Bộ Tài nguyên và Môi trờng
Viện Khí tợng Thuỷ văn
Phơng pháp số trị trong nghiên cứu
và phục vụ khí tợng thuỷ văn
Hµ néi, 1/2005
2
Chơng I
các phơng trình cơ bản của cơ học chất lỏng
1.1 Các phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng
Có hai phơng pháp mô tả dòng chảy của chất lỏng. Phơng pháp thứ nhất là phơng pháp
Lagrange. Phơng pháp này khảo sát chuyển động của từng hạt lỏng trong không gian và theo
thời gian. Phơng pháp thứ hai là phơng pháp Euler, khảo sát biến trình thời gian của các tính
chất vật lý của chất lỏng tại những điểm cố định trong không gian. Trong bài giảng này, chỉ trừ
khi nói rõ ràng, ta mặc nhiên thừa nhận là phơng pháp Euler sẽ đợc dùng để mô tả chuyển
động của chất lỏng do tính thuận tiện của nó. Trong phơng pháp này, một hệ tọa độ cần đợc
thiết lập và chuyển động của chất lỏng đối với hệ tọa độ đó sẽ đợc xem xét. Hệ tọa độ này có
thể là hệ tọa độ đợc vẽ trên hình 1.4. Ngoài ra, đôi khi phơng pháp Lagrange cũng đợc sử
dụng. Khi đó, nó sẽ đợc phát biểu rõ ràng.
1.2 Đạo hàm thời gian
Giả thiết rằng ta dùng phơng pháp Lagrange để mô tả chuyển động của chất lỏng và
khảo sát sự thay đổi của một tính chất vật lý
s
của một hạt lỏng chuyển động cùng với chất
lỏng. Tốc độ thay đổi toàn bộ của tính chất vật lý này có thể đợc chia thành hai phần: một
phần biểu thị thay đổi theo thời gian của tính chất vật lý tại vị trí cho trớc và một phần biểu thị
sự thay đổi của tính chất vật lý gây ra do sự thay đổi vị trí của hạt lỏng. Nh vậy, có thể viết ph-
ơng trình sau:
i
i
x
s

nào đó, một khối chất lỏng lấp đầy thể tích kiểm tra này. Một
lát sau, tại thời điểm
t
+

t
, một phần của khối chất lỏng này đã chảy ra khỏi thể tích kiểm tra
và chất lỏng từ ngoài thể tích kiểm tra sẽ chảy vào trong để thay thế.
3
Hình 1.1 Thể tích kiểm tra và khối chất lỏng tại các thời điểm
t
và
t
+

t
.
Giả thiết là
B
biểu thị tổng lợng của một tính chất nào đó của chất lỏng (nh khối lợng,
động lợng hay nhiệt lợng v.v) chứa trong thể tích kiểm tra
V
. Ký hiệu
b
là lợng của
B
trên
một đơn vị khối lợng (mật độ của
B
) sao cho:

ở
đây
out
B
và
in
B
lần lợt là lợng của tính chất vật lý ra khỏi và đi vào thể tích kiểm
tra trong khoảng thời gian
t

.
Hình 1.2 Một diện tích vô cùng bé trên bề mặt của thể tích kiểm tra
Bởi vì tính chất
B
chuyển động

cùng với chất lỏng, tốc độ chảy ra của
B
từ thể tích kiểm
tra chỉ có thể là hàm số của vận tốc dòng chảy trên bề mặt thể tích kiểm tra. Nh chỉ ra trên
4
O
x
y
z
Thể tích kiểm tra
hình 1.2, khối lợng chất lỏng chảy ra khỏi thể tích kiểm tra trong khoảng thời gian

