BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Gia Huy

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Gia Huy

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU BAO HÀM THỨC
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY


T
0

T
0

1.1. Sử dụng nguyên lý Entropy................................................................................... 3
0T

T
0

1.2. Sử dụng nguyên lý đệ quy tổng quát ................................................................... 11
0T

T
0

Chương 2. SỬ DỤNG LÁT CẮT ................................................................................ 23
T
0

T
0

2.1. Các định nghĩa..................................................................................................... 23
0T

0T


3.3. Ứng dụng vào bài toán điểm bất động ................................................................ 35
0T

T
0

KẾT LUẬN ................................................................................................................... 41
T
0

0T

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 42
T
0

0T


1

PHẦN MỞ ĐẦU
Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành trong thập
niên 1940, đạt được những kết quả ấn tượng trong những năm 1950 – 1970 và được
tiếp tục hoàn thiện đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi
trong nghiên cứu các phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ khoa học – kỹ
thuật, trong nghiên cứu các mô hình kinh tế– xã hội, trong lý thuyết điều khiển – tối ưu.
Một trong những hướng nghiên cứu gần đây của Lý thuyết phương trình trong
không gian có thứ tự là xét các phương trình trong không gian có thứ tự với ánh xạ đa
trị. Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu một cách hệ thống trong Toán học từ những năm

Chương 1. SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN
VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ
1.1. Sử dụng nguyên lý Entropy
Định nghĩa 1.1.1
Cho X là không gian Banach trên trường số thực  . Tập con K của X được
gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i) K là tập đóng
ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ 0

( ) {}

iii) K  −K =
θ
Định nghĩa 1.1.2

Nếu K là nón trong không gian Banach X , ta định nghĩa thứ tự sinh bởi K như
sau: ∀x , y ∈ K , x ≤ y ⇔ y − x ∈ K .
Mệnh đề 1.1.3
Giả sử “ ≤ ” là thứ tự trong không gian Banach X sinh bởi nón K . Khi đó :
i) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z , ∀z ∈ X và λx ≤ λy, ∀λ ≥ 0 ,
ii) Nếu x n ≤ yn , ∀n ∈ * và=
lim x n a=
, lim yn b thì a ≤ b ,
n →∞

n →∞

iii) Nếu x n ≤ x n +1 (n ∈ * ) và lim x n = a thì x n ≤ a, ∀n ∈ * .
n →∞


Cố định n , cho m → ∞ , do ii), ta có: x n ≤ a, ∀n ∈ *
Mệnh đề 1.1.4 (Nguyên lý Entropy)
Giả sử
i) X là tập sắp thứ tự sao cho mọi dãy đơn điệu tăng trong X có cận trên
( xn ≤ a ∈ X )

)

ii) S : X →  −∞; +∞ là một hàm:

( )

()

• Đơn điệu tăng, nghĩa là u ≤ v ⇒ S u ≤ S v

( )

• Bị chặn trên, nghĩa là ∃M : S u ≤ M , ∀u ∈ X

( )

( )

Khi đó, tồn tại phần tử uo ∈ X có tính chất: ∀u ∈ X , u ≥ uo ⇒ S u =
S uo
Chứng minh:

( ) {−∞} , ta lấy u


( )

( )

( )

( )

Suy ra: S u ≤ βn =
S uo . Mà S u ≥ S uo ( S là hàm đơn điệu tăng)


5

( )

( )

Do đó: S u = S uo

( )

 Nếu βn > S un , ta tìm được un +1 thỏa mãn:

un +1 ∈ M n


1
S un +1 > βn −  βn − S un 
2

( )

Với u ≥ uo , ta có: u ≥ un ⇒ u ∈ M n ⇒ S u ≤ βn < 2S un +1 − S un

( )

( )

( )

( )

⇒ S u ≤ lim S un ⇒ S u ≤ S uo
n →∞

( )

( )

Mặt khác: S u ≥ S uo ( S là hàm đơn điệu tăng).

( )

( )

Do đó: S u = S uo
Định nghĩa 1.1.5

Cho X ,Y là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y là họ tất cả các tập con của Y . Một ánh
xạ F : X → 2Y gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y


iii) Ta định nghĩa quan hệ thứ tự  giữa hai tập A, B như sau:

(

A  B ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ b

)

Ví dụ: Trong không gian Banach thực X =  với nón K
= 0; +∞

)

sau: A =
Ta xét các tập con của X như=
2; 3  , B =
1; 4  ,C 3; 4 
Khi đó: A  C , A < B, B  C
Định nghĩa 1.1.7
Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và ánh xạ đa trị

F : M ⊂ X → 2X
i) Ánh xạ đa trị F được gọi là ánh xạ đa trị đơn điệu nếu:

