa phương, trong đó C là
toán tử compact và U thỏa điều kiện (A) sẽ được xác định sau.
1.1. Các định nghĩa [1]
a) Cho X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn tách P.
Giả sử D là tập con của X và ánh xạ U : D → X . Ta nói:
• U là ánh xạ φ − co nếu

p ( U(x) − U(y) ) ≤ φ ( p(x − y) ) , ∀x, y ∈ D, ∀p ∈ P

trong đó φ là hàm liên tục nhận giá trị trên tập số thực dương sao cho

0 < φ(r) < r với r > 0 .
• U là ánh xạ ( ε − δ ) − co nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, y ∈ D ,

ε ≤ p(x − y) < ε + δ ⇒ p ( U(x) − U(y) ) < ε, ∀p ∈ P .
• U là toán tử liên tục đều trên D nếu với p ∈ P và ε > 0 cho trước, tồn tại

δ > 0 sao cho p(x − y) < δ ⇒ p ( U(x) − U(y) ) < ε, ∀x, y ∈ D .

Nhận xét 1.1. Nếu U là ánh xạ φ − co hoặc ( ε − δ ) − co thì U liên tục đều.
b) Cho X là không gian Banach, toán tử T được gọi là hầu như bị chặn nếu:
limsup

T(x)
x

{

}

trong đó α ap=
( x, y ) max p ( Uia ( x ) − U aj ( y=
) ) ;i, j 0,1,2,..k a ,  = {1,2,3,...} , Z+ =
ℕ ∪ {0}.

Nhận xét 1.2. [1, tr. 96]
Nếu U là ánh xạ φ − co hoặc ( ε − δ ) − co thì U thỏa mãn điều kiện (A.2) trên X với

k a = 0 và r = 1 .
1.3. Mệnh đề 1.1 (Nguyên lý hội tụ Solomon Leader) [1, tr. 96]
Cho q : Ζ 2+ → [ 0, +∞ ) là một hàm số sao cho:
q ( m,n ) ≤ q ( m,k ) + q ( k,k ) + q ( k,n ) , ∀m,l,k ∈  +

(1.1)

2

Khi đó ℤ+ q ( m,n ) → 0 khi m,n → ∞ nếu và chỉ nếu: ∀ε > 0 , tồn tại r ∈ Ν và δ > 0

sao cho với m,n ∈ Z+ , q ( m,n ) < ε + δ ta có:

q ( m + r,n + r ) < ε

1.4. Sự tồn tại của toán tử ( I − U )

(1.2)


+p �Ual (x) − Uan (y)�

p

p

≤ αa �Uam (x), Uan (y)� + αa �Ual (x), Ual (y)� + αa �Ual (x), Uan (y)�
p

Suy ra: q(m, n) = αa �Uam (x), Uan (y)� ≤ q(m, l) + q(l, l) + q(l, n)
• Do U thỏa mãn điều kiện (A.2) nên (1.2) đúng.

Theo nguyên lý hội tụ Solomon Leader, lim q(m, n) = 0. Suy ra
m,n⟶∞

lim p ( U am (x) − U an (y) ) =
0

m,n →∞

Vì vậy với x, y ∈ D , {U an ( x )} , {U an ( y )} là các dãy Cauchy trong D. Vì D đầy đủ
n
n
theo dãy nên {U an ( x )} hội tụ về điểm bất động duy nhất của U a , ghi là φ ( a ) và do
n

đó ánh xạ a  φ ( a ) được định nghĩa tốt. Thật vậy:
• Đặt φ ( a ) :=
lim U an ( x ) . Vì U liên tục nên U a ( φ ( a ) ) =


U ( φ ( a ) ) + a = U ( φ ( b ) ) + b ⇒ a = b . Điều này chứng tỏ φ đơn ánh. Vậy φ là song

ánh từ Ω vào φ ( Ω ) ⊂ D .