t

( )
dAnub
t
BB
S
inout
t
lim
0

=





(1.4)
Nh vậy, phơng trình (1.3) có thể đợc viết là:
( )
dAnubbdV
tdt
dB
SCV

+


=



z
u
y
u
x
u
yxuzxuzyu
xyz
z
u
uzxy
y
u
uzyx
x
u
u
z
y
x
zyx
z
z
y
y
x
x
=










++









+



(1.7)
ở
đây
zkyjxi
++=
///




( ) ( )
0
=






+



dVubb
t
CV



(1.9)
5
Hình 1.3 Các thể tích vô cùng bé bên trong thể tích kiểm tra
Bởi và thể tích kiểm tra
CV
là tuỳ ý chọn, rõ ràng là nếu có một điểm trong không gian
mà tại đó đại lợng trong ngoặc vuông bên vế trái của phơng trình (1.9) khác zero, ta có thể
điều chỉnh thể tích kiểm tra sao cho nó chỉ chứa điểm này. Điều này có nghĩa là tích phân bên
vế trái của phơng trình (1.9) khác zero và phơng trình này không đợc thỏa mãn đối với thể tích
kiểm tra này. Nh vậy, để đảm bảo là phơng trình (1.9) đợc thỏa mãn cho toàn bộ miền tính, đại
lợng trong ngoặc vuông ở vế trái của phơng trình (1.9) phải là zero tại tất cả mọi điểm trong

0
=


+


i
i
u
xt


(1.11)
Phơng trình (1.11) thờng đợc gọi là phơng trình liên tục của dòng chảy lỏng.
1.5 Định luật bảo toàn động lợng và phơng trình chuyển động
1.5.1 Phơng trình chuyển động của Cauchy
Phơng trình chuyển động đợc rút ra bằng cách liên hệ
B
với động lợng của toàn hệ thống.
Động lợng là một đại lợng vector, là tích của khối lợng và vận tốc. Nh vậy,
b
là vector vận tốc
u

. Từ định luật chuyển động của Newton, tốc độ thay đổi của động lợng trong một hệ với
khối lợng bất biến bằng lực tác dụng:
6
F
dt

f

, ta có:

=
CV
dVfF


(1.14)
Dùng định lý phân kỳ và phơng trình (1.14), có thể viết phơng trình (1.13) cho mỗi thành
phần trên mỗi hớng nh sau:
( )
( )
0
=















Dùng phơng trình liên tục (Eq. 1.11), ta có thể viết lại phơng trình (1.16) nh sau:
i
j
i
j
i
f
x
u
u
t
u
=


+



(1.17)
Hình 1.4 Lực áp suất theo hớng
x

Phơng trình (1.17) là phơng trình Cauchy của chuyển động của chất lỏng. Số hạng đầu
tiên trong vế trái của phơng rình biểu thị tốc độ thay đổi địa phơng của động lợng tại một điểm
trong khi số hạng thứ hai biểu thị tốc độ thay đổi của động lợng tại điểm đó gây ra do dòng
chảy (ảnh hởng của hiện tợng bình lu).
Đối với một bài toán thông thờng, chỉ có áp suất, ứng suất cắt và trọng lực là cần đợc
xem xét.
á






+

1
(1.18)
ứ
ng suất cắt tác động theo hớng
x
lên một thể tích vô cùng bé đợc chỉ ra trên hình 1.5.
Trong hình, chỉ số thứ nhất của

chỉ trục tọa độ vuông góc với bề mặt của hình lập phơng và
chỉ số thứ hai chỉ ra hớng của thành phần của ứng suất. Thành phần của ứng suất tác động theo
hớng vuông góc với bề mặt đợc bao hàm trong áp suất và nh vậy không đợc tính đến. Nh đã
chỉ ra trong hình, lực d trên một đơn vị thể tích do ứng suất nhớt gây ra theo hớng
i
là:
( )
j
ji
zi
yi
xi
i
xzyx
f

trên thể tích vô cùng bé
Trọng lực theo hớng
i
là tích của trọng lợng của phần tử đợc xem xét nhân với cosine
của góc giữa phơng thẳng đứng và hớng
i
.
( )
i
g
i
x
h
gf


=

(1.20)
ở
đây, chiều dơng của
h
hớng lên phía trên.
Tiếp theo, dùng các phơng trình từ (1.18) tới (1.20), phơng trình (1.17) trở thành:
j
ji
iij
i
j
i

dạng áp dụng đợc, tensor này nhất định phải đợc biểu thị dới dạng những đại lợng cơ bản nh
vận tốc và những đạo hàm của nó. Để có thể làm đợc việc này, ta phải xem xét xem chất lỏng
chuyển động ra sao.
1.5.2 Chuyển dịch, quay và vận tốc biến dạng
Hãy xem xét một điểm
0
i
x
trong một chất lỏng mà tại đó vận tốc là
0
u

(xem Hình 1.6). Tại
một điểm lân cận với tọa độ là
xx
i
+
0
, vận tốc là
uu

+
0
. Giả thiết rằng
u

là một hàm liên
tục của các biến không gian thì ta có thể khai triển Taylor hàm này tại lân cận điểm
0
i


