CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI
GIỚI THIỆU

Hiện nay chúng ta thấy với sự bùng nổ và phát triển công nghệ thông tin cùng với
sự phát triển của các nghành khoa học trên thế giới nói chung và ở việt nam nói
riêng đã đạt đến một tầm cao mới. Để thích ứng với tầm cao mới này chúng ta
không thể quản lý số liệu bằng các phép tính tay đơn giản mà phải dùng máy tính
mới có thể dự đoán, tính toán và quản lý số liệu hiện nay được.
Ngay cả ở phổ thông nhiều bài toán phải dùng đến máy tính mới dự đoán và cho ra
kết quả tốt được.
Đặc biệt ở các kỳ thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi các bài toán về dãy số và số học
chiếm đến 40% số điểm của bài thi
Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu gì về máy tính, hiểu sai tư tưởng về các kỳ thi
giải toán trên máy tính.
Chuyên đề này nhằm đáp ứng nhu cầu của học sinh về tư tưởng giải toán trên máy
tính.
Nội dung chuyên đề gồm ba phần.
Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính.
Phần 2: Phân tích tư tưởng giải toán trên máy tính qua một số bài toán về dãy số và
số học.
Phần 3: Các đề thi và tài liệu tham khảo.

1


NỘI DUNG
Phần 1: Giới thiệu một số chức năng thường dùng của máy tính.
Hầu hết hoc sinh đã biết thao tác bấm máy cơ bản. Tuy nhiên các em chưa khai
thác hết các chức năng của một số phím như: STO – CALC – SOLVE – COPY.
1) Chức năng STO: Dùng để nhớ một số vào ô nhớ.

Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE màn hình hiện x?
Bước 3: bấm số 3 rồi bấm “ =”. Máy tính sẽ tìm ra nghiệm là 5.
Từ đây ta dể dàng phân tích ra thừa số và giải được như sau:
-4–(
⇔

- 1) + 3x2 – 14x – 5 = 0.

–

⇔ (x – 5)(

⇔ x – 5 = 0 hoặc

+(x – 5)(3x + 1) = 0

+

+3x + 1) = 0

+

+3x + 1 = 0 vô nghiệm

⇔x=5

Trong đề thi học sinh giỏi tỉnh đồng nai ngày 14/10/2010 có bài.
Giải phương trình: x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25 x – 14 = 0.
Phương án tối ưu để giải phương trình trên là nhẩm nghiệm.
Ta dùng máy tính 570ES đoán được nghiệm là số 2. Và ta phân tích được ra thừa

+∞

Do đó x = 2 là nghiệm phương trình
4) Chức năng copy:
Máy tính fx570MS cho ta copy lại các phép tính đã tính ở trên.
Ví dụ: Ta có 3 phép tinh
6 +2 = 8
6 *2 = 12
6:2=3
Ta muốn copy 3 phép toán trên ta đưa con trỏ lên phép tính thứ nhất (6 +2 = 8) rồi
bấm SHIFT_COPY
Khi đó 3 phép toán trên hiện lên một dòng: 6 +2 = 8; 6 *2 = 12; 6 : 2 = 3
Ta chỉ việc bấm “=” liên tiếp là máy tính sẽ thực hiện các phép toán trên.
Chức năng này cho phép ta tính số hạng thứ n trong dãy số truy hồi rất nhanh.
Ví dụ: Cho (Fn) biết F1 = 1, F2 = 1, Fn +2 = Fn +1 + Fn. Tìm F30 ?
Bây giờ để dùng chức năng COPY ta lập thuật toán cho máy tính.
Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A.
Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B
Bước 2: Bấm A + B →A. B + A →B.
Bước 3: COPY hai dòng trên ta được A + B →A; B + A →B.
Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” và đếm tới số thứ 30 ta được F30
Nếu ta không thích đếm ta lập thêm ô nhớ C để đếm. Thuật toán như sau.
4


Bước 1: Gán 1 cho A: 1 _ shift _Sto _A: 1→A.
Gán 1 cho B: 1 _ shift _Sto _B
Gán 2 cho C: 2 _ shift _Sto _C
Bước 2: Bấm A + B →A. B + A →B. C + 2 →C.
Bước 3: COPY ba dòng trên ta được A + B →A; B + A →B; C + 2 →C.