( I − U ) ( φ ( a ) )=

(I − U)

−1

Mà theo trên, U a ( φ ( a ) ) = φ ( a ) , ∀a ∈ Ω , suy ra

φ−1 hay φ=
a, ∀a ∈ Ω . Do đó I − U =

(I − U)

−1

. Điều này có nghĩa

được định nghĩa tốt trên Ω .

Bước 2: Chứng minh ( I − U ) liên tục trên Ω .
−1

Chứng minh bước 2: Với bất kì a ∈Ω , p ∈ P và ε > 0 , theo điều kiện (A.2), ∃r ∈ 
và δ > 0 ( δ < ε ) sao cho


n →∞

Bằng quy nạp ta chứng minh được:
7


α ap ( φ(a), U arn (φ(a)) ) < ε + δ, ∀ n ∈ N

(1.4)

Đầu tiên ta chú ý rằng: p ( φ(a) − U rb (φ(a)) ) < δο . Thật vậy, p ( a − b ) < δr −1 nên:
p ( U a (x) − U b (x)=
) p(a − b) < δr −1 , ∀x ∈ D .
1
Suy ra: p ( U ( U a (x) ) − U ( U b (x) ) ) < δr −2 .
2
p ( U a2 ( x ) − U b2 ( x ) ) ≤ p ( U ( U a (x) ) − U ( U b (x) ) ) + p ( a − b )
1
1
< δr −2 + δr −2 =
δr −2
2
2

Tiếp tục ta có: p ( U ar −1 (x) − U rb−1 (x) ) < δ1 .

(

)



(

α ap φ(a), U b(

r n +1)

α ap ( φ(a), U rnb ( φ(a) ) ) < ε + δ . Khi đó:

( φ(a) ) ) < αap ( φ(a), Uar ( U brn ( φ(a) ) ) ) + αap ( Uar ( U rnb ( φ(a) ) ) , U br( n +1) ( φ(a) ) )

Cũng do α ap ( φ(a), U rn
b ( φ(a) ) ) < ε + δ nên theo điều kiện (A.2) ta suy ra:

(

)

(

)

α ap U ar ( φ(a) ) , U ar ( U brn ( φ(a) ) ) = α ap φ(a), U ar ( U brn ( φ(a) ) ) < ε

Thay=
x U rn
b ( φ(a) ) , (1.5) trở thành:

8


( φ(a) ) < δ .
b ( φ(a) ) ) , U b

(1.8)

+1)
Từ (1.7) và (1.8) suy ra α ap ( φ(a), U r(n
( φ(a) ) ) < ε + δ . Điều này kết thúc quá
b

trình quy nạp.
p
rn
Từ (1.4) suy ra: p ( φ(a) − U rn
b ( φ(a) ) ) ≤ α a ( φ(a), U b ( φ(a) ) ) < ε + δ < 2ε .

Cho n → ∞ , ta suy ra p ( φ(a) − φ(b)=
) lim p ( φ(a) − U rnb ( φ(a) ) ) ≤ 2ε .
n →∞

Vậy φ=

(I − U)

−1

Nhận xét 1.3.

liên tục trên Ω . ∎



bất

động

và tập đường chéo
=
∆

trong

K.

Khi

{( x, x ) : x ∈ X}

đó

tập

có giao bằng

rỗng. Tồn tại lân cận lồi, cân đối V của điểm gốc sao cho G + V × V không chứa ∆ .
Xét thấy f (x) ∉ x + V , ∀x ∈ K .
Gọi µ là phiếm hàm Minkowskii của V thì µ liên tục trên X và µ(x) < 1 khi
x ∈ V . Do K compắc nên tồn tại hữu hạn x1,x2,…, xn sao cho họ {x i + V}i=1 phủ K.
n

Đặt

i =1

xác định trên K.

i

n

Đặt H = co {x1 , x 2 ,..., x n } , g(x) =
∑ βi (x)x i ( x ∈ K ) .
i =1

Ta có g là hàm liên tục từ K vào H ⊂ K . Do đó g  f: K → H liên tục. Theo định lí
điểm bất động Brouwer, tồn tại x * ∈ H sao cho g ( f (x * ) ) = x * .
Ta

có

x − g ( x )=

x = f ( x* )

n

∑ β (x) ( x − x ) ∈ V, ∀x ∈ K .
i =1

i

i

������. Với giả thiết D bị chặn, từ tính compắc của C và sự liên tục của ( I − U )−1 ta có
C(D)
10