(1.22)
Bỏ qua các số hạng bậc hai và nhỏ hơn, từ phơng trình (1.22) ta có thể rút ra phơng trình
sau:
j
j
i
i
x
x
u
u



=
(1.23)
Hay, bằng cách cộng vào và trừ đi những số hạng giống nhau vào vế phải của phơng
trình (1.23), ta có:
j
i
j
j
i
j
i
j
j
i
i







+


=
2
1
2
1
(1.24)
Nh vậy tensor
ji
xu

/
đã đợc chia thành một tensor bất đối xứng
ij

và một tensor
đối xứng
ij
d
lần lợt đợc định nghĩa nh sau:








+


=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
d
2
1
(1.26)
Hình 1.6 Chuyển động của những điểm lân cận
Hình 1.7 Một phần tử lỏng ở vị trí ban đầu
9
Hình 1.8 Chuyển động của phần tử lỏng
Hãy xem xét một phần tử lỏng hình chữ nhật với một góc nằm tại gốc tọa độ, nh trên
hình 1.7. Chất lỏng chuyển động với vận tốc biến đổi trong không gian và vận tốc chuyển
động của chất lỏng tại gốc tọa độ là
0


, điểm a chuyển động
đợc một quãng đờng
tu
a


, v.v. Bởi vì vận tốc chuyển động tại các điểm khác nhau nói chung
là khác nhau một chút, phần tử lỏng đã bị biến dạng và không còn là hình chữ nhật nữa. Để có
thể thấy rõ tính chất của sự biến dạng này, trớc hết ta hãy xem xét trờng hợp:
x
u
y
u
y
x


=


và
0
=


=


y

y
so với điểm o. Góc giữa cạnh o-a và phơng thẳng đứng là
tyu
x

/
; góc giữa
cạnh o-c và phơng nằm ngang là
txu
y

/
.
Nh vậy, với những giả thiết nh trên, phần tử lỏng đã trải qua một quá trình dịch chuyển vị
trí và quay. Mở rộng lý luận cho ba chiều, ta thấy rằng điều kiện cho chuyển động nh thế này
là
0

ij

và
0
=
ij
d
. Xem xét tiếp tensor
ij

ta thấy rằng nó mô tả chuyển động quay của
phần tử lỏng.

biểu thị sự chuyển động tơng đối của các điểm khác nhau trên phần
tử lỏng. Nh vậy, chuyển động của một chất lỏng bao gồm:
1. một sự di chuyển của chất lỏng nh với vật rắn cộng với
2. một sự quay của chất lỏng nh với vật rắn (tensor bất đối xứng) cộng với
3. một sự biến dạng (tensor đối xứng).
Các hiệu ứng trên đợc diễn tả bằng một chuyển động đơn giản với vận tốc biến đổi nh
thấy trên hình 1.10. Một phần tử lỏng gần gốc tọa độ bị biến dạng và quay nh trên hình vẽ để
tạo ra một dòng chảy nh sau.
Hình 1.10 Dòng chảy với vận tốc biến đổi tạo ra chuyển động quay và chuyển
động biến dạng thuần túy
1.5.3 Mối liên hệ giữa vận tốc biến dạng và ứng suất Ph ơng trình Navier-Stokes
11
Trong phơng trình chuyển động của chất lỏng, tensor ứng suất cắt nhất định phải đợc
liên hệ với những tính chất vật lý của dòng chảy. Cơ sở cho mối liên hệ này là định luật
Newton về tính nhớt. Nếu nh có một chất lỏng với vận tốc chảy theo hớng trục
x
chỉ biến đổi
theo hớng trục
y
, thì ứng suất cắt tác động lên một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với trục
y
chỉ có một thành phần theo hớng
x
và đợc biểu thị nh sau:
dy
du
x
yx
à
=

