Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
1/
9
I. Phương trình
sin
x m
=
.
• Điều kiện có nghiệm:
1 1
m
− ≤ ≤
.
Nghĩa là nếu
1
m
>
hoặc
1
m
< −
thì phương trình sin
x m
=
vô nghiệm.
Chẳng hạn các phương trình sau vô nghiệm :
sin 3
x
= −
;

x m x
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ = ⇔

= − +


Tr
ườ
ng h
ợ
p góc
;
x
α

ñượ
c
ñ
o b
ằ
ng
ñơ
n v
ị

ñặc biệt.
Ví d
ụ
1: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
1
sin
2
x
=
b)
3
sin
2
x = −
Gi
ả
i:
a)
2
1
6
sin sin sin
2 6
2
6


⇔


= +



(
)
k ∈
ℤ
.
b)
2
3
3
sin sin sin
2 3
2
3
x k
x x
x k
π
π
π
π
π π



= +



Chú ý
:
sin 0
x x k
π
= ⇔ =
;
sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = + ;
sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − + .
Bài tập 1
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

(
)
( )
2
sin sin sin
2
f x k
f x m f x
f x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔ = ⇔

= − +



Ví d
ụ
2: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
a)
1
sin 2
2

x k
x k
π
π
π
π π

= − +


⇔
 

= − − +
 

 

12
7
12
x k
x k
π
π
π
π

= − +


π π
π π

− = +

⇔


− = − +


2
2
3
2
x k
x k
π
π
π π

= +

⇔

= +


Đối với các phương trình dạng này, ñầu tiên các em tính
(

Dạng 3: Giải các phương trình ñơn giản với
(
)
sin
f x
và góc
α
không ñặc biệt.
N
ế
u
1 1
m
− ≤ ≤
thì dùng máy tính c
ầ
m tay b
ấ
m t
ổ
h
ợ
p phím “Shift”, “sin”, “m”
ñể
tính góc
α

sao cho
sin
m

ấ
m
Shift sin (
−
3: 5) =
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
nh
ư
bên.
Ngh
ĩ
a là
( )
3
sin 0,6435
5
− ≈ − (L
ấ
y g
ầ
n
ñ
úng)

V

theo
π
.
L
ấ
y k
ế
t qu
ả
trên màn hình chia cho
π
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
nh
ư
sau
Ngh
ĩ
a là
0,643501108
0204832764
π
−
= −

Hay

≈ −
 
 
41
2
200
41
2
200
x k
x k
π
π
π
π π

≈ − +

⇔


≈ + +



•
••
•
Cách 3:
N

=
là m
ộ
t góc mà sin
m
α
=
.
Theo công th
ứ
c trên ta có
3
arcsin 2
5
3
sin
5
3
arcsin 2
5
x k
x
x k
π
π π

 
= − +
 


ị

g
ầ
n
ñ
úng ! Các em l
ư
u ý nhé !
• Tuy nhiên r
ấ
t c
ầ
n l
ư
u ý v
ớ
i nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ch
ẳ
ng h
ạ
n v
ớ

= − ⇔

= − − +


.
Kết quả trên hoàn toàn sai vì
2 1
m
= − < −
nên phương trình
sin 2
x = −
vô nghiệm.
 Nếu các em giải theo cách 1 thì khi bấm máy tính Shift sin (
−
√
√√
√ 2) thì máy cho kết quả là
Math ERROR . Chứng tỏ không tồn tại góc
α
ñể
sin 2
α
= − nên phương trình ñang xét
vô nghiệm.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a)
5 1
sin

(
)
sin sin
f x g x
=

Công th
ứ
c nghi
ệ
m
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
sin sin
2
f x g x k
f x g x
f x g x k
π
π π
= +

= ⇔

= − +

sin 2 sin
3
x x
π
 
= +
 
 
b)
sin sin 2 0
4 4
x x
π π
   
+ + − =
   
   

c)
sin cos3 0
x x
+ =

Gi
ả
i :
a)
2 2
3
sin 2 sin

3
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


2
3
2 2
9 3
x k
x k
π
π
π π

= +

⇔


khử dấu “
−
−−
−
”

tr
ướ
c ch
ữ
“sin” ,
ñ
ó là công th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
sin sin
g x g x
π
− = +
{công th
ứ
c h
ơ
n kém