������ là tập compắc trong D. Do ( I − U )
(I − U)−1 C(D)

tập ( I − U )

−1

−1

( C ( D ) ) ⊂ ( I − U )−1 ( C ( D ) )

( C ( D ) ) compắc tương đối trong D. Suy ra ( I − U )

−1

nên

C là toán tử compắc

trên D. Mà tập D lồi, đóng nên theo định lí điểm bất động Schauder-Tychonoff,

(I − U)

−1


(

)

p U rx o ( x ) − U rx o ( y ) ≤ λp(x − y) .
iv)

C hoàn toàn liên tục, A ⊂ X, p ( A ) < ∞ thì p ( C ( A ) ) < ∞ .

v)

p ( C(x) )
= 0, ∀x ∈ X, ∀p ∈ P .
p(x )→∞
p(x)
lim

Khi đó U+ C có điểm bất động.
Chứng minh. Vì U thỏa mãn điều kiện (A) nên I − U là một phép đồng phôi
trên X, do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một tập con lồi đóng bị chặn D của X sao
cho với bất kỳ x thuộc D, điểm bất động duy nhất của U C( x ) thuộc về D. Giả sử zo là
11


điểm bất động của Uxo (điều này có được là do định lí 1.1, bước 1). Với bất kỳ x ∈ X
và p ∈ P ta có:

(

)


)

) (

)

r ( n −1)
r ( n −1)
r ( n −1)
r −1
= p U U C(x)
U C(x)
( zo ) + C(x) − x o + p U rxo UC(x)
( zo ) − U U rx−o1UC(x)
( zo ) − U rxo ( zo )

(

(

)

r ( n −1)
r ( n −1)
r ( n −1)
r −1
≤ kp U C(x)
U C(x)
( zo ) − ( zo )

 r −1 i  n −1 i 
( zo ) − zo ) ≤  ∑ k  ∑ λ  p ( C(x) − x o )
=
 i 0=
 i 0 
r −1

≤

∑k

i

i =0

1− λ

p ( C(x) − x o )

≤ βp ( C(x) ) + βp ( x o )
r −1

∑k

Với
=
β

i


1.
( theo (v) ) , p(xlim
)→∞ p(x) − p(z )
o

p ( C(x) )
=0.
p(x − z o )→∞ p(x − z )
o
lim

12

(1.10)

)


Suy ra với

1
> 0 tồn tại R1p > 0 sao cho
2β
p ( C(x) )
0 sao cho ∀x, p ( x − z o ) ≤ R1p ⇒ p ( C(x) ) ≤ R 2p

p ( U C(x)
( zo ) − zo ) ≤ βp ( x o ) + βR 2p ≤ R 3p .
rn
Cả hai trường hợp đều cho ta U C(x
) ( zo ) ∈ Dp .
rn
Như vậy: U C(x
) ( z o ) ∈ D, ∀x ∈ D .

rn
Vì D đóng và dãy ( U C(x
) ( z o ) ) n hội tụ về điểm bất động duy nhất ϕ(C(x)) của U C(x )

nên φ ( C(x) ) ∈ D, ∀x ∈ D . Điều này có nghĩa ( I − U )
của C và sự liên tục của

( I − U ) (C ( D)) ⊂ ( I − U )
−1

−1

(I − U)

−1

−1

( C ( D ) ) ⊂ D . Từ tính compắc

������ compắc. Suy ra


Với mỗi k ∈ ℕ, ta định nghĩa ρk : X → X như sau:

nếu ‖x‖ ≤ k

x
ρk (x) = � kx
‖x‖

nếu ‖x‖ > k

Khi đó ρk liên tục và ( I − U ) Cρk là toán tử compắc trên X với ( I − U ) Cρk ( X ) bị
−1

−1

chặn (vì Cρk (X) compắc tương đối). Do đó, theo định lí của Browder nó có điểm bất
động xk , nghĩa là:

(I − U)−1 Cρk (xk ) = xk hay Cρk (xk ) = xk − Uxk .