x
u
u
t
u
dt
du
à
+


+


=










+


=
2

(1.31)
ở
đây
222222
/// zyx
++=
là ký hiệu của toán tử Laplace, và
g
vector gia tốc
trọng trờng.
Phơng trình Navier-Stokes (1.31) biểu thị sự bảo toàn động lợng của chất lỏng. Số hạng
đầu tiên trong ngoặc đơn ở vế trái của phơng trình này biểu thị tốc độ biến đổi địa phơng của
động lợng, số hạng thứ hai biểu thị tốc độ biến đổi của động lợng gây ra do bình lu (hay đối l-
u); số hạng thứ nhất ở vế phải biểu thị sự biến đổi của động lợng gây ra bởi áp suất, số hạng
thứ hai biểu thị sự khuyếch tán động lợng gây ra bởi độ nhớt, và số hạng cuối cùng biểu thị sự
thay đổi của động lợng gây ra bởi trọng lực.
12
Các phơng trình Navier-Stokes cho các thành phần vận tốc dòng chảy theo các hớng
(1.30) cùng với phơng trình liên tục (1.11) tạo nên một hệ bốn phơng trình cho bốn ẩn dùng để
mô tả dòng chảy: ba thành phần vận tốc dòng chảy theo ba hớng và áp suất. Đối với các bài
toán cơ học chất lỏng nói chung, mật độ của chất lỏng cũng là những đại lợng cha biết và cần
phải đợc xác định dựa trên phơng trình trạng thái. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, mật độ của
chất lỏng (nớc và không khí) có thể xem là không đổi.
1.5.4 Chất lỏng lý tởng
Một chất lỏng có độ nhớt bằng không đợc gọi là chất lỏng lý tởng. Đối với loại chất lỏng
này, phơng trình liên tục và phơng trình động lợng có thể đợc viết nh sau:
( )
0
=











+


(1.33)
Phơng trình (1.33) đợc gọi là phơng trình Euler của dòng chảy. Trong các bài toán về
sóng, loại trừ sóng vỡ gần bờ, sóng gần công trình và sóng trong nớc rất nông, ảnh hởng của
độ nhớt là có thể bỏ qua và nớc đợc coi là chất lỏng lý tởng.
Đối với những vấn đề thuộc động lực sóng, nớc có thể đợc coi là không nén đợc và nh
vậy các phơng trình (1.32) và (1.33) trở thành:
0
=


i
i
x
u
(1.34)
i
ij
i






i
j
j
i
x
u
x
u
(1.36)
Khi một chuyển động là không xoáy, có thể biểu thị dòng chảy bằng
thế vận tốc

,
đợc
định nghĩa nh sau:
i
i
x
u


=
(1.37)
13
Thay thế phơng trình (1.37) vào (1.36) cho thấy rằng điều kiện không xoáy đợc tự động

tính không xoáy và tính không nén đợc đã cho ta những đơn giản hóa vô cùng lớn.
Một khi đã biết thế vận tốc bằng cách giải phơng trình (1.39), phơng trình chuyển động
cho ta biết đợc áp suất. Thế dịnh nghĩa của thế vận tốc, phơng trình (1.37) vào phơng trình
(1.35) cho ta:
i
ijiji
g
x
p
xxxxt
+


=




+





1
2
(1.40)
Số hạng thứ hai của phơng trình (1.40) có thể đợc biểu thị là:
22
1

3
2
2
2
1
uuuuuu
jj
=++=
và gia tốc trọng trờng chỉ có một thành phần theo ph-
ơng thẳng đứng, sau khi đã thay đổi thứ tự đạo hàm, phơng trình (1.40) có thể đợc viết lại dới
dạng:
0
2
1
2
=








+++




gz

u

(1.44)
Phơng trình này đợc gọi là phơng trình
Bernoulli,
đợc rút ra với các giả thiết (1) chất
lỏng không nén đợc, (2) dòng chảy không xóay, và (3) dòng chảy dừng. Với hầu hết các dòng
14
chảy, điều kiện không xoáy có nghĩa là không có ứng suất cắt và nh vậy không cần điều kiện
là dòng chảy không có ma sát. Với những giới hạn này, phơng trình (1.44) là một phơng trình
cho một điểm (ngợc với phơng trình dạng tích phân áp dụng cho một thể tích), bởi vì nó đợc
rút ra từ một phơng trình vi phân và đợc áp dụng cho tất cả các điểm trong trờng dòng chảy.
Chơng II
Lý thuyết rối và các mô hình rối khép kín
2.1 Phơng trình Reynolds và vấn đề khép kín rối
Rối biểu thị các nhiễu động của vận tốc, áp suất, nhiệt độ, độ ẩm v.v. do tồn tại các
xoáy có kích thớc khác nhau trong một trờng dòng chảy. Để xét xem một dòng chảy có phải là
dòng chảy rối hay không, ngời ta căn cứ vào số Reynolds đợc định nghĩa nh sau:

