Hớng dẫn học sinh giải Một số bài toán liên
quan đến đờng trung bình của Tam giác
A. Đặt vấn đề
Trong quá trình học tập bộ môn hình học học sinh lớp 8 còn bỡ ngỡ đối với
các bài toán chứng minh và còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài tập Vì
vậy việc cung cấp cho các em các bài toán mẫu , hớng dẫn các em đa cho các em
các bài toán cơ bản (bài toán gốc ) là việc làm hết sức cần thiết để các em làm
quen và học hỏi
Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã rút ra một số kinh nghiệm về việc
Hớng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đờng trung bình của tam
giác
B. Giải quyết vấn đề
I> Khai thác bài toán gốc
. Bài toán 1-1
Cho tam giác cân ABC (AB=AC) .Gọi M là trung điểm của đờng cao AH,
gọi D là giao điểm của cạnh AB với CM . Chứng minh : AB=3AD

Nhận xét : Tam giác ABC cân (AB=AC)
Vậy đờng cao AH đồng thời là đờng gì ?
Dẫn đến HB=HC .Đã có H là trung điểm
của BC . Muốn làm xuất hiện đờng trung bình
ta làm nh thế nào?
( Kẻ AH // CD hoặc gọi E là trung điểm của
DB )
* Cách giải :
+C1 : Kẻ HE // CD .Ta có : HE là đờng trung bình của tam giác BDC nên
EB=ED(1)
DM là đờng trung bình của tam giác AEH nên DA=DE(2)
Từ (1) và (2) suy ra BE=ED=DA hay AB=3AD
+C2 : Gọi E là trung điểm của BD . Chứng minh AD=DE=EB
Trong bài toán trên nếu thay điều kiện tam giác cân ABC bởi tam giác bất kỳ và

Ta nhận thấy giả thiết bài toán là kết luận
của bài toán 1 . Vậy liệu I có phải là trung
điểm của AM không
Muốn tính
IC
EI
ta chọn đoạn thẳng trung
gian và đa bài toán về bài toán 1
Cách giải
a> Gọi K là trung điểm của EB .Ta có AE=EK=KB=
3
AB
Nối KM .Ta có KM là đờng trung bình của tam giác BEC nên
EC =2KM (1)
EI là đờng trung bình của tam giác AKM nên KM = 2 EI (2)
Từ (1) và (2) suy EC = 2.2.EI =4EI =>
3
1
=
IC
EI
b> Ta có : CI là trung tuyến tam giác ACM nên
2
1
=


ACMS
AICS
(1)

II> Các bài toán áp dụng tính chất của đờng trung bình
1. Bài toán 2-1
Cho đoạn thẳng AC và một điểm B nằm giữa A và C . Dựng các tam giác
vuông cân ABD và BCE (vuông ở B và cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC)
- 2 -
=
A
B
C
M
I
E
K
// //
P
A
B
C
E
M
N
D
A
B
D
I
M
C
// //
_

0
(**)
Từ (*)và(**)suy ra MNP vuông cân tại N
2. Bài toán 2-2
Cho tam giác ABC vuông cân tại A . P
là trung điểm của AB , trên cạnh AB lấy
một điểm M . Gọi N là trung điểm của
MC . E là giao điểm của đờng thẳng qua B
song song với AC Và đờng thẳng qua A
vuông góc với PN .Chứng minh rằng tam
giác BME vuông cân
Cách giải
Gọi K là trung điểm của BC . Ta có NK là đờng trung bình của tam giác CMB
suy ra : BM=2NK(1);
NK//AB
- 3 -
I
A
B
C
M
P N
K
E
I
Gọi I là giao điểm của PK và AE .Do PK là đờng trung bình cuả tam giác ABC
nên PK//AC mà AC//BE nên PK//BE .Lại có PA=PB(gt) nên PI là đờng trung bình
của tam giác ABE :
PI//BE và BE=2PI (2)
XétAPIvà PKN ta có:AP=KP=AB:2

III> Tính chất đờng trung bình áp dụng vào tam giác vuông
1 . Bài toán 3-1
- 4 -
A
B
C
D
N
Q
M
P
Cho tam giác cân ABC(AB =AC) phân giác BD .Qua D vẽ đờng vuông góc với
BD cắt BC ở E.Chứng minh rằng :BE=2CD
Phân tích bài toán
Để chứng minh BE= 2CD Ta tạo ra một
đoạn thẳng bằng BE:2 Sau đó chứng minh
đoạn thẳng này bằng CD
Cách giải
Gọi K là trung điểm của BE .
Trong tam giác vuông BDE có DK là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
DK=BE:2 (1)
Lại có tam giác BKD cân nên KBD=BDK
Mặt khác DKC =KBD + BDK =2 KBD =ABC=ACB
Suy ra tam giác DKC cân tại D : DK =DC (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC=BE :2 hay BE=2CD
2 .Bài toán 3-2
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB<AC . Kẻ đờng cao AH . trên đoạn HC lấy
điểm D sao cho HB=HD .Kẻ đoạn CI vuông góc với đờng thẳng AD , Chứng minh
tam giác AHI cân
Cách giải

I