(1.13)

Nếu ta chứng minh được rằng x ≤ k với k nào đó thì T có điểm bất động. Vì khi
x k , suy ra Cρk ( x k ) =
C ( x k ) . Mà Cρk ( x k ) =
x k − Ux k nên
x ≤ k thì ρk ( x k ) =
Ux k + Cρk ( x k ) =
x k , điều này kết thúc chứng minh.

=
 vì 1






U ( xk )
xk

+

λ C ( λk x k )
λk x k

U ( x k ) + C ( λk x k )
xk

≤

≥1−

xk

=
1.

λ − λk . C ( λk x k )





Vì C hầu như bị chặn và lim λ k =λ nên cho k → ∞ trong đồng nhất thức ở trên ta suy
k →∞

ra rằng: |U| + |C| ≥ 1, dẫn đến mâu thuẫn. ∎

15


CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ KRASNOSELSKII TRONG TÔPÔ YẾU
Trong chương này ta xét ( E, . ) là không gian Banach. Với {x n } ⊂ E và x ∈ E , ta ký
hiệu x n → x để chỉ sự hội tụ theo chuẩn . và x n  x để chỉ sự hội tụ đối với tôpô
yếu trên E.
Để chứng minh một số kết quả mở rộng, ta sử dụng các định lí sau:
Định lí 2.1. Cho X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương, M là tập con của X và
x ∈ E . Khi đó:

i) x là điểm dính yếu của M thì x là điểm dính yếu của tập con đếm được nào
đó của M.
ii) Nếu tập M compắc yếu tương đối và x là điểm dính yếu của M thì tồn tại dãy

{ xn } ⊂ M

hội tụ yếu về x.

Chứng minh. Xem [6, định lý 8.12.4, tr. 549-550]

Định lí Eberlein − Smulian

(2.1)

Trường hợp (2.1) đúng với h = 1 thì T được gọi là ánh xạ không-co trên M. Nếu (2.1)
đúng với h > 0 nào đó thì T được gọi là ánh xạ giãn yếu.
Định nghĩa 2.4. Cho M, K là các tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X và
các ánh xạ T : M → X, S: K → X . Ta ký hiệu
=
 ( M,K;T,S) =
Tx + Sy, y ∈ K} .
{x ∈ M : x =

Bổ đề 2.1. Cho K là tập lồi, compắc yếu trong E . Khi đó mỗi ánh xạ liên tục yếu
theo dãy f : K → K đều có điểm bất động trong K .
Chứng minh. Ta chứng minh f liên tục yếu, từ đó áp dụng định lí SchauderTychonoff, f có điểm bất động trong K. Nếu F là tập đóng yếu trong K thì

f −1 ( F ) ⊂ K là tập đóng yếu theo dãy. Giả sử {x α } ⊂ f −1 ( F ) , x α  x . Theo định lí
2.1, x là điểm dính yếu của tập con đếm được {x n } nào đó của {x α } . Vì K compắc

yếu theo dãy (định lí Eberlein − Smulian ) nên {x n } có dãy con hội tụ yếu về x. Ta có

x ∈ f −1 ( F ) (do f −1 ( F ) đóng yếu theo dãy). Suy ra
f −1 ( F ) đóng yếu trong K. Vậy f liên tục yếu. ∎

Bổ đề 2.2. Cho ( X,d ) là không gian mêtric đầy đủ và M là tập đóng trong X. Giả
sử T : M → X là ánh xạ giãn sao cho T(M) ⊃ M . Khi đó tồn tại duy nhất điểm

x * ∈ M sao cho T ( x * ) = x * .
Chứng minh. Từ định nghĩa ánh xạ giãn và T(M) ⊃ M ta thấy T : M → T(M) có
ánh xạ ngược và
d ( T −1 ( x ) ,T −1 ( y ) ) ≤