VL
R
=
(2.1)
Trong đó
R
là số Reynolds;
V
và
L
là vận tốc và kích thớc đại diện của dòng chảy; và



+


=


+


i
j
j
i
ii
i
f
i
x
U
x
U
x
v
x
P
t
U
U

bình Reynolds) và
u
và
p
biểu thị các giá trị nhiễu động của vận tốc và áp suất. Giá trị trung
bình Reynolds của các thành phần nhiễu động là bằng 0. Vì vậy:

0
==



+=

0
==

(2.4)
(2.4)
Nếu nh trờng rối là dừng (không thay đổi theo thời gian) thì phép trung bình đợc lấy
theo thời gian. Khi đó, trung bình Reynolds đợc định nghĩa nh sau:
dttx
T
x
T
T
T
T



không gian của các đại lợng trung bình. Trong thực tế, trờng rối không dừng và cũng không
đồng nhất nên thờng là trung bình tập hợp (ensemble average) của các giá trị quan trắc đợc sử
dụng:
),(
1
lim),(
1
)(
tx
N
tx
N
k
n
N
E

=

=

(2.7)
(2.7)
Với các trờng rối dừng và đồng nhất, ba giá trị trung bình là bằng nhau.
á
p dụng phép lấy trung bình vào phơng trình Navier-Stokes (2.2), ta có:

0
=













+




+


=


+



1
(2.8)
Trong không gian ba chiều, có thất cả 9 thành phần
ji

u
u
x
U
u
x
u
U
t
u


+










+




+


k
j
ki
k
i
kj
k
ji
k
ji
x
u
x
u
v
x
uu
vu
p
uuu
x
x
u
x
up
x
U
uu
x
U






+


+





=


+


2



(2.10)
Trong phơng trình (2.10), lại xuất hiện các thành phần moment bậc 3 của các thành
phần nhiễu động
kji
uuu
và các thành phần liên hệ giữa nhiễu động vận tốc và áp suất

hởng của rối đợc biểu thị bằng một hệ số nhớt rối
t

. Mô hình này dựa trên lý thuyết đoạn đ-
ờng xáo trộn của Prandtl. Theo lý thuyết này thì trờng rối đợc giả thiết là bao hàm rất nhiều
xoáy bất biến (xoáy đông cứng) khi nó di chuyển một khoảng cách
l
. ở cuối khoảng cách này,
xoáy đợc xáo trộn với các xoáy bên cạnh và biến mất. Khoảng cách này đợc gọi là đoạn đờng
xáo trộn. Prandtl giả thiết rằng hệ số nhớt rối là tích của vận tốc đại diện
t
v
và độ dài đại diện
l
(đoạn đờng xáo trộn). Vận tốc đại diện
t
v
lại là tỷ số giữa độ dài đại diện và khoảng thời
gian đại diện
0
t
(quy mô thời gian rối). Quy mô thời gian rối đợc xác định là tỷ lệ nghịch với
gradient vận tốc. Vì vậy, giả thiết là vận tốc dòng chảy chỉ biến đổi theo phơng trục
y
thì độ
nhớt rối đợc xác định nh sau:
y
U
l
mt



+


=
2

(2.12)
2.3 Mô hình một phơng trình
Mô hình này dựa trên giả thiết của Kolmogorov và Prandtl về mối liên hệ giữa hệ số
nhớt rối và năng lợng rối (đợc định nghĩa là
2
)2/1(
i
uk
=
) và quy mô rối
l
nh sau
j
jjii
j
h
j
k
x
k
vu
p





(2.13)
Với:
j
j
j
i
j
i
jih
x
u
x
u
v
x
U
uuP




=


=



(
2.16)
2.4 Mô hình 2 phơng trình (
k-

)
Trong mô hình một phơng trình, để xác định hệ số nhớt rối cần cho trớc quy mô rối
l
bằng một giả thiết nào đó. Tuy nhiên, có thể xác định
l
bằng cách giải một phơng trình vận
chuyển quy mô rối. Mô hình dạng này là mô hình
k-l
. Tuy nhiên, dựa trên mối liên hệ (2.16),
có thể dùng tốc độ tiêu tán năng lợng rối