( )

()

∀x , y ∈ M , x ≤ y ⇒ F x < F y


( )

iii) ∀x ∈ M , ∀y1, y2 ∈ F x , ∃y ∈ F x sao cho y1 ≤ y, y2 ≤ y

( )( )

( )

( )

iv) Nếu các dãy x n , yn là các dãy tăng sao cho yn ∈ F x n thì dãy yn hội
tụ.
Khi đó F có điểm bất động cực đại trong M .
Chứng minh:

{

( )}

{}

Đặt M o =
x ∈M : x < F x

( )

Ta có thể giả sử x ≤ y, ∀y ∈ F x , với x ∈ M o

(1.1.8.1)


( )

( )

i) Xét x ∈ M , giả sử có dãy x n ⊂ G x sao cho x n → z

( )

( )

( )

( )

Khi đó x n ⊂ F x và do F x đóng nên z ∈ F x
Mặt khác do x ≤ x n , ∀n nên x ≤ z

( )

( )

Suy ra z ∈ G x , vậy G x đóng

{ }

( )

ii) Theo giả thiết, tồn tại x o ∈ X sao cho x o < F x o .



( )

Vì y1, y2 ∈ G x nên x ≤ y1, x ≤ y2 , vậy x ≤ y hay y ∈ G x

( )

( )

Vậy: ∀x ∈ M , ∀y1, y2 ∈ G x , ∃y ∈ G x : y1 ≤ y, y2 ≤ y

( )( )

( )

iv) Giả sử các dãy x n , yn là các dãy tăng sao cho yn ∈ G x n

( )

( )

Khi đó yn ∈ F x n nên dãy yn hội tụ.

( )

Ta kiểm tra F M o ⊂ M o

( )  F (x ) nên tồn tại x ∈ M

( )

( )

(

)

Do F đơn điệu nên F x n < F x n +1 , ∀n ∈ *

( )

(

)

Vậy với yn ∈ F x n , tồn tại yn +1 ∈ F x n +1 sao cho yn ≤ yn +1

( )( )

( )

( )

Như vậy, x n , yn là các dãy tăng và yn ∈ F x n nên theo iv) ta có yn là dãy
hội tụ. Đặt y = lim yn thì yn ≤ y, ∀n
n →+∞

( )

( )


Vậy dãy tăng x n có cận trên y ∈ M o .
Điều kiện 2: Chứng minh tồn tại một hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên xác định
trên M o
Với x ∈ M o , ta đặt:

M
=
x

{(u, v ) ∈ M

o

()

()

× M o : u ≤ v ; u ∈ F y ; v ∈ F z ; x ≤ y ≤ z ; y, z ∈ M o

}

( )

Ta có x , x ∈ M x nên M x ≠ ∅

( )

{

( )

()

Giả sử tồn tại c > 0 sao cho S a > c
Khi đó tồn tại x 1, x 2 , y1, y2 ∈ M o sao cho:

}


10

a ≤ x1 ≤ x 2

( )

( )

y1 ∈ F x 1 , y 2 ∈ F x 2 , y 1 ≤ y 2

y1 − y 2 > c

( )

Vì y2 ∈ F x 2 nên theo (1.1.8.1) ta có: x 2 ≤ y2 , vậy y2 ≥ a

( )

()

Mặt khác y2 ∈ M o nên theo (1.1.8.2) ta có: S =
y2


( )

Tiếp tục quá trình trên, ta có các dãy tăng x n , yn sao cho yn ∈ F x n thỏa
mãn: y2n −1 − y2n > c . Điều này mâu thuẫn với điều kiện iv)

()

Vậy S a = 0

()

Ta chứng minh mỗi b ∈ F a là điểm bất động của F trong M

()

()

Thật vậy, với mỗi d ∈ F b , ta có: b ≤ d ∈ F b

( )

()

Vì a ≤ b ∈ F a nên b, d ∈ M a

()

()


(

)

Cho tập hợp X ≠ ∅ , khi đó X , ≤ được gọi là tập được sắp (được sắp bộ phận)
nếu trên X có quan hệ thứ tự ≤ thỏa mãn:
i) Tính chất phản xạ: x ≤ x , ∀x ∈ X
ii) Tính chất phản đối xứng: Nếu x ≤ y và y ≤ x thì x =y, ∀x , y ∈ X
iii) Tính chất bắc cầu: Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z , ∀x , y, z ∈ X
Ta ký hiệu x < y nếu x ≤ y và x ≠ y
Định nghĩa 1.2.2

(

)

Cho tập được sắp X , ≤ , A ⊂ X , a ∈ X
i) a được gọi là một chặn trên của A nếu x ≤ a, ∀x ∈ A
a được gọi là một chặn dưới của A nếu x ≥ a, ∀x ∈ A

