TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG
GIAN
p
l
(0<p<1)
THE FIXED POINT PROPERTY FOR COMPACT MAPS OF NORMAL
SIMPLEX IN THE SPACE
p
l
(0<p<1) LÊ HOÀNG TRÍ
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Ta đã biết rằng mỗi tập lồi trong không gian topo tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất
điểm bất động đối với các ánh xạ compact. Câu hỏi đặt ra là điều này còn đúng với các không
gian topo tuyến tính không lồi địa phương không. Bài báo này chỉ ra rằng đơn hình chuẩn
trong không gian
p
l
(0<p<1) (không gian topo tuyến tính không lồi địa phương) có tính chất
điểm bất động đối với các ánh xạ compact.

ABSTRACT
We know that every convex subset in local convex space has the fixed point property for
compact maps. However, it is not known, whether a convex subset of a non-locally convex
space has the property. The aim of this paper is to prove that normal simplex in the space l
p

Cho (X,d) là một không gian metric,
f :X X
là ánh xạ compact mà không có điểm
bất động thì
0
ε
>0 : d(x, f(x))
0
ε
;
xX

Chứng minh.
Gọi K là một compact trong X mà
f(X) K
. Ta phải chứng minh

0
ε
>0 : d(x, f(x))
0
ε
;
xX
(*).
Giả sử ngược lại
ε 0, x X : d(x,f (x)) ε;

n,
chọn

1
d(f (x ),x ) ; n
n

nn
nn
mm
n
mm
n
11
d(f (x ),x ) ; n
mn
limd(f (x ),x ) 0 (2)

Từ (1), (2)
nn
m 0 m 0 0 0
nn
limd(x ,y ) 0 limd(f(x ),f(y )) 0 y f(y )
vô lí.
Định nghĩa.
Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d), A được gọi là có
tính chấp nhận được nếu
ε0
, với mỗi tập compact
KA

0
ε
d(g(x),x) ; x K
4
và
g(K)
nằm trong 1 không gian tuyến tính con hữu hạn chiều L của X
g(K) L A L A
là tập lồi trong không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều L
Xét
AL
g f | :A L A L

Ta biết rằng mỗi không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều là một không gian metric
tuyến tính lồi địa phương
LA
là một AR
LA
có tính chất điểm bất động đối với các
ánh xạ compact mà
AL
g f | (A L) g(K),
mà g(K) là tập compact
0 0 0
x A L:g f(x ) x
00
0 0 0 0
εε
d(g(f(x )),f(x )) d(x ,f(x ))
44


Định lý
A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact.

Chứng minh
Theo Bổ đề 2, ta chỉ cần chứng minh A có tính chấp nhận được.
Cho K là một tập compact bất kì trong A
Với mỗi
n
,
1 2 n
x (x ,x , ,x , ) K;
Ta đặt
n 1 2 n
p (x) (x ,x , ,x ,0,0, );

n 1 2 n 1 2 n 1
f (x) (x ,x , ,x ,1 x x x ,0, )
.
Trước hết ta có nhận xét rằng:
1 2 n
x (x ,x , ,x , ) A
thì
1 2 n n
n1
x ,x , ,x , 0, x 1
.
Thật vậy cho
q
(q) (q) (q) (q)

(q) (q)
k k k k
k {1,2, ,n}, x ,x [0,1] x x 1

p
(q) (q)
k k k k
x x x x
p
nn
(q) (q)
k k k k
k 1 k 1
x x x x
0 (khi q )

n n n n
(q) (q)
k k k k k
k 1 k 1 k 1 k 1
x x x x x
n
(q)
kk
k1
xx
+1;
q
.
Qua giới hạn khi

cho
(q) (q) (q) (q)
1 2 n 1 2 3 n
x (x ,x , ,x , ) conv e ,e ,e , ,e ,
mà
(q)
x x(khi q )

Ta thấy
p
(q) (q)
n n n n
n 1 n 1
x x x x 0(khi q )

mà
p
(q) (q) (q) (q)
n n n n n n n n
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
q ; x x (x x ) x x x x

pp
(q) (q) (q) (q)
n n n n n n n
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
x x x x x x x

pp
(q) (q)

Sử dụng (*)
(1) (1) (1) (1) (1)
1 2 k k 1
x (x ,x , ,x ,x , ) K
mà
p
(1)
k0
k1
x ε
.Do chuỗi
p
(1)
k
k1
x
hội tụ nên
1
p
(1)
0
1k
k n 1
ε
n : x
4


11
1
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C.Bessaga and A.Pelczynski, Selected topics in infinite dimensional topology, PWN,
Warszawa,1975.
[2] J.Dugundji and A.Granas, Fixed point theory I, Warszawa, 1982.
[3] Lê Hoàng Trí, "The AR-property of bound convex in the space l
p
(0<p<1)", Journal of
science and technology, University of DaNang, pp.59-64 , No 1(13), April, 2006.