⇔ − = + +
   
   
5
sin 2 sin
4 4
x x
π π
   
⇔ − = +
   
   

5
2 2
4 4
5
2 2
4 4
x x k
x x k
π π
π
π π
π π

− = + +


⇔

π
π
π

= +

⇔


=


.
• Cách khác: Áp dụng công thức góc ñối nhau, ta có
sin sin 2 0 sin 2 sin
4 4 4 4
x x x x
π π π π
       
+ + − = ⇔ − = − +
       
       

Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
4/
9
sin 2 sin
4 4
x x

2
2
x k
x k
π
π
π
=


⇔

= +

2
3
3
2
2
x k
x k
π
π
π

=

⇔



x x x x
π
 
⇔ = − ⇔ = −
 
 

3 2
2
3 2
2
x x k
x x k
π
π
π
π π

− = +

⇔


− = − +


2 2
2
3
4 2

= +


.
Bài tập 4
: Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
a)
sin 3 sin 5
3 6
x x
π π
   
− = +
   
   
b)
sin sin 3 0
4 6
x x
π π
   
+ + − =
   
   

c)

b
ậ
c
( )
2
1
sin 1 cos2
2
u u
= −
;
( )
2
1
cos 1 cos2
2
u u
= +
Sau
ñ
ó v
ậ
n d
ụ
ng bi
ế
n
ñổ
i sau
( ) ( )

1
sin
4
x
=
b)
2
3
sin
6 4
x
π
 
+ =
 
 

c)
( )
2 2
sin 2 sin 0
3
x x
π
 
− + =
 
 

Gi

cos2
x
)
cos2 cos
6
x
π
⇔ =
2 2
6
x k
π
π
⇔ = ± +
12
x k
π
π
⇔ = ± +
Chú ý: Khi h
ạ
b
ậ
c, thì góc s
ẽ
t
ă
ng g
ấ
p


Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
5/
9
3 3 1
1 cos 2 cos 2 1
3 2 3 2 2
x x
π π
   
⇔ − + = ⇔ + = − = −
   
   
5
cos 2 cos
3 6
x
π π
 
⇔ + =
 
 

5
2 2
3 6
5
2 2
3 6

= − +



c)
( )
2 2
sin 2 sin 0
3
x x
π
 
− + =
 
 
( )
1 1 2
1 cos4 1 cos 2 0
2 2 3
x x
π
 
 
⇔ − − − + =
 
 
 
 

2


= + +


⇔
 

= − + +
 

 

3
9 3
x k
x k
π
π
π π

= +

⇔


= − +



 Bài tập 5: Giải các phương trình sau

3
2 1
sin
3 8
x
π
 
+ = −
 
 

e)
4
9
sin
16
x = f)
2 2
sin 2 cos 1 0
4
x x
π
 
+ − − =
 
 

Dạng 6: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện, tìm nghiệm trên một ñoạn.

Ví d

.
Gi
ả
i:
•
Đầ
u tiên ta gi
ả
i ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho nh
ư
các d
ạ
ng trên (d
ạ
ng 2)
Ta có
1
sin
3 2
x
π
 
− = −
 
 
sin sin

2
2
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


.
• Tìm nghi
ệ
m trên
ñ
o
ạ
n
17
;
3 4
π π
 

∈
ℤ
)
17
2
3 6 4 6
k
π π π π
π
⇔ − − ≤ ≤ −
49
2
2 12
k
π π
π
⇔ − ≤ ≤
1 49
4 24
k⇔ − ≤ ≤
.
Vì
k
∈
ℤ
nên ta có
0; 1; 2
k k k
= = =
. Thay vào công thức

3 17
2
3 2 4
k
π π π
π
⇔ − ≤ + ≤ ( k
∈
ℤ
)
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
6/
9
3 17 3
2
3 2 4 2
k
π π π π
π
⇔ − − ≤ ≤ −
11 11
2
6 4
k
π π
π
⇔ − ≤ ≤
11 11
6 4

π π
 
−
 
 
, ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho có t
ậ
p nghi
ệ
m
3 13 7 25 11
; ; ; ; ; ;
2 6 2 6 2 6 2
T
π π π π π π π
 
= −
 
 