(

)

(

)

ii) a được gọi là phần tử tối đại của X nếu x ∈ X , a ≤ x ⇒ x =
a


( min A được hiểu theo nghĩa phần tử nhỏ nhất của tập hợp A )

( )

=
ii) Giả
sử x F C x , x < y ∈ C ∈ M . Khi đó x ∈ C
Chứng minh:

(

)

i) Vì x = min C 2 \ C 1 nên C 2x ⊂ C 1
Thật vậy, lấy y ∈ C 2x thì y ∈ C 2 và y < x nên y ∉ C 2 \ C 1 , suy ra y ∈ C 1

(

)

(

)

Giả sử C 1 \ C 2x ≠ ∅ , đặt y = min C 1 \ C 2x . Khi đó: C 1y ⊂ C 2x ⊂ C 1  C 2 .
Ta chứng minh C 1y = C 2x

(


Mâu thuẫn, vì z ∈ C 2x , y ∉ C 2x . Vậy C 1y = C 2x

y
1

x
2

x

Mâu thuẫn, vì y ∈ C 1, x ∉ C 1 . Vậy C 1 \ C 2x = ∅ , hay C 1 = C 2x

( )

ii) Vì y ∈ C ∈ M nên y = F C y

( )

( )

=
x F Cx =
< y F Cy
Do x < y nên C x ⊂ C y . Hơn nữa C x ≠ C y vì

(

)

Như vậy, tồn tại z = min C y \ C x . Ta cần chứng minh x = z

F=
Cz
z . Vậy x ∈ C
Suy
ra x F=
Mệnh đề 1.2.4 (Nguyên lý đệ quy)

(

)

Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự P, ≤ , ∅ ∈ D và ánh xạ

F : D → P . Khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho:

( )

{

}

F C x (với C x =y ∈ C | y < x )
i) x ∈ C ⇔ x =

( )

ii) Nếu C ∈ D thì F C không là cận trên đúng của C

(1.2.4.1)



(

Đặt x = min D  C 1

)

Lấy bất kỳ y ∈ D , khi đó tồn tại C 2 ∈ M để y ∈ C 2
• Nếu y ∈ C 1 thì x ≤ y
• Nếu y ∉ C 1 thì C 2 ⊄ C 1 nên theo mệnh đề 1.2.3 ta có C 1 = C 2k , trong đó

(

)

(

k = min C 2 \ C 1 , mà y ∈ C 2 , y ∉ C 1 nên y ∈ C 2 \ C 1

)

Do đó k ≤ y , suy ra C 2k ⊆ C 2y , tức là C 1 ⊆ C 2y
Do x ∈ C 1 nên x ≤ y
Vậy x ≤ y, ∀y ∈ D , suy ra x = min D tồn tại hay C là xích sắp tốt.
b) Chứng minh C thỏa mãn điều kiện (1.2.4.1)
⇒: Lấy x ∈ C , chọn C 1 ∈ M sao cho x ∈ C 1
Lấy y ∈ C x , khi đó tồn tại C 2 ∈ M sao cho y ∈ C 2x
• Nếu C 2 ⊂ C 1 thì y ∈ C 1x



Suy
ra x F=
x

Giả sử trái lại x ∉ C . Ta đã chứng minh C ∈ M nên theo mệnh đề 1.2.3, ta có
x
=
ta có C 1y

C  {x } )
(=
x

x

Do đó C 1 ∈ M

( )

Thật vậy, lấy y ∈ C 1 , ta chứng minh y = F C 1y

Cy


16

( )

( )

( )
F=
(C ) F (C )

Nếu y = x thì y= x= F C x = F C y = F C 1y
nên y


)

Cho X , ≤ là một không gian topo có thứ tự, W là một tập hợp khác rỗng,

L : W → X là toán tử đơn trị và N : W → 2X \ {∅}
Ta thừa nhận X có tính chất sau:
(C): Tập hợp C được sắp thứ tự tốt của những dãy tăng, hội tụ trong X chứa một dãy
tăng hội tụ về supC
Ta kiểm tra sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức Lu ∈ Nu
Mệnh đề 1.2.5

{ }

Cho F : P ⊂ X → 2P \ ∅ thỏa mãn các giả thiết sau:

{

}

i) Tập Po = u ∈ P | u ≤ v, v ∈ Fu không rỗng

( )

( )

ii) Nếu un ≤ vn ∈ Fun , n ∈  và vn là dãy tăng thì vn có giới hạn trong Po .
Khi đó F có điểm bất động cực đại và cũng là phần tử lớn nhất của Po
Chứng minh:



( )