Ví dụ 2: Ngày 01/01/2008 là ngày thứ ba. Vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ mấy?
Phân Tích:
Ta thấy 1 năm có 365 ngày, 1 năm nhuận có 366 ngày
Từ ngày 01/01/2008 đến Vậy ngày 01/01/2080 trải qua 72 năm, trong đó có 18
năm nhuận
Cứ 4 năm có 1 năm nhuận. Năm nhuận là năm chia hết cho 4 mà không chia hết
cho 100 hoặc chia hết 400
Suy ra số ngày là 72*365 + 18 = 26298 = 7*3756 + 6
Số dư là 6 tức là từ thứ 3 thêm 6 ngày nửa ta được thứ 2
Như vậy ngày 01/01/2080 là ngày thứ 2

 x = 1412003
 1
Ví dụ 3: Cho dãy số (xn ):  x2 = 20032004 Tính x2004

1 + xn +1
 xn + 2 =
xn


Tư tưởng đề giải bài này là liệt kê dãy số trên ra xem thử dãy số trên có hội tụ
không
Bấm 1412003 →A. 20032004 →B.
Bấm

1+ B
1+ A
→A.
→B.
A


Suy ra dãy số trên tuần hoàn với chu kỳ là 5
Do đó x2004 = x4
Dạng 2: Dãy số hội tụ.

x = y = 3
1
 1

2
Ví dụ 1: Cho hai dãy số (xn) và (yn) :  xn +1 = xn + 1 + xn Tính x2004.y2004

yn
 yn +1 =

1 + 1 + yn2


Phân tích:
Nếu ta dùng máy tính đoán đáp số cho bài toán trên thì rất dễ dàng.
Ta chỉ cần tổ chức ô nhớ cho hợp lý.
3 →A

3 →B

A + 1 + A2 →A

COPY ba dòng trên ta được

B

y1 = tan600, y2 = tan

60o
60o
,………….., yn + 1 = tan n
2
2

2
60o
300
Tính x2004.y2004 = tan 2003 cot 2003 = 1 − tan 2 300 (≈ 2 )
2
2
22003
 x1 = 4732; y1 = 847

Ví dụ 2: Cho hai dãy số (xn) và (yn) xác định như sau :  x = xn + yn ; y = 2 xn yn
n +1
 n +1
2
xn + yn

x5 − 2002

a) Tính giá trị x + 2002 với 10 chữ số thập phân.
5
xn ; lim yn
b) Tìm lim
x →∞

Từ đó suy ra x + 2002 ≈5,323948215-07
5
lim xn = 2002; lim yn = 2002
x →∞

x →∞

Ví dụ 3: Cho dãy số (xn) với
xn =sin(2010 – sin( 2010 - ………..sin( 2010 – sin(2010))………….))
Tìm n0 để với mọi n ≥ n0 thì xn có bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy là
không đổi.
Tìm gía trị x2009
8


Chuyển máy về radian
Bấm sin2010
Bấm sin(2010 – Ans)
Bấm “ =” liên tiếp và đếm ta được bốn chữ số phần thập phân ngay sau dấu phẩy
không đổi là 3071.
Kết quả n0 = 185
Dạng 3: Tính toán theo một qui luật nhất định.
Ví dụ 1: Cho f(x) = 4x( 4x + 2)
S = f(

–1

. Hãy tính tổng

1

→ A ; 1 + B→B.
AB + 1

COPY hai dòng trên ta được :
Bấm “=” liên tục ta được: 1,

A
→ A ; 1 + B→B.
AB + 1

1 1 1 1 1
, , ,
,
, ……
2 4 7 11 16

Ta có 1 +1 +2 + 3 + 4 +…………….+ 2007 = 2015029
Do đó x2008 =

1
2015029

9


Ví dụ 3: Cho f (n) =

1
3


k modul p, lại là việc vô cùng khó khăn. Trong trường hợp tổng tổng quát, với các
số nguyên lớn, bài toán này là không thể giải được ngay cả với các siêu máy tính
mạnh nhất hiện nay. Tuy nhiên, khi p là số nguyên tố và k không có ước chung với
p – 1 thì nhờ định lý fermat (nhỏ ) người ta phát hiện ra rằng có thể thực hiện được
phép “ khai căn “ này bằng cách tìm số d sao cho dk = 1 mod (p – 1) và tính ra N
bằng công thức N = Cd mod p. Để kiểm nghiệm điều nói trên, em hãy
a) Tính số C = 123452305 mod 54321 ;
b) Tìm số N sao cho N52209 mod 89897 = 56331
Phân Tích
B1) 123452305 , 2305 = 2304 + 1
123452 : 54321≈ 2805.526868, 123452 – 2805* 54321 = 28620
B2) 286201152
10