Bài tập 6
:
Tìm các nghi
ệ
m c
ủ

 
−
 
 

b)
sin 2 sin 0
3
x x
π
 
+ − =
 
 
trên kho
ả
ng
3
;
2
π
π
 
−
 
 

Dạng 7: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện ràng buộc

Ví dụ 7: Giải phương trình

− ≠ ⇔ − ≠ +
 
 
3
4
x k
π
π
⇔ ≠ +
Khi ñó ta có
sin 4
0
cos
4
x
x
π
=
 
−
 
 
sin 4 0
x
⇒
=
4
4
x l x l
π

π
π
3
= +
g
ồ
m 2
ñ
i
ể
m
D, H
;
ñ
i
ể
m ng
ọ
n
c
ủ
a các cung
4
x l
π
=
g
ồ
m 8
ñ

4
x k
π
π
≠ +
.
Suy ra các cung có
ñ
i
ể
m ng
ọ
n thoa
ñ
i
ề
u ki
ệ
n g
ồ
m
A, B, C
và
E, F, G
.

•
Các cung có
ñ
i

• Các cung có ñiểm ngọn B, F ñược biểu diễn bởi công thức
4
x k
π
π
= + (vì các
ñ
i
ể
m
ng
ọ
n này h
ơ
n kém nhau m
ộ
t l
ượ
ng là
π
)
•
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
ñ
i

ầ
m tay
ñể

ñố
i chi
ế
u
ñ
i
ề
u ki
ệ
n qua
ñ
ó lo
ạ
i nghi
ệ
m s
ẽ
d
ễ

dàng h
ơ
n. Các em th
ấ
y th
ế

• Trên
ñườ
ng tròn l
ượ
ng giác,
ñ
i
ể
m ng
ọ
n c
ủ
a các cung
2
x k
π
=
g
ồ
m 1
ñ
i
ể
m A ;
ñ
i
ể
m ng
ọ
n c

ệ
n do
2
x k
π
≠
.
Suy ra các cung có
ñ
i
ể
m ng
ọ
n thoa
ñ
i
ề
u ki
ệ
n ch
ỉ
còn B.
Công th
ứ
c bi
ể
u di
ễ
n nghi
ệ

u ki
ệ
n ta có các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho là
2
x m
π π
= +
,
(
)
m∈
ℤ

Cách khác
:
sin
0
cos 1
x
x
=
−

x
x
x

= ±

− =

⇔ ⇔ ⇔ = −
 
≠
≠



2
x m
π π
⇔ = +
,
(
)
m∈
ℤ
.



Bài tập 7
: Gi

 

Đ
áp s
ố
: a)
2
x m
π
=

b)
2 5
2 ; 2 ; 2
3 3 6
x m x m x m
π π π
π π π
= + = − + = − +
Dạng 8: Giải các phương trình ñơn giản có tham số

♣
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
ph

ó.
a)
( )
1
sin 1
1
x
m
+ =
+
b)
2
sin 2
x m
= +

Gi
ả
i:
a)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
ph
ươ
ng trình

 
≥ − + ≥
 
+ +
 
0
1
2
0
1
m
m
m
m

≤


+
⇔

+

≥

+


(
]

sin 1
1
x
m
+ =
+
1
1 arcsin 2
1
1
1 arcsin 2
1
x k
m
x k
m
π
π π

+ = +

+
⇔


+ = − +

+

1

ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m là
2
1 2 1
m
− ≤ + ≤

2 2
2 2
2 1 3
2 1 1
m m
m
m m
 
+ ≥ − ≥ −
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
 
+ ≤ ≤ −
 
 
( Vì
2
0
m

Có th
ể
l
ậ
p lu
ậ
n g
ọ
n h
ơ
n nh
ư
sau:
V
ớ
i m
ọ
i
m
ta có
2 2
0 2 2 1
m m
≥ ⇔ + ≥ >
suy ra ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho vô nghi
ệ

1
sin
1
x
m
=
+

c)
2
sin 1
3
x m
π
 
+ = +
 
 
d)
2
2
sin 2
2
x
m
−
=
+

e)

0
m
=

e)
2
m
≥
ho
ặ
c
0
m
≤
f)
0
m
≥
ho
ặ
c
4
m
≤ −Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11
Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}
9/
9