Theo tính chất (C) của X , C chứa một dãy tăng vn sao cho

=
u lim
=
vn sup C và u ∈ Po . Do đó tồn tại v ∈ Fu thỏa mãn u ≤ v
n →∞

Áp dụng ii) cho dãy hằng un ≡ u, vn ≡ v ta được v ∈ Po

( )

Nếu u < v ∈ Po , ta có u < v ∈ F u =
, u sup C ∈ Po nên theo định nghĩa hàm f ,

( )

f C tồn tại và là chặn trên đúng của C (theo (1.2.4.1)), mâu thuẫn với kết luận

cuối của mệnh đề 1.2.4

( )

Vậy u= v ∈ F u hay u là điểm bất động của F
Để chứng minh u là điểm bất động cực đại của F , ta lấy v là một điểm bất động
nào đó của F thỏa mãn u ≤ v . Vì v ≤ v ∈ Fv nên v ∈ Po
Theo lý luận trên, ta có u = v , hay u là điểm bất động cực đại của F

Chứng minh:
Với tập Po được định nghĩa ở mệnh đề 1.2.5, ta có M o ≡ Po
Cho tập D và ánh xạ f như ở mệnh đề 1.2.5, khi đó ∅ ∈ D .
Theo mệnh đề 1.2.5, tồn tại chuỗi C được sắp thứ tự tốt trong X thỏa mãn
(1.2.4.1)

( )

( )

Nếu vn là một dãy tăng trong C thì theo định nghĩa của f , tồn tại dãy un

( )

trong Po thỏa mãn un ≤ vn ∈ Fun ,(n ∈ ) . Theo giả thiết iii), ta suy ra vn là
dãy trong Po

( ) ( )

( )

Mặt khác, un , vn là các dãy tăng trong M o , vn ∈ Fun thì vn hội tụ trong
P (theo giả thiết ii)). Đặt v = lim vn
n →∞

( )

Theo giả thiết iv), vn có chặn trên vo = sup vn trong M o
Ta có vn ≤ vo . Cho n → ∞ , ta có v ≤ vo
Mà vn ≤ v ≤ vo nên theo định nghĩa sup, vo ≤ v .


( )

iii) Nếu u ∈Wo và Lu ≤ x ∈ Nu thì x ∈ L Wo

( )

( )

iv) Mỗi dãy tăng và hội tụ của L Wo có một chặn trên trong L Wo
Khi đó bao hàm thức Lu ∈ Nu có nghiệm.
Chứng minh:
Ta định nghĩa hai toán tử đa trị

( )

Wo

L−1 : L Wo → 2

{ }

( )

{ }

\ ∅ và F : L Wo → 2X \ ∅ bởi

{


u∈L−1x


20

hay ∃u ∈Wo : Lu =
x và y ∈ Nu

{ } {Lu} < Nu ⊂ Fx

Do u ∈Wo nên x =

Suy ra: x ∈ M o , vậy M o ≠ ∅

( )

( )

• Nếu x n và yn là hai dãy tăng của M o sao cho yn ∈ Fx n . Ta chứng minh

(y ) hội tụ trong X
n

yn ∈ Fx n nghĩa là ∃un ∈Wo : Lun =
x n và yn ∈ Nun ( n ∈  )

( ) (

)



• Cuối cùng, ta chứng minh nếu x n ⊂ M o là một dãy tăng, hội tụ thì x n có
chặn trên trong M o

( )

( )

Thật vậy, do x n ⊂ M o nên x n = Lun ( n ∈  ) với un ⊂ Wo
Theo giả thiết iv), ∃u ∈Wo : Lun ≤ Lu
Điều này tương đương với điều x n ≤ x , với =
x Lu ∈ M o
Vậy F có điểm bất động, hay bao hàm thức Lu ∈ Nu có nghiệm
Định lý 1.2.8


21

Cho L, N là hai toán tử thỏa mãn các giả thiết i), ii), iv) của định lý 1.2.7 và thỏa
mãn thêm giả thiết sau đây:
v) Toán tử L là toàn ánh. Hơn nữa, Lu ≤ Lv ⇒ Nu < Nv
Khi đó bao hàm thức Lu ∈ Nu có nghiệm
Chứng minh:
Ta chứng minh L, N thỏa mãn giả thiết iii) của định lý 1.2.7.

( )

Giả sử u ∈Wo và Lu ≤ x ∈ Nu , ta cần chứng minh x ∈ L Wo

Vì x ∈ Nu nên x ∈ X . Mặt khác, L là toàn ánh nên ∃v ∈W : x =Lv

Lu

(

)

Vì Lun là dãy tăng, Lu = lim Lun nên Lun ≤ Lu .
n →∞

Theo giả thiết v), ta có Nun < Nu

n →∞