286202: 54321≈15078.96394, 286202 – 15078*54321 = 52362
B3) 52362576

523622: 54321≈ 50473.64820, 523622 – 54321* 50473 = 35211
B4) 35211288
352112: 54321≈ 22823.85304, 523622 – 54321* 22823 = 46338
B5) 46338144
463382: 54321≈ 39528.17960, 463382 – 54321* 39528 = 9756
B6) 975672
97562: 54321≈ 1752.168333, 97562 – 54321* 1752 = 9144
B7) 914436
91442 : 54321≈ 1539.234108, 91442 – 54321* 1539 = 12717
B8) 1271718
127172 : 54321≈ 2977.155962, 127172 – 54321* 2977 = 8472
B9) 84729, 9 = 8 + 1

n = 331, d = 197

B5) d. 5879 = 1 + n.8643

8643 – 5879 = 2764

n = 134, d = 197

B6) d. 5879 = 1 + n. 2764

5879 – 2*2764 =351

n = 134, d = 63

B7) d. 351 = 1 + n.2764

2764 – 7*351 = 307

n = 8, d = 63

B8) d. 351 = 1 + n.307

351 – 307 = 44

n = 8, d =7

B9) d.44 = 1 + n.307

307 – 6*44 = 43


B10) 506834
506832 : 89897≈ 28574.55186, 506832 – 89897* 28574 =49611
B11) 496112
496112 : 89897≈ 27378.5701525, 496112 – 89897* 27378 = 51255
B12) 51255*56331: 89897≈ 32117.260, 51255*56331– 89897* 32117 = 23456
Suy ra N = 23456
Bình luận
Để làm được bài toán trên đòi hỏi phải kiên nhẫn, thật kiên nhẫn
Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực
Ví dụ 1: Tìm một nghiệm (x, y, z) với x, y, z là các số nguyên dương phân biệt của
4

1

1

1

1

1

1

phương trình sau: n = x + y − z Với a) n = 109
4

1

1

Ví dụ 2: Tính S = 2010 ∑ 3
2
k = 0 k + 9k + 26k + 24
2006

2006
(−1) k .2006!
(−1) k .2006!( k + 1)
S = 2010 ∑
= 2010 ∑
k = 0 k !(2006 − k )!( k + 2)( k + 3)( k + 4)
k = 0 ( k + 4)!(2010 − ( k + 4))!
2006

=

2006
1
( −1) k .2010!(k + 1)
k +4
(−1) k C2010
.(k + 1)
=
∑
∑
2007.2008.2009
(
k
+
4)!(2010

4
5
.(k + 1) = (−1) 0 .C2010
.1 + (−1)1.C2010
.2 + …………+

.2007

4
2006
2010
.1 + …………………+ (−1) 2002 .C2010
.2003 + ………+ (−1) 2006 .C2010
.2007
= (−1)0 .C2010
4
5
1004
1005
.2 + (−1)1.C2010
.2 + ….+ (−1)1000 .C2010
.2 + (−1)1001.C2010
= 1002( (−1)0 .C2010
) + …..+
2010
(−1) 2006 .C2010
.2007
0
1
2010

1

Ta có: (k + 2)(k + 3)(k + 4) = 2(k + 2) − k + 3 + 2(k + 4)

13


k
(−1) k C2006
Đặt S1 = ∑
k = 0 2( k + 2)
2006

Ta thấy f(x) = x(1 – x)2006 =
1

∫

f ( x)dx =

0

2006

∑ (−1) C
k

k =0

k


0

1

k
1 3
(−1) k C2006
2006
S3 = ∑
= 2 ∫ x (1 − x) dx
k = 0 2( k + 4)
0
2006

Như vậy S = 2010( S1 – S2 + S3 )
Bấm máy cho kết quả S = 0,0002492980106
Bấm theo kết quả S =

1
= 0,0002488800398
4018

Vậy ta hiểu gì về hai đáp số trên.
Chính vì điều này đã tạo ra rất nhiều lời phê bình và gây rất nhiều khó khăn cho
các giáo viên dạy ôn thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi.
Ví dụ 3:
Bài 1; Cho h(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx +132005. Biết h(1) ; h(2); h(3); h(4) lần
lượt là 8, 11, 14, 17
Tìm 3 h(10)