để biểu thị quy mô rối
l
. Loại mô hình này đợc gọi
là mô hình
k-e.
Trong lý thuyết khép kín rối, cả hai loại mô hình trên đều đợc gọi là mô hình
hai phơng trình. Các phơng trình cơ bản của mô hình
k
-

nh sau:
19
( )

i
j
j
i
tuji
ji
j
i
ji
t
CCC
x
v
x
D
x
k
v
x
D
x
U
x
U
v
x
U
uuP
DCPC
kDt











+


=










+


=




=













+


=
(2.17)
Trong mô hình
k-
, hệ số nhớt rối đợc xác định nh sau:
09.0:,
2
à
à

C
kC

hạn v.v. Trong bài giảng này, ta sẽ xét chủ yếu phơng pháp sai phân hữu hạn và mở rộng tới
phơng pháp thể tích hữu hạn.
3.1 Lới sai phân không gian
Một lới sai phân không gian đợc thể hiện trên hình 3.1. Trong hình,
x

và
y

đợc gọi
là bớc lới theo các trục
x
và
y
. Nói chung, bớc lới là hằng số, nhng có thể khác nhau theo các
trục không gian khác nhau.
Với một lới sai phân nh chỉ trên hình 3.1, các giá trị của một hàm
f
nào đó tại một
điểm
i, j
của lới sẽ đợc ký hiệu là
ji
f
,
Hình 3.1 Lới sai phân dùng trong mô hình số trị thuỷ khí động lực học
Hình 3.1 là lới sai phân thông thờng để giải các phơng trình đạo hàm riêng nói chung.
22
Trong trờng hợp giải hệ phơng trình Navier-Stokes, ngời ta thờng dùng lới sai phân so le. Lới
sai phân so le này sẽ đợc trình bày trong phần sau của bài giảng này.

x
x
fx
x
f
x
x
f
xfxxf
n
n
(3.1)
Nh vậy, nếu ký hiệu giá trị của vận tốc dòng chảy
u
tại một điểm
i,j
nào đó trên lới là
ji
u
,
thì vận tốc
ji
u
,1
+
tại điểm
i
+1,
j
của lới sẽ biểu thị nh sau:








+








+=
+
x
x
ux
x
u
x
x
u
uu
jiji
ji
jiji














=








+
x
x
ux
x
u
x
uu

(3.4)
Bỏ qua các số hạng vô cùng bé (tỷ lệ với

x
), ta có công thức xấp xỉ sai phân hữu hạn
của đạo hàm trên:
x
uu
x
u
jiji
ji











+
,,1
,
(3.5)
So sánh (3.4) và (3.5), có thể thấy rằng phần bị bỏ qua tỷ lệ với

x










+











+
































+
















,1,
,
(3.8)
Công thức (3.8) là công thức sai phân hữu hạn lùi bậc nhất.
23
Lấy hiệu của (3.2) và (3.7), ta có:
( )
...
6
22
3
,
3
3
,
,1,1
+





( )
2
,1,1
,
2
xO
x
uu
x
u
jiji
ji
+


=








+
(3.10)
Phơng trình (3.10) có độ chính xác bậc 2 và đợc gọi là sai phân trung tâm bậc 2.
Từ những điều đã đợc trình bày ở trên, ta có thể thấy rằng dờng nh công thức sai phân
trung tâm (3.10) cho ta kết quả chính xác nhất. Tuy nhiên, trong cơ học chất lỏng, vấn đề
không phải là đơn giản nh thế. Nh ta sẽ xem xét sau này, công thức sai phân trung tâm (3.10)

+


=










+

+
2
1,1,
1,,
,1,
,
2
yO
y
uu
yO
y
uu
yO









+










+=
+
x
x
u
x
x
u
uuu
jiji
jijiji



+
(3.13)
Cũng tơng tự nh thế:
( )
( )
2
2
1,,1,
,
2
2
2
yO
y
uuu
y
u
jijiji
ji
+

+
=














+











+










yx
u
y
u
y
u
jijiji
jiji
(3.15)
Tơng tự với phơng trình (3.6), ta có:
( ) ( )
...
62
3
,
3
4
2
,
2
3
,
2
,,1
+
















=











x
yx
ux
yx
u
x
yx
u



+










=

















2
+














=










+
x
yx

jiji
ji
jiji
ji
+


=










+


=















++++
(3.18)
Tổng kết lại, ta có các sơ đồ sai phân sau:
Sai phân bậc 1 tiến theo phơng
x
Sai phân bậc 1 lùi theo phơng
x
Sai phân bậc 2 trung tâm theo phơng
x
25