Suy ra: d ( x, y ) = 0 ⇒ x = y . ∎

Nhận xét 2.1. T −1 : T ( M ) → M liên tục nên T ( M ) là tập đóng. Điều này không
đúng trong trường hợp tổng quát vì một ánh xạ giãn có thể không liên tục. Ví dụ: Xét
ánh xạ T : R → R định bởi
2x − 1, x ≤ 0
T(x) = 
2x + 1, x ≥ 0

Rõ ràng T là ánh xạ giãn (h = 2) nhưng T(R) =

( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) không đóng.

Nhận xét 2.2. Cho T : E → E ánh xạ co hoặc giãn với hệ số h > 1. Khi đó nếu
T(E) = E thì ( I − T ) (E) =
E.

Chứng minh. Cố định y ∈ E , ta định nghĩa Ty : E → E bởi Ty (x)
= Tx + y .
Nếu T là ánh xạ co thì áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, còn T là ánh xạ giãn thì

y.
theo bổ đề 2.2 ta tìm được x * ∈ E sao cho (I − T) ( x * ) =
Bổ đề 2.3. Cho ( X, . ) là không gian tuyến tính định chuẩn và M ⊂ X . Giả sử rằng
T : M → X là ánh xạ giãn với hằng số h >1. Khi đó: F :=I − T : M → ( I − T )( M ) có

ánh xạ ngược và
F−1 ( x ) − F−1 ( y ) ≤

1

1− α

Chứng minh. Với x, y ∈ M, ta có
F ( x ) − F ( y=
)

(x − y) − (Tx − Ty) ≥ (1 − α) x − y

(2.4)

(2.5)

Suy ra F đơn ánh. Do đó F : M → F ( M ) có ánh xạ ngược.
Với x, y ∈ F ( M ) thì F−1 ( x ) , F−1 ( y ) ∈ M . Từ (2.5) ta có

x − y ≥ (1 − α ) F−1x − F−1y
−1
−1
Hay: F x − F y ≤

1
x−y .∎
1− α

Bổ đề 2.5. Cho X là không gian Banach và ánh xạ T : X → X tuyến tính, bị chặn. Giả
sử rằng tồn tại p ∈ N để T p là ánh xạ co. Khi đó F :=
I − T : X → X là toàn ánh và
có ánh xạ ngược thỏa mãn

F−1x − F−1y ≤ γ p x − y , ∀x, y ∈ X


Vậy Tzp cũng là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, Tzp có điểm bất động
duy nhất x * ∈ X . Ta có Tzp ( x * ) = x * .
p
*
p *
T=
Tz ( x * ) nên Tz x * cũng là điểm bất động của Tzp . Từ tính
Do T=
z ( Tz x )
z ( Tz x )

duy nhất của điểm bất động ta có Tz ( x * ) = x * . Điều này có nghĩa x * cũng chính là
điểm bất động của Tz . Như vậy với z ∈ X tồn tại x * ∈ X sao
cho ( I − T ) x * =
z . Suy ra ( I − T ) là toàn ánh từ X lên X.
Ta có ánh xạ ( I − T p ) : X → X là toàn ánh. Mặt khác, ( I − T p ) đơn ánh vì với
x, y ∈ X, x ≠ y ,

( I − T ) x − ( I − T ) y ≥ (1 − T ) x − y
p

p

p

>0

Vậy ( I − T p ) là song ánh. Suy ra ( I − T ) xác định trên X và
−1

1 − Tp k 0
=
k 0=
p −1

−1

p −1

≤

k

1 − T ≤ 1 − Tp
p

Cho nên:
• Nếu T = 1 thì

(I − T)

