Trường Tiểu Học – THCS – THPT Nguyễn Công Trứ - TP.Nam Định
MỘT VÀI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC
Bài 1: CMR với mọi tam giác ABC nhọn ta có : tan A + tan B + tan C ≥ 3 3
Cách 1: với dạng bài này ta thường nghĩ tới sử dụng phương pháp dồn biến đưa về giá trị trung
x+ y
) với
bình trong chứng minh bất đẳng thức : ở bài này ta cần chỉ ra f ( x) + f ( y ) ≥ 2 f (
2
 π
f (t ) = tan t ; t ∈  0; ÷
 2
Thật vậy
 π
Do x, y ∈  0; ÷ nên:
 2
1
1
x+ y
x+ y

0 < cosx.cosy = [ cos(x + y ) + cos(x − y ) ] =  2cos 2
− 1 + cos(x − y)  ≤ cos 2
2
2
2
2

 x+ y
 x+ y
 x+ y
 x+ y

 2
 C +π 
π
 A+ B 
3÷
Do ∆ABC nhọn nên: tanA + tanB ≥ 2 tan 
÷ ; tanC+ tan ≥ 2 tan 
3
 2 ÷
 2 


 A+ B C +π 
3÷

π
+


C+
 A+ B 
3 ÷ ≥ 2 tan  2
2 ÷= 2 3
tan 
÷+ tan 

÷
2
2
2

3
 tan A + tan B + tan C 
 tan A + tan B + tan C 

÷ ≥ tan A.tan B.tan C ⇔ 
÷ ≥ tan A + tan B + tan C
3
3




⇔ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ⇔ tanA = tanB = tanC ⇔ A = B = C hay ∆ABC đều.
Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là ta đã sử dụng hệ thức (dễ dàng chứng minh được)
tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C (với mọi ∆ABC không vuông) , đồng thời với giả thiết
để có thể áp dụng Cô si cho 3 số tanA, tanB, tanC.
Như vậy Một số bài toán trong tam giác, nếu biết và sử dụng triệt để các hệ thức lượng giác về
góc trong tam giác ta sẽ có lời giải hay và ngắn gọn hơn.
Bài 2: Chứng minh rằng, với mọi tam giác ABC ta có: tan 2

A
B
C
+ tan 2 + tan 2 ≥ 1
2
2
2

Lời giải:

B
B
C
C
A
⇔ tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B 
B
C 
C
A

Có:  tan − tan ÷ +  tan − tan ÷ +  tan − tan ÷ ≥ 0
2
2 
2
2 
2
2


Dấu “=” xảy ra ⇔ tan = tan = tan ⇔ A = B = C = ( hay tam giác ABC đều)
2
2
2
3
A
B
B
C
C
A
Nhận xét: Nếu không sử dụng hệ thức: tan .tan + tan .tan + tan .tan = 1 thì rất khó
2
2
2
2
2
2
để giải quyết được bài toán trên.

Giáo Viên: Phạm Thanh Bình


Trường Tiểu Học – THCS – THPT Nguyễn Công Trứ - TP.Nam Định
Bài 3: Cho ∆ABC biết cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 . Chứng minh ∆ABC vuông.

Lời giải:
Ta có cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = 2cos( A + B) cos(A − B) + 2cos 2 C − 1
= 2cos( A + B ) cos(A − B) + 2cos 2 ( A + B) − 1
= 2cos( A + B ) [ cos(A − B) + cos( A + B) ] − 1

+ c2 − b2 )

2

(a
+

2

+ b2 − c2 )

2

−2=0
2b 2c 2
2a 2c 2
2 a 2b 2
Rõ ràng ta được một bài toán mới phức tạp hơn nhiều !
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
A
B
C
1. sin A + sin B + sin C ≤ cos + cos + cos
2
2
2
A
B
C
2. sin A + sinB + sinC ≤ cos + cos + cos

n
n
n
2n
2n
2n

Giáo Viên: Phạm Thanh Bình


Trường Tiểu Học – THCS – THPT Nguyễn Công Trứ - TP.Nam Định

2. Có

sin A + sin B ≤ 2(sin A + sin B) ≤ 2 cos

Áp dụng tương tự

sinB + sinC ≤ 2 cos

A
;
2

C
2
sinC + sinA ≤ 2 cos

B
2