−1

≤

p
.
1 − Tp
20


≤
1 − Tp
p

1−‖Tp ‖
1

∑T

k

k =0

p −1

∑T

1
= .
1− T

T −1
p

k

k =0

= p
1− T

Cho K ⊂ E là tập lồi đóng, khác rỗng và các ánh xạ T,S: K → E . Giả sử rằng:
i) S liên tục yếu theo dãy.
ii) T là ánh xạ giãn.
iii) z ∈ S ( K ) ⇒ T ( K ) + z ⊃ K .
iv) Nếu {x n } ⊂  ( K,K;T,S) và x n  x,Tx n  y thì Tx = y .
v)  ( K, K;T,S) compắc yếu tương đối trong E.
Khi đó tồn tại điểm x * ∈ K sao cho Sx * + Tx * =
x* .
Chứng minh. Lấy y ∈ K . Xét ánh xạ T + Sy : K → E , ta có:
•

K ⊂ E là tập đóng.

• Với x, x′ ∈ K :

( T + Sy )( x ) − ( T + Sy )( x′ )

= Tx − Tx′ . T là ánh xạ giãn nên

T + Sy : K → E cũng là ánh xạ giãn.
•

( T + Sy )( K=)

T ( K ) + Sy ⊃ K (do iii) ).

Các giả thiết của bổ đề 2.2 đều được thỏa mãn, do đó phương trình
21




τSx n  y . Giả sử trái lại, khi đó ∃f ∈ E* : f ( τSx n ) 
f ( y ) . Suy ra ∃ε > 0 :

(

)

f ( y ) . Khi n k đủ lớn thì
f ( τSx n ) − f ( y ) ≥ ε, ∀n . Do τSx n k  y nên f τSx n k →

(

)

f τSx n k − y < ε (mâu thuẫn). Vậy τSx n  y trong K.

Tiếp tục, ta chứng minh y = τS ( x ) , từ đó suy ra τS liên tục yếu theo dãy trên K. Ta
có:
τSx n =T ( τSx n ) + Sx n

(2.10)

Cho qua giới hạn T ( τSx n ) =
τSx n − Sx n ta được T ( τSx n )  y − Sx . Từ i) và iv) ta
có =
y Ty + Sx hay y = τS ( x ) .
Đặt C = co (  ) , với co (  ) là bao lồi đóng của  . Khi đó C ⊂ K và là tập compắc

yếu (theo định lí Krein − Smulian ). Ánh xạ τS : C → C liên tục yếu theo dãy nên theo

v)

Khi đó tồn tại điểm x * ∈ K sao cho Sx * + Tx * =
x* .
Chứng minh. Xem [2, định lý 2.9].
Hệ quả 2.1. [9, hệ quả 2.8]
Thay giả thiết iii) trong định lí 2.2 bởi giả thiết T : K → E là toàn ánh, ta nhận được
kết quả tương tự.
Chứng minh. Nếu T là toàn ánh thì điều kiện iii) của định lí 2.2 được thỏa mãn. Thật
vậy: với z ∈ S ( K ) , T ( K ) + z = E ⊃ K . ∎
Định lí 2.4. [9, định lí 2.9]

Cho K ⊂ E là tập lồi đóng, khác rỗng và các ánh xạ T : E → E, S: K → E . Giả sử
rằng:
i) S liên tục yếu theo dãy.
ii) T là ánh xạ giãn.
iii) S ( K ) ⊂ ( I − T )( E ) và [ x = Tx + Sy, y ∈ K ] ⇒ x ∈ K ( hay S ( K ) ⊂ ( I − T )( K )
).
iv) Nếu {x n } ⊂  ( E,K;T,S) và x n  x,Tx n  y thì y = Tx .
v)  ( E, K;T,S) compắc yếu tương đối.
Khi đó tồn tại điểm x * ∈ K sao cho Sx * + Tx * =
x* .
Chứng minh. Với y ∈ K thì S ( y ) ∈ ( I − T )( E ) (do giả thiết thứ nhất trong iii)), vậy
nên tồn tại x ∈ E sao cho x − Tx =
Sy . Do S ( K ) ⊂ ( I − T )( K ) và ( I − T ) đơn ánh
(xem chứng minh bổ đề 2.3) nên x =
( I − T ) −1Sy ∈ K , xác định duy nhất. Vậy ánh xạ

(I − T)